刚见:北京大学李忠教授宣布证明黎曼猜想(这黎曼猜想可是美国克雷数学研究所悬赏百万美元的世界七大数学难题之一,在百度可见黎曼猜想的重要性远远超过世界知名问题,是当今数学界最重要的数学难题,正如诺贝尔奖得主Enrico Bombieri2000年专为此写的文章中说“In the opinion of many mathematicians is probably today the most important open problem in pure mathematics-是否疑诺主偏见?可看下面最后段之大师们的看法、关注或研究程度,科普一点的可看纽约哥伦比亚大学博士卢昌海的“为什么说黎曼猜想是最重要的数学猜想[卢昌海也算非等闲之辈--清华朱邦芬院士就写“引人入胜读卢昌海--卢发表在《数学文化》杂志的共6期文章汇成《黎曼猜想漫谈》一书也得到王元院士撰写读后感(代序)并说“黎曼猜想是数学中第一号重要问题”--卢昌海写的三个半物理学家也极有影响],关于这猜想也如中科院胡作玄研究员说“天下第一难题---黎曼猜想”,特别是这猜想还涉及到信息安全等许多学科特别关键问题因此若解决这不止于仅是全球数学界将出大事)。如此,一般专家宣布证明这猜想,肯定没有几人当真,可这李忠教授曾是北京大学数学系主中国数学会秘书长及北京数学会理事长,并曾两次获得国家自然科学奖,国家有突出贡献的中青年专家等,如此我国著名复分析权威,那你不重视他还能重视谁?当然证明是否正确还需专家们详细审核。我身边有他撰写的《复变函数》等书籍(特别是《复分析导引》的引用有一绝-除引用Berkeley伍鸿熙的《紧黎曼曲面引论》外的华人的全只引用他自己的7-其中他独著的5篇和海南琼大编委Paul Garabedian的师弟Clifford J. Earle合作的2)。总之,我们等待着这学科国内外权威专家们的权威结论,下面是这学科的某些相关专家

以前这方面我国最著名教材是武汉大学余家荣教授的《复变函数》,其1988年获国家教育部高校优秀教材一等奖余家荣可是师承G. Valiron大师并于1950年获得巴黎大学博士学位(余家荣的早6年毕业的师兄Laurent Schwartz就获得2届诺贝尔奖-我也早就有Schwartz名著《广义函数论》-这泛函考虑多方面关系需花点时间。另,武汉大学历史上全校第一个博士孙道椿是余家荣教授指导的,可这孙道椿教授在1998年刚成为世界权威之时从武汉大学调来我的母校华南师范大学工作-而这1998我的导师柳柏濂教授仍兼任华南师范大学数学学院正院长,在期刊网www.cnki.net见有36篇论文的中国复变函数第一人杨乐院士的合作者除了1983年担任全国科协书记处书记的张广厚之外的合作最多篇的人就是这孙道椿,也见余家荣培养很多博士但其一生只有一个合作者孙道椿教授。余家荣教授还有一个值得说的贡献-1980年武汉大学派出以余家荣为首兼有卓仁禧院士等的代表团到法国访问签定合作协议,1980年创办中法班并余家荣任主任,才有中国数学史上最成功的数学实验班-武汉大学中法班竟有说现在没有人有余家荣老师那么大的能量了余家荣教授任数学交流项目的负责人等,就因这中法数学班广泛的影响-象最近写了有点意思的我为什么选择代数几何和数论梁永祺教授在大一就从自动化系转到数学并终也去巴黎11大读博士。刚见复分析研讨会暨余家荣教授 90 寿辰庆祝会在开幕词后是中国复分析第一人杨乐院士介绍余先生学术成就)。

关于复分析,在胡传淦教授的有限维与无限维复分析研究新动向或看这里2届是中国人召集的-5由杨乐院士和上面李忠教授召集,第8届由杨乐院士和仪洪勋教授召集(仪洪勋教授就是这里最后部分见是2000年以前以第一完成人获得的科技奖是中国最多的海南琼州大学编委-特别是还独立获得国家科技奖-可科技奖是罕见独立完成的-另外数学界至就获国家自然科技奖

关于复变函数书籍,我身边除了有上面余家荣教授和李忠教授的复变函数书籍外,还有:

