不动点理论

正如江泽涵院士的不动点著作所说:大量的实际问题的数学模型是各种各样的数学方程。在很多情形下,解方程的问题可以归结为求某一个空间的自映射的不动点问题。

下面世界第一大学-加州理工学院Kim Border教授80年代出版的《不动点定理在经济学和博弈论中的应用》各章都用到图论特别是closed graph闭图和open graph开图等的相关技术,以研究海南琼州大学师爷叔们从事的博弈论-如琼大一个师叔就有5个学生凭博弈论的工作获的诺贝尔经济学奖,当然Border教授这书的也用图论技术等研究包括我在这里翻译的纳什奠定非合作博弈的n人博弈中的均衡点》和《非合作博弈》--其关键点就是对不动点定理的推广和应用。其实,博弈论之父冯·诺依曼在其发展中曾多次和人合作应用推广不动点定理

正如不动点理论权威Ravi P. Agarwal在他们的专著《不动点理论和应用》序言开头所说“不动点理论最著名的结果可能就是Banach压缩映射原理”,这也看到不动点理论的发展与泛函分析、拓扑学紧密相关,正如在Banach的家乡波兰读博士的崔云安的“泛函分析及相关专业教材或参考书”《Banach空间几何理论及应用》专著共5-其中第2章是“与不动点有关的几何性质”第4章是“集值映射不动点理论”,可想其它章也多与不动点理论相关。再如陈汝栋的书《不动点理论及应用》说其是“应用泛函分析方向研究生参考书”,足见不动点理论也是泛函分析发展之主要推动力。当然其发展已不断地拓展以及在常微分方程、偏微分方程和泛函微分方程等中也常用于处理其解及相关问题,如此下面给出一些相关介绍。

因这领域已博大精深,下面就先从几个经典的不动点定理开始(最后也顺便介绍近年来掀起热潮分数阶微积分。相应于常偏微方程就可建立相应的分数阶常微分方程分数阶偏微分方程特别是下面泛函微分方程部分说若我读研究生3年多每天都去系里则几乎都能见到的专家的我国第一本专著也常用到不动点理论,但或许相应的分数阶泛函微分方程物理意义尚不明朗如此这学科几乎还没一篇论文,还有结合随机微分方程、模糊随机微分方程等的相应理论如何建立?):

正如这里定理[2]一段说一些问题也用不动点理论以及组合方法结合泛函分析的巴拿赫空间处理,曾来信称赞海南琼大的工作的哈密顿图大师Béla Bollobás的博士生Gowers的博士论文也用组合方法处理泛函分析的巴拿赫空间问题的并解决巴拿赫的某些重要猜想而引起组合数学界的极大兴趣-即象这里说的“主要成就在于运用组合数学的方法解决了巴拿赫空间理论中的一系列问题”其后Gowers获得数学诺贝尔奖-Fields,如此以前虽忙但我也就读完巴拿赫的世界名著《线性算子理论》--此书主要讲我评论的哈密顿图大师Béla Bollobás的博士生Gowers解决和发展而据此获得诺贝尔奖的巴拿赫空间子空间相关空间性质理论及其上的线性算子理论等--此于书成于20世纪30年代初,其后,Banach空间理论又有很多发展(附线性算子理论以及更广的泛函分析的更多参考资料

不动点理论虽萌芽于19世纪末堪称全才的拓扑学先驱庞加来的一些论文,但直到创造单纯复合形和流形概念的拓扑学家Brouwer泛函分析创立者Banach得到下面2个不动点定理,不动点理论才成为博弈论和讨论各类方程解的存在唯一性及其它问题的重要工具:

1912Brouwer得到的Brouwer不动点定理:设Bn维欧氏空间Rn中的闭单位球,又设T: BB是一个连续映射,那么T必定有一个不动点xÎB(张恭庆等著《泛函分析讲义》。推论:设Bn维欧氏空间Rn中的一个紧凸子集,又设T: CC是连续的,那么T必有一个C上的不动点)。它的证明很多

1922Banach压缩映像原理:设T是完备的距离空间(X, r)到自身的压缩映射,则存在唯一xÎX,使得T x=x,即TX上存在唯一不动点(张恭庆等著《泛函分析讲义》)。推论:设T是完备的距离空间(X, r)到自身的映射,且对自然数n,使Tn是压缩映射,则存在唯一xÎX使得T x=x.

