关于现代物理学两大基石之一的量子力学，可参考下面我们数学大师主撰的6本量子力学世界名著，就如这页的一些数学领域在量子力学发展中发挥了重要作用，再如这页与海南琼州大学同是数学国际会议6个时间最多的全大会报告者之一也从事量子力学工作以及在这页众多量子力学/量子化学/量子光学等世界名著，特别是以他的第一个访问大学是我的导师去合作几年大学的量子力学的奠基者之一Paul Dirac保罗·狄拉克大师的这里的圣经般的世界名著《量子力学原理》做为深入研读的主要范本。当然也要读这页最后段说的“量子力学的数学”等的几本书特别是群论与量子力学的关系（也可参考我们海南琼州大学的导师是第一人的积和式是这里“量子霸权”引用的2篇论文之一）；为深入把握实质和作用还需要进一步攻读最有可能统一更多基本相互作用的超弦理论，以及使我成为校史上全校研究生中的“唯一”的校长主译的量子电子学之父的《量子电子学》，更应读我们组合数学图论专家开创的被认为是划时代革命的量子计算，以及相关的量子场论和规范场论、广义相对论量子场论，还有它们之基础的算子代数及其下面先讲的顶点算子代数以及量子图、量子混沌运动、白噪声与随机分析等等。这学科就如这里中下部分见量子力学与我们组合数学的关系、也如最近和海南琼州大学合作在美国数学会的几个杂志之一发表论文的北京市政协委员北京大学教授宋春伟先生的博士导师之一Herbert S. Wilf的博士论文就做“Quantum Theory量子理论”并是我们组合数学的大师（这量子理论大师Wilf的博士生还有Fan-Rong Chung Graham金芳蓉等等也是我们组合数学图论世界级专家）：

先说一个数学领域即顶点算子代数理论及其最先从事这领域的几个华人专家--因顶点算子代数的理论框架融合了无限维李代数和共形场论的基础，并无限维李代数如最近这里说与理论物理、量子场论等学科存在内在联系（就如随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升），而共形场论是一类在共形变换下保持不变的量子场论，如此这领域在量子物理特别是新近引起广泛重视的拓扑量子场论以及拓扑量子计算还有弦理论等的发展过程中发挥了重要作用。顶点算子代数是从修改顶点代数而来，它俩是介于结合代数和李代数之间的两类新的代数体系（那不应囿于一隅，结合代数可参考我们组合数学大师Robert P. Dilworth的博士Richard S. Pierce的结合代数一书、李代数参考曾在欧洲《数学评论》高度评价我们海南琼州大学工作的万哲先院士的下面李代数一书）。起初顶点代数是起源于物理学的一个新兴的数学分支，即二十世纪六十年代后期，物理学中出现了弦理论。为了描述弦的传播，物理学家引入了一种局部算子，即某种顶点算子，它是顶点代数的雏形。随着它的发展演化，直至1986年菲尔茨奖得主Richard Borcherds提出顶点代数结构（见Richard Borcherds的1986年发表的论文“Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster顶点代数、Kac-Moody代数和the Monster”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986)；其中的Kac-Moody代数是上世纪六十年代Victor Kac和Robert Moody分别独立地引入和创立，使得李代数理论的走向成熟。随着其在量子物理学、量子化学等中的广泛应用，李代数理论的重要性日益显露，如量子群理论的建立与发展等），顶点代数可以看成是手征对称代数在数学里的等价定义，A. Polyakov和K. Wilson研究得出顶点代数结合律的重要性质与算子积展开的性质是等价的，所以顶点代数可以看成是二维共形场论的数学表述。其后如在“科学大百科”说Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman修正补充发展顶点代数后在1988年提出顶点算子代数理论（见Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman合撰1988年出版的508页《Vertex operator algebras and the Monster顶点算子代数和the Monster》一书）。