我们海南琼州大学杂志编委Paul Garabedian的导师-世界第一个数学诺贝尔奖获得者Lars Ahlfors撰写的复变函数世界第一名著《复分析》

国际数学联盟主席、Wolf奖获得者Henri Cartan昂利·嘉当的《解析函数论初步》

《复分析导论》第一卷:单复变函数,《复分析导论》第二卷:多复变函数,作者:Б.B.沙巴特 (关于这2本书,起因于这里第2封信见我联系俄罗斯最著名的院士担任海南琼州大学编委后-这院士才写信给我表示有意向让他和诺贝尔奖得主合写的四卷本给中国出版-我才联系我国高等教育出版社,表达这院士等该国大师们请该社派人前去进一步商谈签出版协议-才使我国高等教育出版社得以出版曾辉煌过的世界第一数学强国的所有最好的大学数学名著

杨乐院士纪念的他的大学三年级授课老师庄圻泰教授和张南岳的《复变函数》

北大方企勤的《复变函数教程》

已获得全国模范教师》、国务院《政府特殊津贴》、国家教育部自然科学奖二等奖等后在50岁正是可再升官的2003年从院长位上调来成为我的母校华南师范大学数学学院上百个普通老师之一陈宗煊和上面孙道椿、刘名生3个华南师范大学复分析博导最近合写的《复变函数》(这书也由上面以前中国获得科技奖最多的海南琼州大学编委仪洪勋教授审核,华师大复分析算尚不错--890年代算难得了-那象现在留学博士都已泛滥了;广州不仅居北上广-而且紧临香港又有当时很火的深圳做它下级如此80年代广州是中国改革先锋中心如这里最后见我的一个业师是北京大学3百多学生中8个考上研究生的之一并仅他是华罗庚大师合作指导的-后是华罗庚任校长兼系主任的中科大教授-再后来华师大)。

 

引子:黎曼猜想涉及拟例外亚纯函数(Quasi-execptional meromorphic functions)因某缘故,我早就知道拟例外亚纯函数和拟例外整函数出现在前世纪30年代的世界著名杂志,但至今2005年在中国期刊网,仍没有看到一篇与拟例外亚纯函数或拟例外整函数相关的论文。

其定义是,一个亚纯函数或整函数f(z)称为拟例外的,如果函数族fn(z)=f(2nz)在圆环(G)(1/2£|z|£2)中是拟正规的。

拟正规族的定义:设D是复平面C内的一个区域, D内的一个函数族,如果对中任一函数列{fn},都存在子序列{fnk}D内的有限点集E,使得{fnk}D\E上局部一致收敛,则称D内的一个拟正规族。

 

下面就简述海南琼大编委Paul Garabedian的导师Ahlfors的《复分析》和国际数学联盟主席 Cartan的《解析函数论初步》这2本名著(第一个诺贝尔奖得主Ahlfors在这书“序”说是为哈佛大学研究班一年讲授的,所以看了下面目录别以为哈佛大学研究生课程内容也没有超出我国大学生课程内容多少-确实所有课题表面上都没有超过本科课题多少-但每个课题都在实质上拓深拓广了-当然在当时来说也不会拓得过深过广-只是以前我读时也还可以-而当然现在肯定更是远离前沿。Ahlfors的书的第2版比Cartan的少一章但篇页内容更多--刚看见3版增加2-内容又稍更多一些。这Ahlfors培养了28哈佛大学博士-但只有一个人成为美国院士即只有琼州大学杂志编委Paul Garabedian院士-且他所做已和导师有所不同并主攻应用性很强的基于飞机和空气动力学等方面的流体力学。而国际数学联盟主席Cartan的书内容虽少些但在整个学科取材适中并除铺垫部分外都更有深度又高度严谨简练很使人拿起就放不下-或许还有其它因素激发吧-记得我当时竟然一鼓作气用不了多久就读完,如此引力就如Cartan仅有18博士但就有一直只搞纯粹数学的第1个数学三大奖得主Jean-Pierre SerreRené Thom等诺贝尔奖得主,DouadyKoszul是院士。所以内容多并非就是好事,因很多几乎都可贯通-不必面面俱到-以过烦累,关键是要简洁地激发兴趣-其自能贯通,如这里说我导师的专著可说是中国数学界第一本研究生教材--我们读研时虽还是油印本但也有3千页-太多了-都不知道要做哪些才可统帅整个学科-更又不可能全部都去做-就只好做他们3个世界级大师获得18项之一全国最高奖的)

 