集压缩映射原理:设XBanach空间,KX中的有界闭集,f: KK是集压缩映射,则fK上存在不动点(Yusun Tong集压缩映射定义:设XBanach空间,KX中的有界闭集,f: KK是连续映射,如果存在kÎ[0,1),使得对X中一切有界非紧子集A,均有a(f(A))£ka(A) 。其中a(A)A的非紧性测度:设X为距离空间,AX中的有界集,记a(A)=inf{d| 存在有限个集Si ÌX, diam Si£dI SiÉA}

1930Schauder不动点定理:如果全连续算子A映射Banach空间E内有界闭凸集S于其自身,那么这个映象的不动点存在,即存在xÎS使Ax=x。(刘斯铁尔尼克和索伯列夫著《泛函分析概要》276页)

1941Kakutani不动点定理:设XBanach空间,KX中的非空凸紧集,多值映射f:: K2K是闭映射,而且对每个点xÎKf (x)均是集合K的非空凸子集,则fK上存在不动点(Yusun Tong多值映射f: K2K的不动点的定义:若存在xÎX使xÎ f (x),则称xf的不动点)

Kakutani不动点定理的推论:设XBanach空间,KX中的非空凸紧集,多值映射f:: K2K是闭映射,而且对每个点xÎKf (x)均是集合K的非空凸子集,则fK上存在不动点(童裕孙著《泛函分析教程》。多值映射f:K2K的不动点的定义:若存在xÎX使xÎ f (x),则称xf的不动点)

博弈论基本定理:设XY分别是两个Banach空间中的凸紧集,K(x, y)X´Y上连续,且对每一个xÎXK(x, y)是关于y的凸泛函;对每一个yÎY-K(x, y)是关于x的凸泛函,则必存在(x0, y0),使得  minyÎY maxxÎX K(x, y)= K (x0, y0)= maxxÎX minyÎY K(x, y) Yusun Tong

有向流形的Lefschetz不动点定理:设单纯复形M是有向n维流形, f: MM是映射,如果LefschetzL(f)0,则f有不动点(《同调论》-作者姜伯驹院士-主要研究“拓扑学中的不动点理论和低维拓扑学”-他父亲是中国现代数学的奠基人或说先驱姜立夫教授)。其中设Mn维流形,任意选取Hq(M)中的基,设同调同态f*: Hq(M)Hq(M)的矩阵是F(q) LefschetzL(f):=q=0dimX(-1)q tr F(q)

胞腔复形的Lefschetz不动点定理:设K是有限胞腔复形, f: KK是映射,如果LefschetzL(f)0,则f有不动点(姜伯驹著《同调论》。读此书要先掌握下面M. A. Armstrong的《基础拓扑学》和抽象代数的相关基本知识,而只因正如这里[2]任韩教授说图论大师刘教授“正用代数拓扑的‘同调论’的方法来研究图在曲面上的行为”,如此我才关心之。这个Lefschetz对图论也意义非凡:如他的学生Wylie只培养5个博士,但其中不仅有the leading world figure in graph¼he established fundamental results for matching¼Hamiltonian circuitsWilliam Tutte、也有he may justly be counted among the founders of 图论¼Themes running through his papers are Hamiltonian cyclesNash-Williams其学生Adams的博士也是剑桥Bollobás院士--3人不仅是图论开拓者也是哈密顿图大师、其学生Kelly的博士论文是这同调论、就是另一学生Zeeman的博士也是这段的Armstrong

我国很多大学的拓扑学课程甚至都不讲单纯形这部分,可它在不动点理论也有重要应用,那就还需要先掌握这方面更基本的概念,它们也属于已形成为拓扑学的一个分支-这里的《同调论》的基本概念和理论。同调论的国外好参考书有如这里说我帮助引进到我国的俄罗斯福明科院士等的世界名著:《现代几何学:方法与应用 (3) 同调论引