顶点算子代数理论对我们组合数学也有重要作用（如Rogers-Ramanujan identities罗杰斯-拉马努金恒等式是我们组合数学与q-级数理论中的核心恒等式，直到今天，全数学界公认的神人、被认为是数学史上最伟大的天才之一的拉马努金的影响最深远的研究包括罗杰斯-拉马努金恒等式，因此在20世纪80年代,罗格斯大学数学家James Lepowsky和Robert Wilson利用顶点算子代数理论,为罗杰斯-拉马努金恒等式提供了一个新的表示论证明，并他俩合作指导博士毕业后留校工作的Haisheng Li李海生教授的1990年的博士论文“Vertex Operator Algebras顶点算子代数”，关于这做李代数与顶点算子代数James I. Lepowsky-他的博士Yi-Zhi Huang黄一知的1990年的博士论文也做“Vertex Operator Algebras顶点算子代数”，他的1992年博士毕业现为中国科学院数学研究所研究员Xiaoping Xu即徐晓平也做顶点算子代数理论--最近2004年他们师徒又出版318页的《Introduction to vertex operator algebras and their representations顶点算子代数及其表示导论》一书（还有James I. Lepowsky的博士Haruo Tsukada在1988年的博士论文已做“Vertex Operator Algebras顶点算子代数”）；上面顶点算子代数的正式提出者Igor Frenkel的博士Yongchang Zhu朱永昌教授的1990年的博士论文也做“Vertex Operator Algebras顶点算子代数”；还有博士论文做李代数的Victor G. Kac的博士Weiqiang Wang王伟强教授的1995年的博士论文就做“Vertex Operator Algebras顶点算子代数”，王伟强教授在国内做多场“无限维李代数”报告，而他的导师Victor G. Kac在1985年再出版280页第二版书籍“Infinite-dimensional Lie algebras无限维李代数”-该书系统构建了Kac-Moody代数的核心理论体系，与理论物理、量子场论及统计力学等学科存在内在联系；也可参考Ralph K. Amayo和其导师Ian Stewart的1974年425页的“Infinite-dimensional Lie algebras无限维李代数”）。还有曾高度评价海南琼州大学工作的万哲先院士的1986年毕业的博士董崇英很快也进入做顶点算子代数（如董崇英和上面James Lepowsky在1988年已合作完成这领域的论文“A Jacobi identity for relative vertex operators and the equivalence of Z-algebras and parafermion algebras”；从上面可知万哲先院士的1964年出版的《李代数》以及1993年出版的《Kac-Moody代数导引》是这领域的基础可作为相关知识的补充或温习）。

下面附数学大师主撰的几本量子力学世界名著（这因数学家在量子力学的角色就如1925年6月,海森堡等建立矩阵力学，这标志着现代量子力学正式诞生；也如最近刘莲君的“海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动力学”一文中描述两人都有所不满对方的工作，如薛定谔说“海森堡的矩阵力学的那种深奥晦涩的代数对我而言是太难了”。…矩阵力学与波动力学之间的对抗形成了寻求量子力学形式体系的实质性解释的基本背景，如此在量子力学中研究量子态及力学量数学表示形式及其相互变换的“表象理论”见矩阵力学和波动力学其实是量子力学的两种等价表述形式--即正如刘莲君的上文说经由薛定谔、狄拉克和约尔丹等证明它俩在数学上的等价性，特别是“数学家冯·诺依曼采用希尔伯空间从数学的角度证明了二者的同构性” --其中冯·诺依曼是下面第2本数学家写的量子力学书的作者）：

