这页说微分方程

第一、先说偏微分方程(下面第二再说海南琼大师爷的学生开拓的常微分方程中国学派):

1本书:就是海南琼州大学杂志的编委Paul Garabedian院士(他是第一个数学诺贝尔奖得主的唯一最伟大的学生)独立撰写的16大开672页世界知名巨著《偏微分方程》,并Paul Garabedian院士在此书序言第一句就明确说它是为研究生写的教材,与此书密切的是他的获得第一个获贝尔奖的导师的世界名著复分析》(如此Paul Garabedian院士的这书有一般偏微分方程书籍所没有的“复域中的偏微分方程“一章,它也是Paul Garabedian最近给海南琼大来信说他们得到100亿元科研经费的《磁流体动力学》的主要基石,它的部分内容也是海洋动力学的基础等。如此,这应用数学名列美国所有大学中第一的领袖Paul Garabedian院士撰写的这《偏微分方程》半个多世纪以来一直就是欧美重要大学研究生用的世界著名教材(如这书在更多方面比下面柯朗希尔伯特的有深度如第16章是“复域中的偏微分方程“以及第11章用Rayleigh's quotient òòD (u2x+v2y)dx dy/òòD u2dx dy来处理振荡的特征值问题等这都是一般PDE书所没讲的不过后者广些高年级和研究生一年级的应看[Rayleigh是英国首个物理诺贝尔奖得主和英国皇家学会会长、剑桥大学校长而我有的他的巨著《声学理论》就孕育孵化下面课题③的“有限元法”],如此在出版之前由美国科学院首个数学女院士也是至今唯一美国数学会女主席Morawetz、维纳的博士Friedman、第3阿贝尔奖得主Peter LaxJim DouglasJ. Berkowitz7个大师着力阅读过这书稿的各部分。这书文献见Garabedian院士自引19篇,引柯朗9篇,其它人都不过5篇,也引下面Hörmander、彼得罗夫斯基校长和法国中科院外籍院士的导师的我们研究生时读的《矩阵迭代分析》的这3本书)。其实,给海南琼州大学赵克文来信表达非常乐意担任琼州大学杂志编委的美国数学会主席James Glimm院士也主要从事“偏微分方程”和“流体动力学”的研究并有许多相关著作。

2本书:Richard Courant柯朗和David Hilbert大卫·希尔伯特830页巨著《Methods of mathematical physics. Vol. II(副标题是Partial differential equations)数学物理方法Ⅱ》(也见熊振翔和杨应辰翻译1981年第2次印刷的第Ⅱ卷中文版)是一本最全面的偏微分方程书籍,是这专业研究生低年级必看的书籍-也可选择部分内容做高年级本科生用书;(而钱敏和郭敦仁翻译并1958年中文版出版的他俩的《Methods of mathematical physics. Vol. I. 数学物理方法 I.都只从其它方面阐述数学物理方法的一些相关的副题可以做一定了解就行)这书引用其文献达到5篇次的人有9个:他们是海南琼州大学杂志的编委Paul Garabedian院士Lipman Bers,柯朗自己,柯朗的3个博士Fritz JohnHans LewyKurt Otto Friedrichs,以及前者的博士Peter David LaxLars HörmanderIvan Petrovsky,海南琼大师爷叔C. B. Morrey和第2届即1979沃尔夫奖得主Jean Leray4篇次。

3本书:1962Fields奖和其后Wolf奖得主、1987年担任国际数学联盟副主席Lars Hörmander大师的《线性偏微分算子》由陈庆益译(关于这书这领域,学完偏微分方程或数学物理方法也和它尚缺许多交集,需要进一步学它以提高加深对偏微分方程的多方面理解,陈庆益教授翻译为370页的这书共3部分的第一部分 泛函分析--要讲算子当然要先讲一定相关的泛函分析;第二部分 常系数微分算子--各章分别讲微分方程解的存在性及逼近、解的内部正则性和Cauchy问题;第三部分 变系数微分算子--分别讲定强微分算子和具单特征微分算子、Cauchy问题和椭圆型边界问题及无界的微分方程。因没时间细看就对看过的做些记录以免找起来不便:只记我要用到的泛函分析一些基本记号:Wn维空间Rn中的一个开集[3]W的一个分布uC0¥(W)上的一个线性形式,使得对于每个紧集KÌW,存在常数Ck|u(j)|£Cå|a|£ksup|Daj|,  C0¥(K),其中D见同页、C0¥(W)的定义也见3页。W中所有分布得集记作(W)[7-记号可与书不同];关于第二部分的基本解的定义:分布E称为常系数微分算子P(D)的基本解,若对在点0Dirac测度dP(D)E=dDirac测度的定义见11页;若P(D)Q(D)是微分算子而使Q(x)/P(x), xÎRn,则称Q弱于P并记作Q--<PP(x)初于47页。定理3.6.4 微分方程P(D)E=f对每个fÎx¢(W)有解当且仅当W为强P凸的[P凸的见定义3.6.1],等等…;第三部分的开头就说:在第三章我们已经证明,常系数微分方程对任意右端f都能解出,至少对f所在定义的开集的相对紧开子集上是如此。最近Hans lewy[1]发现,当系数是变量时,情况就大不相同,从而展开有解和无解情况的各类更具体的及相关课题的研究…。他还有这个系列-不说了看书就行-具有了大学高年级的程度再了解其领域一些前沿的基本入门知识就可以看相应领域的研究生前沿课程