其中,Brouwer不动点定理有不少重要推广,如上面SchauderBanach空间和这里Tychonoff用局部凸空间代替Rn,证明了不动点定理仍成立,上面Kakutani不动点定理也是推广Brouwer不动点定理;而Kakutani不动点定理也有不少推广1950BohnenblustKarlinBanach空间代替Rn,证明了不动点定理仍成立。1952Fan Ky-樊畿Glicksberg独立用局部凸空间代替Rn,得到:XHausdorff局部凸空间E中的非空凸紧集,集值映射F: X®P0(X)上半连续,且"xÎXF(x)X中的非空凸紧集,则存在x*ÎX使x*ÎF(x*)樊畿是著名华人数学家并和他导师合著《组合拓扑导引;压缩映射原理(Banach不动点定理)也有许多推广-如弱压缩映射的不动点也是唯一。

今年排名世界第一大学的加州理工学院Kim Border教授的《Fixed Point Theorems with Application to Economics and Game Theory》(尚没有中文版)第28页有Brouwer不动点定理f:mm连续,则f有不动点(该书第20页称mStandard closed m-simplexm维标准闭单形-可参考涉及单纯形的拓扑书)。当然容易得到它们都有很多推论,这些结果基本上都是互为因果的(见此书第9章给出很多这些关系)。

Kim Border教授的此书的第29页有“r-image-映像”定义,相应地Borsuk1967年得到下面定理:

Borsuk不动点定理:设E是紧凸集KÌRnr-image, f:EE连续,则f有不动点。

此书的一些概念也要注意:如第33页的U-maximal,这章经常考察它的是否紧的、非空的、闭的、

1930Schauder不动点定理:设C是线性赋范空间B*维中的一个闭凸子集,又设T: CC连续且T(C )列紧,则TC上必有一个不动点。推论:设C是线性赋范空间B*维中的一个有界闭凸子集,又设T: CC紧的,则TC上必有一个不动点)。

Cartan不动点定理:设(M~n,g~)Cartan-Hadamard流形GM~n,g~)的一个等距子群GÎIso(M~n),再假设存在中M~n的一点p使得G作用在p上的轨迹有界,则GM~n中必有不动点。(Notre Dame

     此书中有足够充分的相关知识去理解博弈论

不动点理论值得注意的书还有:Andrzej GranasJames Dugundji的《Fixed Point Theory》;D.Smart的《Fixed Point Theory

Ravi P. AgarwalMaria MeehanDonal O'Regan的《Fixed Point Theory and Applications》(都尚没有中文版)

Schauder不动点定理:设C是赋范线性空间E中的一个非空闭凸子集,设F: CC非扩张的且T(C )C的紧子集,则F有不动点(上面A-M-O的书的第2章第1个定理)

下面是这章的主要结果,它由BrouwerGöhdeKirk1965年分别独立地证明:

B-G-K不动点定理:设C是实Hilbert空间H中的一个非空闭凸子集,则非扩张映像F: CC有至少一个不动点(上面A-M-O的书的第2章第2个定理)

下面结果LeraySchauder1934得到的吧?

Leray-Schauder不动点定理:设H是实Hilbert空间和Br={xÎH: ||x||£r, r>0},则每个非扩张映射F: Br®H有至少下面两个结果之一成立:

1FBr中有一不动点

2)存在一xÎBrlÎ(0, 1)使x=lF(x).(它是A-M-O的书的定理2.5

Leray-Schauder度性质:

定理:设W为含0的开集,F: W-®X为全连续映象。设F满足Leray-Schauder边界条件:xÎWm>1时,F(x)¹mx,则FW-至少有一个不动点。(陈文《非线性泛函分析》。搜索看到很多地方把的山字偏旁部写为土、三点水、虫等,这主要是以前写不出山字旁。这是一本被很多院士称赞为很不错的非线性方面的开创性著作,所以,正确点认识作者。虽然变分法、变分原理的历史很悠久,但最近却显示出极其强大的生命力,并长期来已出现很多书,但在近代的泛函分析著作中写进变分原理的书并不多,这是不多之一用一章专为它的也可能是国内的唯一,虽然变分法内容极广而在如此专著必难及一二,也可见此书高度。正如这书的在变分原理这章说,从求解非线性方程的角度来看,变分原理和Leray-Schauder理论分别代表了两种不同观点。后者将非线性方程的解看成是某空间自映象的不动点,而前者却将它看成是某泛函的临界点”。我们知道我国著名的物理学大师钱伟长院士就写过几本变分原理的书,其中一本是结合有限元、一本是广义化)