第1、这里给海南琼大来信表达高兴接受担任琼州大学的杂志编委的美国数学会主席James Glimm为第一作者和Arthur Jaffe合撰535页的《Quantum physics. A functional integral point of view-量子物理学:泛函积分的观点》-我有这书的1981年版由3部分共20章组成（这书参考文献中这博士论文做上面“算子代数”的海南琼大编委James Glimm的45个如此是这方面大师，James Glimm是美国数学会理事长且在网上可见他经常来中国并他就是海南琼州大学师爷叔Marshall H. Stone的博士Richard V. Kadison的博士James G. Glimm(詹姆士·G·格力姆)；而第二作者Arthur Jaffe(亚瑟·贾菲)是发布“世界七大难题”(也称千禧年大奖难题)的下面克雷数学研究所的主要创始人兼第一任所长，Arthur Jaffe的导师是现代数学物理学的创建者之一的美国数学物理学家Arthur S. Wightman阿瑟·S·怀特曼（并此人的导师是一代宗师John Archibald Wheeler约翰·阿奇博尔德·惠勒--这惠勒的博士还有出自传《别闹了,费曼先生》并是物理论坛(Physics Forum)最近由专业人投票选出人类史上第4伟大物理学家的Richard Feynman费曼还有引力波的发现者Kip S. Thorne基普·S·索恩等）

第2、当然更要多读上面证明矩阵力学和波动力学同构性的John von Neumann约翰·冯·诺依曼撰写的世界名著《量子力学的数学基础》，一些专家如李梧龄教授1987年写了涉及这名著的一篇文章“组合希尔伯特空间和代数---量子力学的数学基础”--李梧龄教授1956年毕业分到复旦大学物理系任教文革后才调动并和李政道合写这篇论文--这么大年纪合作应有一定认识不是莽撞青年了， 李梧龄教授1990年还出版《量子力学概论》一书；诺依曼的这书以希尔伯特空间为框架构建量子力学公理体系，提出四大核心公理：态函数对应希尔伯特空间元素、力学量对应厄密算符、波函数演化遵循薛定谔方程、测量结果为概率分布，并以埃尔米特算符与希尔伯特空间理论统一海森堡的矩阵力学与薛定谔波动力学，该书数学框架至今仍是量子力学基础研究的重要范式。众所周知，这神级天才的诺依曼开创了算子谱理论，并把量子力学基础建立在泛函分析之上。海南琼州大学解决他的著名综述中的唯一最有兴趣问题的Paul Erdős这世界最多产的数学家的同门师兄弟John von Neumann-其在1932年独撰出版的世界经典名著“Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik”，其后普林斯顿大学出版社1955年出版由Robert T. Beyer把它翻译为英文版的《Mathematical foundations of quantum mechanics量子力学的数学基础》--在这个网上可下载冯·诺依曼的《量子力学的数学基础》一书。（可参考有关量子力学的一些视频如优雅的宇宙还有超乎想象的宇宙再有宇宙的构造都是Brian R. Greene布赖恩·格林主持的难怪他2015年后仅1篇论文，刚有上传《量子力学的数学基础》）

第3、B. L. van der Waerden(范德瓦尔登)独撰的《Group theory and quantum mechanics群伦与量子力学》（我有翻译这作者70年代中期的重大修改版并1980年由上海科技出版社出版的这《群论与量子力学》的中文版；我的母校熊钰庆、何宝鹏教授也编著为物理学研究生用的相同书名1991年出版的《群论与高等量子力学导论》一书，当然书名相同但内容可不同，且研究生用书几乎大多内容都适合高年级本科生用，就如的熊钰庆、何宝鹏教授的《群论与高等量子力学导论》是在他们的《高等量子力学》和《矢量空间与群论基础》两本讲义的基础上写成-这2本讲义都是油印本没有正式出版如《矢量空间与群论基础》是熊钰庆教授独立撰写1984年出版的油印本并第一章、第二章是“希尔伯特空间”、第三章是“有限群的表示理论”等都独撰量子力学和数学多个高深专题书籍的人必更深更多思考这些数学的本质以及它们与量子力学更多更深刻联系的内在相关要素-这对具有很深数学烙印可从多个数学视角层次上演绎的量子力学要写它会从多个不同角度洞察有很大自主发挥空间就至少在组织材料上具有很大的自主创造性如此这里说我的导师的这副手熊钰庆教授写的书籍是以前全国最多也居世界前列可不是失偏或狭隘的缺乏丰富深刻的数学去探寻内在逻辑实质更不象很多量子力学书籍大多是抄的）。