4:历史上第一个数学诺贝尔奖-Wolf得者Gelfand盖尔范特的《广义函数()-在偏微分方程的应用(它主要叙述用广义函数来建立偏微分方程Cauchy问题解的各类唯一性和适定性,以及依微分算子的特征函数展开得理论等,我有Gelfand的前三卷,我也有2FieldsSchwart施瓦兹的《广义函数论》Avner Friedman院士的《广义函数与偏微分方程M. J. Lighthill莱特希尔的《富里叶分析与广义函数引论》、以及冯·诺依曼的5个博士中较有成就的Halperin《广义函数论导引》-蔡文端院士1980Halperin奖)

5《自然》评价很高的Wolf奖得主A. P. Calderon的《奇异积分算子及其在双曲微分方程上的应用》(伍校长译)。因奇异积分算子生成的交换子可看作这里的Toeplitz型算子,可参考相关论文;北京师大校长陆善镇等基于这书作者的“与强奇异Calderon-Zygmund算子相关的Toeplitz型算子,中国科学(A);杨润生,刘岚喆的“一类奇异积分算子的Toeplitz型算子的有界性,数学学报;陈冬香等的“与强奇异Calderon-Zygmund算子相关的Toeplitz算子的双权估计,数学年刊,等等(也可参考A. P. Calderon的师弟兼陶哲轩的导师E. M. Stein的《奇异积分与函数的可微性》由程民德院士主译和陆善镇校长的《奇异积分和相关论题》,我也有Yves F. Meyer梅耶尔小波与算子》2Calderon-Zygmund算子和第3多重线性算子合编为中文版第二卷并就如这里说我也有第一卷

6-1:最近获得ICIAM麦克斯韦奖的非线性偏微分方程的非线性控制、非线性偏微分方程的变分方法

6-2这里第6泛函分析特别是索伯列夫空间在偏微分方程中的应用

除了上面这几本适合研究生不同程度的世界著名用书外,适合高年级用的著名书籍也很多,如世界著名数学家Ivan Petrovsky伊凡.彼得罗夫斯基[1951年-1973年长期担任莫斯科大学校长,并如周恩来总理也曾和彼得罗夫斯基校长交谈]独撰的1956年译为中文版的《偏微分方程讲义》(通过对比可看到似乎以前中国编写的几乎所有偏微分方程教学用书参考书都是以这书为主的苏联模式的内容及体裁组织框架为蓝本-几乎是大同小异-也如1917-57年的苏联偏微分方程》的内容就椭圆型双曲型抛物型方程这3方面-所以差异主要在体裁组织框架。刚见国际数学家大会将颁发以其命名的拉德任斯卡娅奖(Ladyzhenskaya Medal)以及谷歌纪念的 Ladyzhenskaya是这莫大校长的女博士-此女人的博士L.D. Faddeev是苏联至今唯一担任国际数学联盟主席2个数学泰斗:A. N. Kolmogorov就写文章纪念这校长P. S. Aleksandrov等写文章纪念他,这P. S. Aleksandrov校长的博士中也有下面要说的“反问题与不适定问题”主要开创人A. N. Tikhonov (A. N.吉洪诺夫)并我国50年代出吉洪诺夫的中文《数学物理方程》上下册。 

上面柯朗的博士Fritz John的《Partial Differential Equations偏微分方程》也被各国广泛使用(它都引用海南琼州大学的杂志编委Paul Garabedian院士Hörmander,柯朗和希尔伯特的书)