Lars Ahlfors阿尔斯·阿尔福斯是全世界第一个获得数学诺贝尔奖的人。维基网对Lars Ahlfors介绍的前两行只说他最值得人们缅记的工作只有下面简述的著作《复分析》和主要从属于复分析的黎曼曲面。这里顺着说复变函数理论的中心定理:即基于黎曼曲面之证明的黎曼定理(这定理当然不是基于黎曼1859提出的上面黎曼猜想:ζ(z)=ån=1¥n-z=ò0¥(tz-1/(et-1))dt/ò0¥e-ttz-1dt的所有非平凡零点均在临界线Re z=1/2上),它是:Dz平面C上的任何单连通区域,但不是整个平面;设z0ÎD,那么有且只有一个在区域D内的单叶函数w=f(z),满足f(z0)=0f¢(z0)>0,并且把D保形双射成|w|<1最先的黎曼1851年提出并给出的证明有缺陷,从这里看是因考虑piecewise smooth。其后由我们哈密顿图权威徐军教授的导师孙树本教授当其助教的William Fogg Osgood1990最先把这定理限于考虑Simply connected domains with arbitrary boundaries最先是由Constantin Carathéodory给出基于此的证明并于1912年出版,他的证明用黎曼曲面其后Paul Koebe简化这证明。另外,培养了计算机之父兼博弈论之父-约翰··诺依曼和二十世纪全世界最具天赋的先于我们海南琼州大学之前担任这里NNTDM编委的天才大师Paul Erdős等博士的导师Lipót FejérFrigyes Riesz1922年出版不同的证明。(看来余家荣教授上面的《复变函数》说“这定理是黎曼在1851年提出的,可是他的证明有缺陷,直到1900William Fogg Osgood才作出严格的证明”的说法是不准确的。正如海南琼大编委Paul Garabedian的导师Ahlfors的《复分析》说黎曼定理的“唯一性是很明显的”,关键的问题是存在性,并黎曼主要是假定了Dirichlet原理可行即其积分的某类极值问题的解存在,但正如其后魏尔斯特拉斯-Karl Weierstrass found that this principle was not universally valid

关于这海南琼大编委Paul Garabedian的导师Ahlfors的《复分析》一书-其内容主要为:

12章是复函数和拓扑等的一些基本概念和性质。

3章,复积分。

基本定理。线积分,矩形的柯西定理,圆盘中的柯西定理。柯西积分公式。一点关于闭曲线的指示数,积分公式,高阶导数。解析函数的局部性质。可去奇点,泰勒定理,零点和极点,局部映照,极值原理,链和闭链,单连通性,单连通域内的正合积分,多连通域。留数计算。留数定理,幅角原理,定积分的计算,

4章,无穷序列。

收敛序列。基本序列,子序列,一致收敛性。幂级数。收敛圆,泰勒级数,洛朗级数,部分公式与因子分解。部分公式,无穷乘积,典型乘积,G-函数,Stirling公式。正规族。正规族条件,黎曼映照定理,。

5章,狄利克雷问题。

调和函数。定义和基本性质,均值性质,泊松公式,Harnack原理,Jensen公式,对称原理。次调和函数。定义和简单性质,狄利克雷问题的解。多连通域的典型映照。调和测度,格林函数,具有平行线的域。

6章,多值函数。

解析延误。一般解析函数,函数的黎曼面,沿弧的解析延拓,同伦曲线,单值性定理,支点。代数函数。两多项式的结式,代数函数的定义与性质,临界点上的性态。线性微分方程。寻常点,正则奇点,无穷远点附近的解,超比微分方程,黎曼的观点

 

国际数学联盟主席Wolf获得者Henri Cartan昂利·嘉当的《解析函数论初步》的内容为:

第一章,一些基本概念。

形式幂级数。多项式代数,形式级数代数,形式级数的阶,一个形式级数代入另一个形式级数,形式级数的倒级数,形式级数的导数,反级数。

收敛幂级数。幂级数的收敛半径,收敛幂级数的加法乘法,一个收敛幂级数代入另一个收敛幂级数,收敛幂级数的倒级数,收敛幂级数的求导,幂级数系数的计算,收敛幂级数的反级数。

指数函及对数函数。其级数展开式。

单实变或单复变解析函数。解析判别准则,解析开拓原理,解析函数的零点,亚纯函数,

第二章,全纯函数。

曲线积分。开集D内的微分形式w=Pdx+Qdx的原函数dF=w。闭微分形式-即是D的任一点的开邻域内都有原函数。非单值原函数。

同伦。定义:已给具有相同起点及终的两条道路g0:I®D g1:I®D (即(g0(0)= g1(0), g0(1) =g1(1)),如果存在着从I´ID内的连续映射(t,u)®d(t,u)使得

d(t,0)= g0(t), d(t,1)=g0(t) , d(0,u)= g0(0)= g1(0), d(1,u)= g0(1)=g1(1),则称g0(0)g0(0)是(在D内)具有固定端点的同伦道路。