第4、海南琼州大学师爷叔-国际数学联盟第1届主席Marshall Stone的博士George Mackey院士独著的1963年出第一版的《The mathematical foundations of quantum mechanics-量子力学的数学基础》（关于这作者,在每年十期的《美国数学会会刊》(即Notices of the American Mathematical Society)发布的2007年第7期824-850页就是很多大师写的纪念他的文章并第832页见George Mackey和他导师Marshall Stone交谈的相片，其后是Arthur Jaffe(亚瑟·贾菲)写的一章的第836页相片中的第3人到第5人依次是George Mackey和下书的作者Arthur Jaffe和James Glimm，接着是诺贝尔奖得主兼国际数学联盟主席David Mumford写的标题为“To George，My Friend and Teacher”--20世纪只有包括这Mumford的3个美国人担任国际数学联盟主席并前2个都是海南琼州大学师爷叔，写这几篇的作者都不是他的博士，在第846页是他的博士Andrew Gleason写的[看“国际数学家大会”见第二十届 1986年 美国伯克利，主席：A．格利森（Gleason）正是他。要知美国至今仅举办2届-另一届是第十一届 1950年 美国坎布里奇即Cambridge，主席：O．维布伦（Veblen）--这O．Veblen也是琼州大学师爷叔]）；

第5、数学无冕之王希尔伯特的博士Hermann Weyl在1931年独撰的《The theory of groups and quantum mechanics群伦与量子力学》。

第6、Kurt Friedrichs库尔特·弗里德里希斯独撰的《Mathematical aspects of the quantum theory of fields量子场论的数学方面》（量子力学与算子代数的关系也就如这Kurt O. Friedrichs还独撰的《Spectral theory of operators in Hilbert space希尔伯特空间的算子谱理论》）

除了数学大师的外，第7本书是我也有物理诺贝尔奖得主Eugene P. Wigner的《Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra群论及其应用量子力学原子光谱》（物理诺贝尔奖得主Eugene P. Wigner是海南琼州大学曾世界领先的现代哈密顿图的开创者Dirac的亲舅舅、Eugene P. Wigner还曾在海南琼州大学的导师柳柏濂教授去合作研究几年的美国威斯康辛大学任教[如这里说Eugene P. Wigner在美国只在威斯康辛大学和普林斯顿任教并虽在威斯康辛大学仅几年但该校认识他的女学生并结婚等说到该校的篇幅很多]、Eugene P. Wigner的博士中的物理学界唯一获得2次诺贝尔奖的John Bardeen的本科硕士都在海南琼州大学的导师柳柏濂教授去合作研究几年的美国威斯康辛大学学习）

第8本书、我也有物理诺贝尔奖得主朝永振一郎主撰的《量子力学中的数学方法》一书；第9、10、11本这里也见物理学家写的3本另数学的群论与量子力学结合的书籍（刚见相关的最近有极大发展的光量子通信先驱A. S. Holevo独撰的Quantum systems, channels, information. A mathematical introduction，，）。Israel Michael Sigal在1978年发表的147页博士论文《Mathematical foundations of quantum scattering theory for multiparticle systems多粒子系统量子散射理论的数学基础》，等等。