我国这领域的最有代表性书籍是复旦大学学派谷超豪院士、李大潜院士、陈恕行院士、洪家兴院士等60年代起到至今仍在写的一系列偏微分方程或数学物理方程书籍-当然象吴新谋的《数学物理方程讲义》也受推崇、姜礼尚的也很受用;以及某些专著最近周毓麟院士的论文集《微分方程数值解》(周毓麟院士是上面莫斯科大学校长彼得罗夫斯基的博士O.A.奥列尼克院士的博士,前面说过的数学界2国家最高科技奖得主之一谷超豪院士也选读了奥列尼克的关于非线性偏微分方程的课-不过谷超豪的导师Rashevskii不见介绍不如奥列尼克知名),林群院士最近2001年也写《微分方程数值解法》主要讲有限差分和有限元法(这面这些书我都不同程度看过-并身边仍留着它们)。偏微分方程或数学物理方程内容很广泛,不仅有各种方程算子的基本解、广义解、各种常用的经典解法(如傅立叶变换法、拉普拉斯变换法、球面平均法、分离变量法等)、各类具体方程和问题的解的性质(如各类解的唯一性及稳定性、正则性、初值问题、边值问题、Hadamard大师的Cauchy问题、能量不等式、极值原理、最大模与能量模估计、一定边值条件的本征值问题并表现为量子力学的分立能级问题等)、以及上面的几个课题外,下面再说偏微分方程的其它一些主要课题:

课题①:关于这里倒数第2段的非线性发展方程、演化方程或进化方程。参看李大潜院士1989年出版的《非线性发展方程》和其后郭柏灵院士1995年出版的《非线性演化方程》(发展方程也叫演化方程或进化方程,它是包含时间变数t的许多重要的数学物理偏微分方程的统称)(还有一个紧密相关的领域这里倒数第2段见谷超豪,郭柏灵,李翊神,曹策问,田畴,屠规彰,胡和生,郭本瑜,葛墨林合作1990年出版的《孤立子理论与应用》前言说“孤立子是一大类非线性偏微分方程的许多居有特殊性质的解,以及与之相应的物理现象”,就如郭柏灵院士和庞小峰1987年出版的《孤立子》一书序言说“一大批非线性进化方程都存在孤立子,…”)