单连通开集内的原函数,封闭道路的指标,紧集的有向边界。

全纯函数。可微函数,全纯条件,掌握柯西定理,全纯函数的泰勒展开及几个相关定理公式原理。

第三章,泰勒展式及洛朗展式、奇点及留数。

注意刘维尔定理及泰勒系数的积分表示式。平均性质及最大模原理。洛朗展式。洛朗级数,环内全纯函数的洛朗级数展式,环内全纯函数的分解,柯西不等式及对孤立奇点研究的应用。

无穷远点及留数。黎曼球面及其上的可微道路、闭道路、紧集的有向边界等。留数,

对中心为原点的圆环r1£|z|£r2内的全纯函数f(z),有引理:如果g是含在这样的圆环内的一条件闭道路,则有(1/2pi)ò f(z)dz=I(g,0)a-1,其中I(g,0)表示道路g关于原点0的指标,a-1f的洛朗展式中1/z的系数。

当函数f以原点0作为孤立奇点(极点或本性奇点)时,特别可应用公式(1/2pi)ò f(z)dz=I(g,0)a-1在这种情形下,g表示0的邻域内不通过0的一条件闭道路。在f的洛朗展式中,系数a-1称为函数f在奇点0的留数。

留数定理,留数的实际计算,确定亚纯函数的极点及零点个数及应用,双周期函数及应用

第四章,多变量解析函数。

多变量幂级数。多重幂级数的收敛域,收敛幂级数的运算。

解析函数。可展开成幂级数的函数,解析函数的运算,解析开拓原理。

两个实变量的调和函数:2f/x2+2f/y2=0。调和函数与全纯函数的关系,平均性质,调和函数的解析性,求实部已知的全纯函数。泊松公式和狄利克雷问题。

多复变量全纯函数。全纯函数的定义,注意柯西积分公式,全纯函数的级数展式,全纯函数泰勒展式的系数的计算,全纯函数的复合,隐函数定理。

第五章,全纯或亚纯函数序列的收敛性,级数、无穷乘积,正规族。

在空间ℓ(D)的拓扑(ℓ(D)是开集D内复值连续函数的向量空间,(D)是开集D内全纯函数的向量空间)。在任何紧集上的一致收敛性,全纯函数序列收敛性的基本定理,空间ℓ(D)的拓扑。

亚纯函数项级数。亚纯函数项级数的收敛性,注意亚纯函数项级数的一些例子,魏尔斯拉斯P函数。

全纯函数的无穷乘积。定义,全纯函数的正规收敛乘积的性质,G函数,的无穷乘级展式,

(D)的紧子集。(D)的有界子集,基本定理的叙述、证明、推论。

第六章,全纯变换。

概念。保形变换。D的自同构,复平面的自同构,黎曼球面的自同构,单应变换群的几何性质,半平面及圆盘的等价性,半平面及单位圆盘的自同构。保形表示的基本定理。

解析空间概念,微分形式的积分。黎曼曲面。 

全纯微分方程组。

存在及唯一定理.

k为一整数³1。假定已给k+1个复数量的全纯函数k个:

fi(x, y1,y2,¼yk), 1£i£k,

假定这些函数在一点(a, b1,b2,¼bk)的邻域内全纯。考虑微分方程组

   dyi/dx= fi(x, y1,y2,¼yk), 1£i£k,

我们要求含k个函数yi= yi(x)的函数组,使得这些函数在点x=a的邻域内全纯,yi(a)= bi,而且满足方程组。最后一个条件表明导数满足

定理:上述问题有一组解,并且只有一组解。

K=1情形:形式解,收敛问题,K为任何情形。

对参变量及初值条件的依赖性。高阶微分方程

 

关于北京大学李忠教授的《复分析导引》,其内容比上面的又稍有深化拓广:

第一章 Riemann映射定理

§1 解析映射;§2 解析函数序列与正规族§3 Riemann映射定理的证明§4 共形映射的边界对应§5 模函数§6 单值性定理§7 Picard定理§8 单叶函数§9 区域序列共形映射的收敛定理