这里定理[2]一段说一些问题也用不动点理论以及组合方法结合泛函分析的巴拿赫空间处理,曾来信称赞我的工作的哈密顿图大师Béla Bollobás的博士生Gowers的博士论文也用组合方法处理泛函分析的巴拿赫空间问题的并解决巴拿赫的某些重要猜想而引起组合数学界的极大兴趣-即象这里说的“主要成就在于运用组合数学的方法解决了巴拿赫空间理论中的一系列问题”其后Gowers获得数学诺贝尔奖-Fields,如此以前虽忙但我也粗粗的翻读完巴拿赫的世界名著《线性算子理论》--此书主要讲我评论的哈密顿图大师Béla Bollobás的博士生Gowers解决和发展而据此获得诺贝尔奖的巴拿赫空间子空间相关空间性质理论及其上的线性算子理论等--此于书成于20世纪30年代初,其后,Banach空间理论又有很多发展(附泛函分析的更多参考资料

下面结果没有注明是谁得到的什么时候得到的,应是上面定理的推论吧?--因时间有限我没有详细看

不动点定理:设H是实Hilbert空间和Br={xÎH: ||x||£r, r>0} F: Br®H是非扩张映像,若对每xÎBr至下面4个条件之一成立:

1||F(x)||£||x||

2||F(x)||£||x-F(x)|

3||F(x)||2£||x||2+||x-F(x)|| 2

4<x, F(x)>£||x||2

FBr中有一不动点(它是A-M-O的书的定理2.6

    在此书中有足够丰富的不动点理论的基础知识

也正如这里定理[2]段的我很早就研读完的泛函分析主要开创者Banach编著的《线性算子理论》中就已明确“有关不动点的拓扑定理可解释为微分方程解的存在性的古典定理”。于书成于20世纪30年代初,其后,Banach空间理论又有很多发展我们知道对于每个Banach空间X,下列陈述等价:

(i) X是自反的;

(ii) X的单位球弱紧;

(iii) X的单位球序列弱紧;

(iv) X的每个可分自空间是自反的;

(v) 每个有界非空凸闭集的递减序列有非空交;

(vi) X*是自反的。

XBanach空间,对于t>0,令

dX(t)=inf{1-1/2 ||x-y||: |x||=||y||=1, ||x-y||³1}

rX(t)=(1/2)sup{ ||x+y||+||x-y||-2: |x||=1, ||y||=1}

函数dX(t)rX(t)分别称为BanachX凸性模光滑性模。空间X称为一致凸(或乘为一致光滑),如果对t>0dX(t)>0(或limt0rX(t)/t=0)。1963Lindenstrauss指出在凸性模和光滑性模在某种意义下彼此对偶。对于每个Banach空间X,下列陈述等价:

(a) X同构于一致凸又一致光滑的Banach空间

(b) X同构于一致光滑空间

(c) X同构于一致凸空间

(d) 每个X是局部a可表示的Banach空间是自反的,其中a>1

(e) 每个X局部可表示的Banach空间是自反的;

(f) 对偶空间X*满足(a)-(e)

满足上面等价条件的Banach空间称位超自反的

1965Kirk证明了具有正规结构自反的Banach空间具有不动点性质和1966Opial证明得到了具有Opial性质的Banach空间具有弱不动点性质后,利用Banach空间几何性研究非扩张类映射的不动点性质的理论得到了迅速发展,下面是Banach空间几何性的不动点理论的一些著名工作:

定理0.1:若Banach空间X是具有弱正规结构CX中弱紧凸子集,T: CC非扩张映射,则TC中有不动点。(Yunan Cui

定理0.2:若Banach空间XUKK空间,则X具有弱不动点性质。

定理0.3:一致非方的Banach空间X具有不动点性质

定理0.4:若R(X)<2,则X具有弱不动点性质。

定理0.5:设X是自反Banach空间,若limt0Gx(t)/t<1/2,则X具有不动点性质。

2006J. Garcia-Falset进一步推广,得到:

定理0.6:设X是自反Banach空间,若它的接近一致光滑模满足limt0Gx(t)/t<1,则X具有不动点性质。

定理0.7:若Banach空间XNUS*空间,则X具有弱不动点性质。

定理0.8:若Banach空间XUNC空间,则X具有不动点性质。

定理0.9:若Banach空间XNUNC空间,则X具有弱不动点性质。

定理0.10:若Banach空间X具有1一致非析性质,则X具有不动点性质。

定理0.11:若Banach空间X具有Opial性质,则X具有弱不动点性质。

1969NadlerBanach压缩映射原理推广到集值压缩映射,得到:

定理0.12:设CX的非空闭子集,T: CCB(C)是压缩的,则T具有不动点。

1974Teck Cheong Lim得到:

定理0.13:设X为一致凸的Banach空间,CX的有界非空闭子集,集值映射T: CK(C)是非扩张的,则T具有不动点。

1990KirkMassa推广Lim的结果:

定理0.14:设CX的非空闭凸子集,集值映射T: CKC(C)是非扩张的,若X中每一个有界序列关于C的渐近中心是非空紧集,则T具有不动点。

2004Benavides Lorenzo得到:

定理0.15:设CX的非空有界闭凸子集,集值映射T: CKC(C)是非扩张的,若eb(X)<1,则T具有不动点。

2000T. C. Lim得到:

定理0.16:设CBanach空间X的非空有界闭凸子集, T: CK(X)是集值压缩映射,若对任意的xÎC都有TxÌIC(x)-,则T具有不动点。

定理0.17:设CÌX为弱紧凸子集,集值映射T: CKC(C)是非扩张的,若满足(DL)-条件,则T具有不动点。

定理0.18:设X为自反的Banach空间且满足(DL)-条件,CX中可分的有界闭凸子集,非自身集值T: CKC(X)是非扩张且1-c-压缩的,若T(C )为有界集且满足Inward条件: TxÌIC(x), "xÎC,则T具有不动点。

2006Dhompongsa, Benavides, Kaewcharoen, KaewkhaoPanyanak得到

定理0.19:设X为满足(D)性质的Banach空间, CX中非空的弱紧凸子集,若T: CKC(X)是集值非扩张映射,则T具有不动点。

莱夫谢茨不动点定理:设X是紧致可剖分空间,f: XX是连续映射,如果LefschetzL(f)0,则f有不动点(《基础拓扑学》M. A. Armstrong),其中LefschetzL(f):=q=0n(-1)q tracefqh

莱夫谢茨不动点定理:设X是可剖分空间,f: XX是连续映射,如果LefschetzL(f)0,则f有不动点(Chengye You),其中LefschetzL(f):=q=0dimX(-1)q tr(f.q)

1935Schauder不动点定理:如果全连续算子A映射Banach空间E内有界闭凸集S于其自身,那么这个映象的不动点存在,即存在xÎS使Ax=x

1955Krasnoselski定理:设XBanach空间,KX中的闭凸集,FT: KX(非自映射)满足,

1F x+ TyÎK  " x, yÎK

2F为紧的、连续映射;

3T是压缩映射;

则存在$ x*ÎK使得x*=Fx*+ Tx*

 

1950-1952年的Kakutani-Fan-Glickcberg定理:X是局部凸Hausdorff拓扑线性空间,BX中的紧凸集,多值映射T: B2B是非空闭凸值,上半连续,则TB上必有不动点。

1968Browder不动点定理:XHausdorff拓扑线性空间,BX中的紧凸集,多值映射T: B2B满足

1" xÎBT x是非空凸;

2" yÎBT-1 y是开集;

TB上存在有不动点。

 

Banach不动点定理:设T是完备距离空间(X, r)到自身的压缩映射,则存在唯一xÎX,使得T x=x,即TX上存在唯一不动点(Guangfu Cao推论:设T是完备距离空间(X, r)到自身的映射,且存在自然数n使Tn是压缩映射,则存在唯一xÎX,使得T x=x,即TX上存在唯一不动点)。

 

更一般的拓扑空间目前仍没有结果。

 

代数型不动点。

1)压缩映像原理

2)压缩映像原理的各种推广

3)非扩张映像d(Tx, Ty)£ d(x, y)

4)扩张映像d(Tx, Ty)³ kd(x, y), k >1

5)多值压缩映像的不动点定理。

6)紧凸集上的不动点。

7Caristi不动点定理。

8)随机不动点定理。

9)概率度量空间。概率赋范空间中的不动点定理。

102-距离,G-度量空间,H-空间中的不动点定理。

11)半序方法。

12)模糊映像的不动点定理。

12)相容映像的不动点定理。

 

3、几个简单的不动点定理。

定理1.1X是完备度量空间,T: XX,则T的任意不动点在n=1¥TnX内;若n=1¥TnX={y}, y=Ty

定理1.2个设XHausdorff拓扑空间,T: XX连续,且lim Tnx=y , Ty=y.