课题②:关于反问题与不适定问题,上面A. N. Tikhonov (A. N.吉洪诺夫)就写《不适定问题的解法》被上面John译为英文王再结合俄英文译出中文版,李世雄和刘家琦教授合写的《小波变换和反演数学基础》的后部分也是这领域正宗的,徐利治教授1989年的《关系映射反演方式》一书许多内容方法有诸多相近相似(《南方日报》等曾为报导我的导师柳柏濂教授在读研期间做出大量成就等也顺带说他是几百考生中唯一考上于光远副部长研究生的[那时部长稀罕不象现在泛滥]-其后1981年授于华中科技大学硕士时这个徐利治教授正是这校系主[即我导师在文革后第一批的1978年考上已是国家科委副主任的于光远的研究生而当时研究生少学位有些是联合授于]-其后我导师又跟徐利治教授读博士(这视频5分处说徐利治是全国会长并也说另一会长就是经常来信指导海南琼州大学的钟集教授--介绍徐利治的有大连经理学院正校长林安西-林的院的教师有科技部部长--因我读研的一年级时我已彻底解决许多领域世界各国都仅解决一点点的问题就象北大状元称魔鬼天才并也尽量找包括这本的徐利治教授的书来读如此我当时曾给徐利治教授去信而他欢迎我去…)。回到反问题-它是相对正问题而言,可知…,但我们海南琼州大学李壮同志和他的导师主要做数学物理反问题,这也是反问题的主战场,如前面李世雄教授和我们海南琼州大学李壮同志的导师刘家琦教授合写上面《小波变换和反演数学基础》于1994年出版是我国当时尚难得的这领域著作(李世雄写第1-122页、刘家琦写第123-171页并分别属于这书名的前后篇,遗憾的是我当时买了这书却一直气-刘家琦写的40多页书竟缺近20页还乱插别人的--问题更是以前这方面几乎再没有书来参考(吉洪诺夫这书是相近但许多地方却与之不交叉-维也纳大学校长Heinz W. Engl主编的包括他的2005年前担任海南琼州大学杂志编委他的导师M. Zuhair Nashed 等撰写的Inverse and Ill-Posed Problems不适定和反问题》一书又很可惜一直找不到--好象Engl校长后来也写《反问题的正则化》一书-即刘家琦写的第一章共4节只见第1节只有2页并第2-4节不仅没有一页而且把李世雄写的插在这部分,第二章共5节但第1节没有第2节也部分没有。总之40多页书竟缺近20页还乱插别人的-很难理清--本来要出版时应交回给作者核对吧-是核对都随便应付吗也不致以啊--或是否刘家琦此时是副校长太认真此职以防小人甚至强敌就必太忙顾不了其它而只能随便轻松些对付其它如这书--想到此中国的国情状况才可理解些而消气些),李世雄写的小波变换部分是没问题-可是看这里见小波专著不仅已多且很多书籍都用足够篇幅介绍则宁愿他写的问题成堆也没关系而刘家琦方面的反演数学著作当时几乎就只有前面吉洪诺夫的这本185页书--其它Menke等几个无名专家的书虽可参考但属实用性质等的没多少理论高度深度--足见以前何等不容易即不仅学科本身资料少且常短缺还不象现在有电脑去通过许多渠道素取等等--就算如李壮的导师刘家琦教授好象80年代起就已担任哈尔滨工业大学教务长副校长而科研等各方面条件都更好的--可如这里说刘家琦教授的第一作者论文只有9并好象正式出版的书至今只有这一本也不象现在核对校正之便利--就算哈工大轻松些但能越过他人当上副校长也只能从以前众人状况都极端不易说之-如他的研究生有我们海南琼州大学李壮同志--就是到不久前李壮2007博士毕业论文的最后陈列的攻读期间发表的第一作者论文只有4-即是没主编的这杂志2[这杂志是这里百发百中的第4]、还有《大学数学》和黑龙江大学学报各1--其它非第一作者论文共1篇即是第3作者的(林越教授2008年分来琼大时我让他合作第2作者SCI论文约十篇之多他都一直说没用)-其它是待出版的并其中只有一篇(即这篇)是注明投去SCI杂志的[但仍不见它出版]--而李壮已出版的第一作者的这全部4篇的杂志级别都还是尚低仍需努力(即这4篇中的李壮2007年毕业时和后的百发百中 2007年和2008年发表的2篇、还有《大学数学》也属科普类杂志、而黑龙江大学学报只是省级的--如在该黑龙江省我1999年以第一作者发表的《哈尔滨工业大学学报》2篇和《哈尔滨工程大学学报》1篇的都是国家级杂志--而现在期刊已猛多是否本应更易于做到更多更高呢)--很难想象我们的论文若这样的话那这里说非常恐怖至极的我的导师就是对硕士生他也感到极不达标而怎么能给我们毕业呢(他之严苛就如2001年成立琼州大学数学与信息科学研究所我就编写我以前解决《圈的结构、本原矩阵极值集论》3个领域最核心的特别很多是世界各国解决不了的文集而他仍说“不是惊世骇俗”之作+还有一年级时他已拿着训我的师兄们的图着色、荫度理论、生成树猜想等领域他知道它们的最核心或关键部分我已做而我一年级时也已彻底放下这些领域-那时因是中国第一研究室国外杂志就多有些可借外-上完课就一头泡在图书馆资料室的国内外文献里-所读量可说是课本的千百倍-那个-不知别人怎样但我日夜埋头苦读猛攻仍是困难重重-并虽如主页所说我1990年的论文已是全中国被国外大师的综述论文收录最多-但仍就如90年代初北大中科大邀我去做超算清华叫去做芯片--命福怎总如此不同并虽2008年起更已越来越-,李壮博士毕业后也一直啥事都收获颇丰盈如已主持很多次海南省重点项目-好象他每次申请都大获全胜金钵满盆-省重点每次得约50万元、而1994年起申请几百元都一直从没有得到分文处理以致如极简单解决史上十大天才Erdös的猜想却都因把权的杂志和专家不敢处理张恭庆院士等也不敢评审使一直无法发表(这里见张恭庆院士1979年的书就已很有影响如此沾他的光而在拍卖网见海南琼大给他的信拍卖260并见世界知名的新加坡《联合早报》总编辑林任君、和中国工程院院士吴志强校长等共同担任中国城市规划学会副理事长的北京大学建筑系系主任吕斌教授等的竟仅卖160元也算无所事中无聊事--全国大学出版社协会理事长、兰州大学纪委书记、全国会长也都是仅160(而1936年已任北平市委组织部长助理的刘国瑞给鲁中军区副政委建国功臣孟大使的信60/只有全国总工会副主席同是260--公职是否公仆如2003年已是副省长的现在也是总工会副主席而正主席是人大副委员长属于国家领导人)而如此最后要国家最高奖得主吴院士下结论才能发表,也许学习李壮同志和刘家琦副校长才是多么舒舒服服的人生-可又有几人能学到--每每想到也使我时常怀疑做那么多科研和论文成果有什么用呢(就如比李壮的论文差得多的我们琼州大学还有那么些人-他们的博士论文更起码从基本要求上就已难于过关)可现在三本2年级生都很多国际SCI论文已泛滥成灾至去中学的北大清华博士都垫底许多稍做一下就已300多篇成堆泛滥成灾而相比以前拓荒之艰难更使人气伤???!!!)