上面著作大多主要基于算子代数。

这3书之地位，就如可看到很多评论或意见认为‘国内编写的本科的量子力学用书基本不涉及Hilbert空间的知识和Dirac符号体系，就是涉及的也不够深入。如果把看本科的量子力学的精力花在一部优秀的涉及充分的Hilbert空间的量子力学书上会使你迅速掌握其精髓’，若能把“Hilbert空间的形象化与Dirac符号的熟练运用。把原理与数学统一起来就基本明白了量子力学”，起码这是深刻理解的前提，因为量子状态可用粒子坐标和时间的复值波函数y(r,t)作完全的描述，并据它的性质以及线性叠加仍是波函数和定义内积(y,j)=òy*(r)j(r)dr，则全体波函数集合组成完备的描述量子状态的Hilbert空间。就如诺贝尔经济学奖康托罗维奇的《泛函分析》第一版序言说“当发现Hilbert空间的算子理论在量子力学中得到了重要的应用，…”，也如上面第1本书的第一章第4节是“Oscillations, Waves, Hilbert space”，上面第2本书更是第7页就已说“The concept of a state as ray in Hilbert space leads to the probability interpretation in quantum mechanics”。关于Hilbert空间理论性质-最好参看海南琼州大学师爷叔Marshall H. Stone在这里最后段的“Hilbert空间”名著。

上面和海南琼州大学的编委美国数学会主席James Glimm合撰《量子物理学:泛函积分的观点》一书的Arthur Jaffe贾菲教授是克雷研究所的创始人之一及第一任所长，并该所提出“世界七大数学难题”并每个给予一百万美元的奖励，可参考Arthur Jaffe(亚瑟·贾菲)亲自撰写的文章“千禧年大奖难题之始与未终”，以及互联网上有关“千禧年大奖难题”信息，并如Arthur Jaffe指导的1980年博士毕业的Clifford Taubes(克利福·陶布斯)已获得2009年第6届120万美元奖金多于诺奖的邵逸夫奖。

也如这个网说：2000年5月24日，美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute,CMI）在法兰西学院公布了七大数学难题，每个难题的解决者都可获得一百万美元的奖励。数学界轰动世界的新闻不多，这件事应该算得上其中一件。2018年7月24日，在华东师范大学召开的第29届国际算子理论及其应用会议（IWOTA）上，有幸听到千禧年大奖难题的发起人，哈佛大学教授，美国数学会前主席贾菲（Arthur Jaffe）的报告，讲述关于千禧年大奖难题的背后的故事。Arthur Jaffe贾菲教授是克雷研究所的创始人之一及第一任所长，他说自己是第一次作这样的报告，所以我觉得有记录下来的必要。

克雷研究所成立于1998年。在1999年，时任所长的贾菲教授起了创建2000数学大奖的念头。最初他向克雷研究所提出了10个提议，其中第八个是“选择50个问题在千禧年纪念专辑中出版，并奖励每位作者1000美元。出版后从中选出不到12个难题”。贾菲教授在1999年夏天甚至还起草了一个公告的草稿。不过当他告诉克雷所科学顾问董事会成员Andrew Wiles（费尔马大定理的证明者）的时候，Wiles认为这样的话对难题的选择容易造成纠纷，并提出一个更加保密的程序。董事会认可了Wiles的程序，开始向世界著数学家征集合适的数学难题。董事会决定这些数学难题不能是数学的某个特殊领域的特殊难题，这样不少特殊领域的著名难题被排除在外。他们最终收集到7大满意的难题。本来还想征集更多，但为了赶2000年公布这七大难题，他们不得不停止了征集，而开始请一些数学大家来写这些难题的叙述。因为这些难题牵扯领域较广，而且可以有不同的提法。董事会决定尽量在叙述中用最简单的提法，并且尽量让大众能看明白。这七个难题和难题叙述的作者分别如下：