定理1.3X是度量空间,BÌX闭,CÌX紧,T: BC连续,且对任意e>0,存在x(e)使d(Tx(e), x(e))<e,T有不动点。

 

定理1.3X是度量空间, T: XX连续,d(Tnx,Tn+1x)®0,则{Tnx}的任一极限点都是T的不动点。

 

压缩型不动点定利分类及Rhoades问题 (Dongru Chen)

按压缩条件的不同,对不动点进行如下分类:

(X, d)是度量空间,映射T: XX,称满足下列第(i)个条件的映射为第(i)类压缩映射,记为TÎ(i)

11922年,Banach对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ kd(x, y), k Î[01

21962年,Rakotch,存在单调函数a(t): (0,+¥)®(0, 1)使得

d(Tx, Ty)£ a(d(x, y))d(x, y),xy.

31961年,M. Edelstein,对于任意的x, y ÎXxy,有

d(Tx, Ty)< d(x, y)

41969R. Kannan,存在hÎ(0,1/2),对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ h(d(x, Ty)+ d(Tx, y))

5 1972, R.M. Bianchichi, 存在hÎ(0,1),对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ h max{d(x, Ty), d(Tx, y)}

61971Reich,存在a,b,c³0a+b+c<1,对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ a d(x, Ty)+ b d(Tx, y)+c d(x,y)

71971Reich,存在a(t),b(t), c(t) : (0,+¥)®(0, 1)单调减少,a(t)+b(t)+c(t) <1,对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ a (d(x,y)d(x, Ty)+ b(d(x,y) d(Tx, y)+cd(x,y) d(x,y)

81972Roux, Socrdi,对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ h max{d(x, Ty), d(Tx, y) , d(x, y)}, hÎ(0,1)

91972V. M. Sechgal, 对于任意的x, y ÎX, 任意xy,有

d(Tx, Ty)£ max{d(x, Ty), d(Tx, y) , d(x, y)}, hÎ(0,1)

101972S. K. Chatterjea, 存在hÎ(0,1/2),对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ h{d(x, Ty)+ d(y, Tx)}

111973G. E. Hardy, T.D. Rogers, $åai<1,对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ a1 d(x,y) +a2 d(x, Tx)+ a3 d(y,Ty)+ a4d(x, Ty)+ a5 d(y,Tx)

121973S. Massa, Zamflrescu, 存在hÎ(0,1),对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ h max {d(x,y), 1/2[d(x, Tx)+ d(y,Ty)], 1/2[d(x, Ty)+ d(y,Tx)]}

131971Ciric, 存在hÎ(0,1),对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ h max {d(x,y), d(x, Tx), d(y, Ty), 1/2[d(x, Ty)+ d(y,Tx)]}

141977B. E. Rhoades, 存在åai <1,其中ai : (0,+¥)®(0, 1)单调减少,对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ a1 (d(x,y)) d(x,y) +a2 (d(x,y)) d(x, Tx)+ a3 (d(x,y)) d(y,Ty)+ a4 (d(x,y)) d(x, Ty)+ a5 (d(x,y))  d(y,Tx)

151974L. B. Ciric, 存在hÎ(0,1),对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ h max {d(x,y), d(x, Tx), d(y, Ty), d(x, Ty), d(y,Tx)}

161977B. E. Rhoades, 对于任意的x, y ÎXxy,有

d(Tx, Ty)< max {d(x,y), d(x, Tx), d(y, Ty), d(x, Ty), d(y,Tx)}

 

上面压缩映射还可相应考虑d(Tpx, Tpy)d(Tpx, Tqy)d(Tp(x)x, Tq(x)y)d(Tp(x,y)x, Tq(x,y)y)型,则可得到相应的映像,但在这些限制映射条件下,T是否有不动点?已有很多相应的研究。

 

压缩映像的不动点定理。

定理2.1X是完备度量空间,T: XX且满足d(Tx, Ty)£ kd(x, y), k Î(0, 1), TX内有唯一不动点,且d(xn, x*)£[kn/(1-k)]d(Tx0, x0), limxn=x*, xn=Tx0.