 

偏微分方程数值解法:

课题③,有限元法:海南琼州大学推广其开拓基奠的这里最后Richard S Varga大师其博士-中科院外籍院士Philippe G. Ciarlet的《有限元素法的数值分析》;关于有限元法正如崔俊芝院士翻译的W. G. StrangG. J. Fix合著的《有限元法分析》的序言和正文第一段都说“有限元法是Rayleigh-Ritz-Galerkin方法的推广”。而‘Rayleigh-Ritz-Galerkin方法是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法,由上面英国第一个物理诺贝尔奖得主并当上英国皇家学会会长兼剑桥大学校长Rayleigh(瑞利)于1877年的他的《声学理论》一书中首先采用’。这《有限元法分析》作者W. G. Strang有许多课程视频可参考;复旦大学的298页的《有限元素法选讲》;清华大学就有龙驭球院士的《有限元法概论》、王勖成教授的《有限单元法》、蒋孝煜教授的《有限元法基础》等

课题④:有限差分法,下面略述之。

课题⑤:大气海洋动力学等。任何物质的运动都受到一定的自然规律的制约,我们常见的一些数学物理方程,它们作为描述物质运动的数学模型,是从数量形式上刻画了相应的这些物理定律所确定的某些量之间的制约关系。与建立数学物理方程关系最密切的物理定律大致可以归结为两大类:守恒律和变分原理。其中质量守恒、动量守恒和能量守恒是自然界一切运动都必须遵循的基本规律。对于自然界的某一个特定问题,如果把相应的守恒律数量化,就导出刻画这个问题的微分方程,因此,从这个意义上说,微分方程实质上就是自然界守恒律的数量形式。数学物理的三个最基本的方程-波动方程、位势方程和热传导方程就由守恒律数量化而得出的

关于方程的导出部分,数学家的导出模型总是较理想化或说抽象化而舍弃或理想化很多物理实际背景。那为了更接近实际,这里我就暂不用数学家的导出,而是借用对“波音767飞机的成功设计”做出重大贡献的Paul Garabedian院士的书中的阐述,以更感性体会其波动方程的导出:

空气由大量分子组成,与一般气体相同,每摩尔(Mole,即克分子量,如过去所称)所占体积在标准温度(0°C)和压强(0.76m汞柱)下为22.4´10-3m3,共有分子数为阿伏加德罗常数6.02´1023,大约是每毫升(cm327´1018个,非常庞大。但分子很小,直径大约是10-10m,分子间距离为其10倍,而且分子以很大速度(接近声速340ms-1)做随机运动,在运动中互相碰撞。所以根本不可能跟踪每个分子的运动。提到空气中的运动,或质点运动,不是谈个别分子的运动,而是指若干分子的平均运动。声学中讲质点就是讲这个“集体”。“质点”尺寸比分子间距离大得多(高几个数量级),但是比实验室中遇到的物体又小得多(低几个数量级)。每个“质点”包括大量分子,在分子无规运动中,有进有出,基本可以看作没有变化的,静止的。这是物理中的点(有尺度)而不是数学中的点(尺度为零),但在数学处理中可以当作数学中的点。而整个气体则看成连续流体,和水一样,忽略分子中的空当。质点就是连续流体中的一个点,静止,在受力时可以移动。质点运动和流体运动制约于物质守恒定律和牛顿运动定律,这也是海洋动力学的基础。如此下面先列举几个基于它们的海洋动力学的方程做为开头以窥其在这领域的应用,其后,再说一些其它相关方程和它们的某些主要解法等