1．P=NP? （Stephen Cook）

2．霍奇猜想（Pierre Deligne）

3．庞加莱猜想 （John Miller ）

4．黎曼假设（Enrico Bombieri）

5．杨-米尔斯规范场存在性和质量间隔假设（Arthur Jaffe和Edward Witten）

6．纳维叶-斯托克斯方程解的存在性与光滑性（Charles Fefferman）

7．贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（Andrew Wiles）

2000年5月24日，克雷所在法兰西学院公布了千禧年百万美元大奖数学难题，当时有30位科学记者参加发布会。发布会取得了巨大的成功，千禧年大奖难题的消息迅速登上各大报纸，世界为之轰动。克雷研究所的网站在发布会之后不久便因为巨大的浏览量而崩溃。贾菲教授赶紧请他的朋友，美国数学会的执行主任John Ewing帮忙，将千禧年大奖难题挂在美国数学会网站。两天后John Ewing告诉贾菲教授：我们数学会的网站也快撑不住了，我们的网站可不能垮啊，我们有网上书店呢！贾菲教授求到：能不能再坚持一天？最后贾菲教授通过其麻省理工学院的朋友，一位工程学院的教授联系到云服务提供商阿卡迈科技公司才重建了克雷研究所网站。

七大难题公布迄今，只有一道难题被解决，那就是庞加莱猜想被俄国数学家佩雷尔曼解决。在2002-2003年，佩雷尔曼在网上贴出三篇论文，宣称自己解决了庞加莱猜想。2003年，贾菲教授专程到纽约州立大学石溪分校面见在那里访问的佩雷尔曼讨论数学。其间贾菲教授跟佩雷尔曼提到克雷研究所的千禧年百万美元数学难题，佩雷尔曼的回答很简单：“钱很危险。”2006年，三组数学家分别验证了佩雷尔曼的证明，克雷研究所将第一个百万大奖奖给了佩雷尔曼。而佩雷尔曼早已回到俄国跟他老妈生活在一起过着清贫的生活，拒绝领取奖金。2008年，贾菲教授曾试图联系佩雷尔曼而没有成功。据说佩雷尔曼辞去其数学工作后，将其精力主要用在欣赏音乐以及跟音乐家们的交往之中。 贾菲教授在报告最后引用法国著名数学家安德烈·韦伊（André Weil，1906-1998）关于这七大难题中的黎曼假设的话：

1． 在我年轻的时候我想证明黎曼假设

2． 在我逐渐年长之后我只希望看到它的证明

3． 现在我只希望知道黎曼假设被人证明了

贾菲教授说，也许在座的年轻人中有一天会给世界带来这份大礼！

报告结束后，主持人要大家提问。会场只有我一个人举手。我问道：“在报告中您提到比较确定这七大难题中最后解决的一个，那是哪一个难题？” 贾菲教授的回答出人意料：“是杨-米尔斯规范场问题”。居然不是黎曼假设，可以看出这个回答出乎会场许多人的意料。仔细一想，也不那么意外，这个难题的叙述是贾菲教授自己和Edward Witten合写的，他自己应该对这个难题的难度最有了解。不过我还是觉得黎曼假设应该是最难证明的。

这里顺便说下量子场论，其受重视程度如华人首获诺贝尔奖的杨振宁和李政道先生就主要从事的是量子场论（当然其也涉及许多领域-如胡宁院士在《场的量子理论》前言说其‘为北京大学基本粒子的教材’）。关于量子场论当然是量子和场论的结合体-而这领域内容已够多又篇幅有限一般都不会过多讲量子力学和场论特别是电磁场等-所以电动力学和量子力学都要先有一定的掌握，并这领域的著作很多，可先看一些基础的，其后可看Steven Weinberg史蒂文·温伯格的《The Quantum Theory of Fields》3卷和Eberhard Zeidler的《Quantum Field Theory》3卷。Sidney Coleman的《量子场论》讲座视频，特别是这里第39起的诺贝尔物理奖得主Julian Schwinger(朱利安·施温格)和他的2个博士等的书籍（其中之一作者张绍进当年还是台大物理系“状元”考进哈佛大学，并他的妻子张盈盈是哈佛生物博士，而他俩的女儿张纯如是个美女历史作家并有许多纪录片如1小时50分钟的张纯如《南京暴行》纪录片），关于这量子场论-这里下面见一些中文版的量子场论著作。

诚然，从事量子力学等的数学重要武器不止于Hilbert空间，可参看B. L .范德瓦尔登和Hermann Weyl赫尔曼·韦尔等的著作