 

定理2.2X是完备度量空间,T: XX且满足存在hÎ(0,1/2),使 d(Tx, Ty)£ h(d(x, Ty)+ d(Tx, y))

TX内有不动点.

 

定理2.3X是完备度量空间,T: XX, åai<1,其中ai : (0,+¥)®(0, 1)单调减少,对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ a1 (d(x,y)) d(x,y) +a2 (d(x,y)) d(x, Tx)+ a3 (d(x,y)) d(y,Ty)+ a4 (d(x,y)) d(x, Ty)+ a5 (d(x,y))  d(y,Tx),则TX内有不动点.

 

定理2.4存在hÎ(0,1),对于任意的x, y ÎX,有

d(Tx, Ty)£ h max {d(x,y), d(x, Tx), d(y, Ty), d(x, Ty), d(y,Tx)}

,则$|x*, Tx*=x*,

limTn x0=x* 并有估计式

d(Tn x0,x*)£[hn/(1-h)]d(x0,Tx0).

 

定理2.5对于任意的x, y ÎX, 任意xy,有

d(Tx, Ty)£ max{d(x, Ty), d(Tx, y) , d(x, y)}, hÎ(0,1)T连续,xÎX{ Tn x0}的聚点,则xT的唯一不动点,且Tn x0x

 

非紧性测度

定义2.1(X, d)是度量空间,AÌX有界。令g(A)=inf{e>0, A可被有界个直径£e的集合覆盖},则称g(A)A的非紧性测度。显然A紧,则g(A)=0

 

定义2.2T: XX,称T

1k集压缩(k³0),如果对任意有界AÌXg(TA)£ kg(A)

2 进一步地,若1>k³0,则称T为严格集压缩

3)凝聚映像,对任意有界AÌXg(A) >0g(TA)<g(A)

 

定理2.8(X, d)是度量空间,映射S, T: XX为两个凝聚映像,ST=TS

且对于任意的x, y ÎX, 任意xy,有

d(Sx, Ty)< a1 d(x,Ty) +a2 d(x,Sx)) +d(Ty, STy)+ a3 {(d(x,STy)+ d(x,Sx)}+ a4 (d(x,STy)) d(x, Ty)/[d(x,Ty)+d(Ty,STy)], "x,yÎX, xTy, ai ³0, a1+2a2 +2 a3 + a4 =1

S, T有不动点。当a1+2a2 + a4 =1时,不动点唯一。

定理2.9(X, d)是一个有界完备度量空间,映射S, T: XX为两个凝聚映像,ST=TS

且对于任意的x, y ÎX, 任意xy,有

d(Sx,Sy)< a1 d(x,Ty) +a2 d(x,Sy)+ a3 d(Tx,STy), "x,yÎX, xTy, ai ³0, a1+a2 + a3 =1

S, T有唯一不动点。

 

非线性压缩映像的若干不动点定理

定理2.9(X, d)是一个完备度量空间,f, g(X, d)上的2个连续自映像,则f, g有公共不动点的充分必要条件是存在函数Ф,满足下条件(Ф)及两个映射像S, T: XXf, g可交换,且

(1)         (ST)(TS)Ì(fX)(gX)

2 d(Sx,Ty)£ Ф(max{d(fx,gy), d(fx,Sx), d(gy,Ty), 1/2[d(fx,Ty)+d(gy,Sx)]}

S, T, f, g有唯一公共不动点。

其中(Ф):Ф[0,+¥]® [0,+¥]非增,上半连续,且Ф(t)<t, "t>0.

 

定义2.3称函数Ф(t)满足Ф¢,如果Ф[0,+¥]® [0,+¥]非负不减,且"t>0, limФ¢ (t) =0.