大气学家国家最高科学技术奖获得者叶笃正和中国科协副主席曾庆存院士以及丑纪范、苏纪兰、文圣常、巢纪平袁业立陈联寿、冯士筰、丁一汇、方国洪、穆穆、徐祥德等资深准资深院士对海流/气流等动力学状态结构等的研究主要是通过相关微分方程而做为探求实际现象的他们更要重在研究其数值解问题(我前面提及的全部海洋大气院士的著作和某些相关论文我以前都读过且读得很苦不过科学荒芜的以前感到值得苦读-他们的著作都还在我身边)还有许多象出身于承继重普查等的胡敦欣院士也不断转化方法论-胡的导师毛汉礼院士独立翻译的《动力海洋学》准大部头著作我就曾经一直爱不释手(我们都知道别小看各类方程,以至各个方程,其学问大着呢!:

波浪场的一维Boussinesq控制方程(当然,不只偏微分方程,其它好几个数学学科对海洋动力学也需要起促进的关键作用,如参看Andrew Majda最近2003年出版的《Introduction to PDEs and waves for the atmosphere and ocean大气海洋中的偏微分方程组与波动学引论》)

zt +(du)x=0

ut+uux+gzx+h2uxxt/6-(1/2+B)h(hu)xxt-Bgh(hzxxx+2hxzxx+hxxzx)=0

式中的B=1/21h是水深

3个色散项也称Boussinesq

uxxt=(un+1i+1-2un+1i+un+1i-1)- (uni+1-2uni+uni-1)/(Dx)2Dt(hu)xxtzxx

 

椭圆型缓坡控制方程

基本控制方程

F(x,y,z,t)=Re[f(x,y,z)eiwt]

w是圆频率,t是时间

拉普拉斯方程

2f/x2+2f/x2+2f/x2=0

 

抛物型缓坡控制方程

2iccgAx+2k(k-k0)ccgA+i(kccg)xA+(ccgAy)y-k(ccg)K|A|2A=0

Ccg分别是波相速度和波群速度,k是波数

 

双曲型缓坡控制方程

l1¶h/t+l2P/x+Q/y=SS

l3P/t+l4P+c2g¶h/x=0

l3Q/t+l4Q+c2g¶h/y =0

其中,PQ是波浪水质点沿水深垂向积分的速度函数

SS是入射波源项。

 

近岸风浪SWAN模型

模型的自变量为相对角频率s和波向q,它用二维动谱密度N(s,q)来描述随机波浪场。动谱密度N(s,q)和能谱密度E(s,q)的关系为

N(s,q)=E(s,q)/s

 

波浪引起的应力tw可表示为:

tw=r wò2p0ò¥0sBE(s,q)k-/kdsdq

其中,平均波数k-定义为(E-1wtò2p0ò¥0sBE(s,q)/Ökdsdq)-2

 

二维潮流场数学模型控制方程

连续方程

¶z/t+[(h+z)u]/x+[(h+z)v]/y=0

 

动量方程

u/t+uu/x+vv/y-fv=-g¶z/x-guÖ(u2+v2)/(c2h+c2z)+Att(2u/x2+2u/y2)

v/t+uv/x+vv/y+fv=-g¶z/y-gvÖ(u2+v2+)/(c2h+c2z)+Att(2v/x2+2v/y2)

其中,t是时间,x,y是与静止海面重合的直角坐标系坐标,u,v分别是沿方向的流速分量,h是海底到静止海面的距离,z是自静止海面向上起算的海面起伏,f是柯氏参数,g是重力加速度,Att是水平涡动粘性系数,c是谢才系数,

 

泥沙场二维潮流、悬沙的基本方程可表述为如下形式:

连续方程

¶z/t+[(h+z)u]/x+[(h+z)v]/y=0

 

动量方程

u/t+uu/x+vv/y-fv+g¶z/x-(tax-tbx)/( r wh+r wz)=ex(2u/x2+2u/y2)

v/t+uv/x+vv/y-fu+g¶z/y-(tay-tby)/( r wh+r wz)=ey(2v/x2+2v/y2)

 

先考虑一维声波,质点振动和声波传播在同一方向,取为x方向。在与其垂直的方向,y方向和z方向,质点运动相同。这就是平面波,波阵面(位相相同的质点面)是平面。声波的基础是流体动力方程。

连续性方程:

这根据质量守恒定律。如图1.2所示(小立方体,可看该书),在空间一个小体积dxdydz中的一个平衡关系。质点在x方向运动,每秒钟由左边表面流入的气体质量为rudydz,在右边表面流入的气体质量为[ru+((ru)/x)dx]dydz。小体积内气体质量的增加如有(¶r/t)dxdydz。平衡关系应为 (¶r/t)dxdydz=rudydz-[ru+((ru)/x)dx]dydz

       ¶r/t+(ru)/x=0   这就是连续性方程

运动方程:

运动方程即牛顿第二定律,力等于质量乘加速度。仍考虑小体积dxdydz。左边表面上受力为pdydz,右边表面受力为[p+(p/x)dx]dydz,二力相抵,体积dxdydz内气体所受净力则是向右-(p/x)dxdydz。这应该等于体积内的气体动量增加率,即

r(u/t)dxdydz=-(p/x)dxdydz

u的微商写成全微商,即动量的增加率除了与u在一定点上的增加率成比例外,由于u也随x改变,在经过单位距离所有的u的增加(u/x)乘以u也是动量增加率的一部分,因此上式写成

r(u/t+uu/x)+ p/x=0

这就是运动方程,用直角坐标表达是欧拉最初使用的,所以称为欧拉动量方程,或连同连续性方程一起称为欧拉流体动力方程。但有三个未知量,rup,两个方程式还不足以求解,还需要第三个方程。

物态方程(这第三个方程是根据气体的热力学性质而求得的,具体导出过程在此略去):

p/P0=(r¢/r0)g

式中P0r0为空气的静态(或平均)的压强和密度。小写的pr为二者的变化部分,声压和密度增量。g为比热比,其与分子结构有关,对于空气或其它双原子分子g=1.4

在欧拉坐标系中,声波的上面三个基本方程

   ¶r/t+(ru)/x=0

r(u/t+uu/x)+p/x=0

p/P0=(r¢/r0)g

都包含二阶项,所以声波基本是非线性的。现先考虑线性关系,即在这三个方程略去二阶项,得

¶r/t+r0u/x=0                       ………(I

r0u/t+p/x=0                       ………(II

r¢c02=p c02=gr0/P0             ……… III

在(I)和(II)间消去u,并利用(III)就得到波动方程

2p/x2-(1/ c02)2p/t2=0

一个系统中,熵的增加与热量增加成正比,

dS=dQ/T

绝热过程dQ=0,也可称等熵过程,dS=0

dS/dt=0

用全微熵,S不因任何运动而改变。全微熵可写做

S/t+vÑS=0

欧拉质量守恒方程是

¶r/t+vÑr=0

二式结合,可得熵的连续性方程

¶rS/tÑ×·(rS v)=0

可以证明,在流动(或波动)中,任何能量损失(如黏滞性,热传导等)都要使系统的熵增加。在热机学中,熵的应用更多。在所有过程中,熵不能减少,

dS/dt³0

这是热力学第二定律--关于它和参考这里的阐述及其某些应用[气体的内能增加等于内能增加和对气体所做的功(增加的动能),dE=dQ-PdV/T,这是热力学第一定律。对气体加压力时P时,其体积要缩小,所以这一项用负号,体积V减小,一定质量M的气体,其体积与密度成反比,rV =M。岁以上面的内能式子也可写成dE=dQ+(P/r2)dr ],热力学第一、二定律都普遍适用于一切热力学系统。)

 

      下面先讲解构成偏微分方程主体框架的三个方程。

1波动方程就是形如 2u/t2=axu(t,x)+ f(t,x的方程,u(t,x)是时间变量ÎR1及空间变量x=(x1x2,xnÎRn两个变量的函数。拉普拉斯算子x =2/x12+2/x22++2/xn2因的下标x是强调,它仅仅作用于空间变量。

这个方程刻画了对不同的物理过程的许多最简单的模型在弹性介质中的振动的传播。波动方程是线性双曲型方程的典型代表。对波动方程来说,最重要的概念是特征线,最基本的估计是能量不等式

 

我们称常微分方程初值问题 dx/dt=ax(0)=c的解x=x(tc)=at+c为方程的特征线。用特征线解一阶偏微分方程的方法可分为下列三步:1、求特征线x=x(tc)2、沿特征线将原方程化为关于r=r (x(tc), t)的常微分方程(其中c是参数),并求出r= u(tc)3、从特征线方程解出c=j(x,t),则所求的解为r=u(tj(x,t)).

初值问题(一维情形)

1.1、问题的简化

在上半空间R´[0,¥)上考虑波动方程的初值问题:

ÿu=2u/t2-a22u/x2=f(t,x),  u(x, 0)=j(x), ut(x, 0)=y(x)            ………(1.1).