第二章 广义Schwarz引理及其应用

§1 Poincaré度量§2 Schwarz-Pick定理§3 Montel正规定则§4 Ahlfors超双曲度量§5 ρ0,1(z)的初等下界与Landau定理§6 Picard大定理§7 Schottky定理

第三章 共形模与极值长度

§1 共形模§2 极值长度§3 Rengel不等式§4 模的单调性与次可加性§5 保模映射§6 模的连续性§7 模的极值问题

第四章 拟共形映射

§1 几何定义§2 可微拟共形映射§3 K拟共形映射的紧性§4 广义导数§5 拟共形映射的分析性质§6 存在性定理及其推论§7 拟共形映射的Riemann映射定理§8 等温坐标的存在性

第五章 Riemann曲面的基本概念

§1 Riemann曲面的定义§2 Riemann曲面上的解析函数与映射§3 Riemann曲面间的全纯映射§4 微分形式§5 调和微分与半纯微分§6 Stockes公式§7 Weyl引理§8 一阶微分形式的Hilbert空间§9 光滑微分的分解定理§10 调和微分的存在性§11 半纯微分与半纯函数的存在性

第六章 Riemann-Roch定理

§1 曲面的拓扑§2 de Rahm上同调群§3 Riemann曲面上的全纯微分§4 半纯微分的双线性关系§5 除子与Riemann-Roch定理§6 Riemann-Roch定理的证明§7 Weierstrass空隙定理§8 Abel定理及其推论

第七章 单值化定理

§1 单值化问题与单值化定理§2 单值化定理的证明§3 单值化定理的推论§4 Riemann曲面上的度量§5 双曲型Riemann曲面与Fuchs

第八章 Riemann曲面上的拟共形映射

§1 基本概念§2 拟共形映射的同伦提升§3 拟共形映射的极值问题§4 二次微分的轨线结构§5 Teichmüller映射§6 Teichmüller惟一性定理

第九章 Teichmüller空间

§1 Riemann曲面的模问题§2 Teichmüller空间的模型§3 Fricke空间§4 Teichmüller存在性定理§5 Teichmüller度量§6 模群及其间断性§7 模变换的分类

附一些关于黎曼猜想的权威大师们写的书或文章:诺贝尔奖得主Alain ConnesTrace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function-1999也见SM杂志以及最近的An Essay on the Riemann Hypothesis也见数学问题集;第4个全获得数学三大奖的比利时人Pierre Deligne至今的论文一直用母语写不确知其详细但RH网推荐他1974年和1980年的;RH网也推荐这里Sommerfeld的博士贝特的博士Freeman Dyson写的啥Birds and frogs颇有意思;也推荐培养André Weil的导师阿达马Hadamard Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques;哈代HardyJohn LittlewoodThe zeros of Riemann's zeta-function on the critical line;美国科学院副院长Ronald Graham的导师Derrick LehmerExtended computation of the Riemann zeta-function;这Lehmer的博士Harold Stark的博士Andrew Odlyzko The 1020-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighborsThe 1021st zero of the Riemann zeta function 海南琼大合作的Emory大学组合数学与数论专家Ken OnoKannanInvent Math发表的Ramanujan's ternary quadratic form;黎曼1859英文版;3个全获得数学三大奖John Milnor的“On polylogarithms, Hurwitz zeta functions, and the Kubert ident”;Paul Erdős的师兄Marcel RieszActa MathSur l'hypothèse de RiemannAM主编Peter Sarnak Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis 准数学三大奖得主Atle SelbergContributions to the theory of the Riemann zeta-function 1个全获得数学三大奖Jean-Pierre SerreZeta and L-functions Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjecturesJohn TateAlgebraic cycles and poles of zeta functions;下面证明费马大定理得Weil20篇论文中合作3篇的哈佛Barry MazurWilliam SteinWhat is Riemann’s Hypothesis?这里有一版本(他俩还写一书《Prime Numbers and the Riemann Hypothesis》);2个全获得数学三大奖John ThompsonHugh Montgomery的“Geometric properties of the zeta function”;图论大师Pál TuránOn some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann;海南琼州大学祖叔计算机之父Alan Turing图灵竟也写的Some calculations of the Riemann zeta-function(或看这里的Alan Turing and the Riemann hypothesisAlan Turing and the Riemann Zeta Function);上面阿达马的博士André WeilNumbers of solutions of equations in finite fields准数学三大奖得主证明费马大定理的Andrew WilesTwenty years of number theory(数学界数学三大奖-Fields,Wolf,Abel准数学三大奖都获得的人全部就在上面