由于定解问题(1)是线性的,因此可以把它一分为三,使得在每一个定解问题中,方程和两个初始条件中只一个是非齐次的。(略)。又线性叠加原理,易见初值问题(1.1)的解u可表示为u=u1+ u2+ u3。为了解出分出的三个方程(略),我们指出这三个方程中其中的第二个定解问题是基本的,其它两个定解问题的解可以通过它的界表出,我们将这件事实表达为如下定理。

定理1.1  u2=My(x,t)是其中第二个定解问题的解,则另两个定解问题的解u1u3可分别表为u1=(/t)My(x,t),  u3=ò0tMfr(x, t-r)dr,  其中fr=f(x, r) 并假定My(x,t)Mfr(x, t-r)分别在区域{ xÎR, 0£t}{ xÎR, 0£r £t}上对变量xtr充分光滑。(证明略)

 

1.2、解的表达式

根据上一节的讨论,为了求解波动方程的初值问题(1.1),我们只须解一个特殊的初值问题(即上面第二个方程),即ÿu=2u/t2-a22u/x2=0 (-¥<xt>0),  u(x, 0)=0(-¥<x),  ut(x, 0)=y(x) (-¥<x)………(1.2).

我们求得u(x,t)= /t[(1/2a) òx-at x+atj(x)dxf]+ (1/2a) òx-atx+aty (x)dxf]+ ò0t [(1/2a) òx-a(t-r)x+a(t-r)f (x,,r)dxf]dr=(1/2)[ j(x+at)+y (x-at)]+(1/2a) òx-at x+aty (x)dxf]+(1/2a)ò0tdròx-a(t-r)x+a(t-r)f (x,,r)dxf.  ………(1.3).

f º0,上述表达式称为D’Alembert公式。

定理1.2  jÎC2(-¥<x)yÎC1(-¥<x)f ÎC1(Q-),这里Q={(x,t)| -¥<xt>0}, 则由表达式(1.3)给出的函数u属于C2(Q-),而且是定解问题(1.2)的解。

1.3、依赖区间、决定区间和影响区间(略)

 

1.4、能量不等式

(x0,t0)为上半平面内任一点,通过这点向下作两条特征线x= x0±a(t0-t), 这两条特征线与x轴围成的三角形区域称为以(x0,t0)点为顶点的特征锥,记为K。我们建立下面的估计-能量不等式

定理1.3 能量不等式 uΠC1(Q-)C2(Q)是定解问题(1.1)的解,则有估计

IòWr[ut2(x, r)+a2ux2(x, r)]dx£M[òW0[y2+a2ux2(x, r)]dx +òòKrf2(x, t) dxfdt ],  II òòKr[ut2(x, r)+a2ux2(x, r)]dxfdt£M[òW0[y2+a2ux2(x, r)]dx +òòKrf2(x, t) dxfdt ],其中0£r £ t0Kr=K{0£t £ r}, Wr=K{t=r}=( x0-a(t0-r), x0+a(t0-r)), M=et0

 

1.5、半无解问题

在区间Q-={0£x<¥0£ t<¥}求解定解问题:ÿu= f(x, t), (0<x<¥, 0£ t<¥),  u|t=0=j(x), (0£x<¥), ut|t=0=y (x), (0£x<¥), u|x=0=g(x), (0< t).  ………(1.4).

g(x) º0的情形

x³at时,u(x,t)= (1/2)[ j(x-at)+ j (x+at)]+(1/2a) òx-at x+aty (x)dxf+(1/2a)ò0tdròx-a(t-r)x+a(t-r)f (x,,r)dxf.                                   ………(1.5).

x<at时,u(x,t)= (1/2)[ j(at-x) -j (x+at)]+(1/2a) òx-at x+aty (x)dxf.                                                              ………(1.6).

定理1.4  jÎC2[0, ¥)yÎC1[0, ¥)f ÎC1(Q-),且适合相容性条件 j(0)=0, y(0)=g¢ (0)=0a2y²(0)+ f(0,0 )=0,那么半无界问题(1.4)必有解u(x,t)ÎC2(Q-),且由表达式(1.5)、(1.6)给出。

 

g(x) 0的情形(略)

 

初值问题(高维情形)

N=3的情考虑三维波动方程的Cauchy问题

ÿu=2u/t2-a2(2u/x12+2u/x22+2u/x32)=f(t,x), R3´(0, ¥), u|t=0=j(x), (xÎR3), ut|t=0=y (x), (xÎR3)             ………(1.7).

问题(1.7)的解是u(x,t)= /t[1/(4pa2t)òòSat(x) j(y)dS+ 1/(4pa2t)òòSat(x) y (y)dS+ ò0t 1/(4pa2t-r) [òòSa(t-r)(x) f (y,,r) dS ]dr.    ………(1.8). 

N=2的情考虑二维波动方程的Cauchy问题