定理2.10(X, d)是一个完备度量空间,f: XX连续, S, T: XXf,可交换,

若无其事(1(ST)(TS)ÌfX

(2)  存在满足条件Ф¢的函数Ф,使对任意x, y ÎX,

d(Sx,Ty)£ Ф(max{d(fx,fy), d(fx,Sx), d(fy,Ty), 1/2[d(fx,Ty)+d(fy,Sx)]}

S, T, f存在唯一不动点。

这里要说微分方程。众所周知,考察微分方程解的存在性和唯一性时几乎总要用不动点理论来处理,考察解的其它某些状态也偶尔要用到,这里就不说了。推而广之,也就诞生随机不动点理论:它已在随机泛函分析也起到重要的作用,许多随机积分方程、随机微分方程、随机算子方程解的存在性的研究,往往引导到在各种类型的函数空间中讨论随机不动点存在性问题,如单在Polish空间(即可分的完备度量空间),80年代左右,王梓坤、张石生、Špaček,HanšBharucha-ReidItohKannanSalehi讨论了许多随机不动点定理及在许多方面的应用。(1942年伊藤清开创的经典的也称正向的随机微分方程形成鲜明对照的是:Bismut1978提出的倒向随机微分方程的线性情况,其后,非线性倒向随机微分方程则由我国第一个在国际数学家大会做1小时报告的山东大学彭实戈院士Etienne Pardoux1990年开创(即这篇),更1997彭实戈院士在国内发表“倒向随机微分方程及其应用倒向随机微分方程和金融数学,我国也蓬勃发展;也还要注意多值随机微分方程、随机泛函微分方程、模糊随机微分方程)。最近中山大学学报2012(4)一文很有趣但最后说否能定义模糊Brown运动”似乎未有所指明?因按美国科学院Avner Friedman院士的书《随机微分方程及其应用》第一卷定义的Brown-布朗运动是满足下列条件的随机过程W(.):如果W(0)=0W(t)- W(s)具正态分布N(0, t- s), " t ³ s³0③(增量独立性)对0< t1< t2<< tk W(t1), W(t2)- W(t1) W(tk)- W(tk-1)是独立的随机变量(关于Brown运动,1828年,英国植物学家Brown发现水中花粉的运动,布朗运动的首次解释是爱因斯坦创造奇迹1905给出的,他证明,假设浸没的粒子连续不断地受到周围介质的分子的冲击,Brown运动就可得到解释。然而上述简洁的用以描述Brown运动的随机过程的定义是Wiener在自1918年起的一系列论文中给出的,因此Brown运动也称Wiener过程),可王光远院士等1998年的论文中已出现模糊Wiener过程等概念,而且王文中还讨论了对模糊Wiener过程求积的问题,那就不仅早已出现模糊Brown运动定义,而且还出现相关理论?因此,就相对该文来说,遗留问题应是模糊Brown运动均方一致Henstock可积或均方一致Henstock-Stieltjes可积的定义及是否有好的充要条件问题?从期刊网搜索这似乎还是新问题?(特别是,有些许遗憾和矛盾的是:在“模糊随机微分方程与模糊随机过程”兴起的九十年代,我曾研读这领域的约百篇论文,也感到有点意思,不过…)

当然,我读研究生时的大学-华南师范大学的应用数学研究所所长温立志教授的《泛函微分方程》领域我国第一本专著的问题更是常用不动点理论(可参考他的此书。因教授是华师大几个很利害的数学专家之一,按学术成就当时甚至可说是与我的导师柳柏濂并驾齐驱为最利害--虽我导师1990年获得全校唯一特等奖、1991年获得教育部科技进步一等奖,但我常也关注温教授的研究):设C([a, b], Rn)表示将区间[a, b]映射入Rn中的所有连续函数所组成的并且具有一致收敛拓扑的Banach空间,对给定的r³0,我们将空间C([-r, 0], Rn)简记为C,对任一φÎC,其范数定义为||φ||=sup-r£ɵ£0|φ(ɵ)|,其中||Rn中的范数。

如果t0ÎRA³0xÎC([t0-r, t0+A], Rn),则对任一tÎC([t0, t0+A],我们定义xtxt (ɵ)= x(t+ɵ)t取遍[-r, 0]上的一切值。因此,xtÎC

DÍR´Cf: D® Rn为给定函数,则关系式 x·(t)= f (t, xt ) 称为具有有界滞量的滞后型泛函微分方程(Retarded Functional Differential Equation-简写为RFDE)。其中x·(t)表示x(t)t的右导数。相对有无界滞量的滞后型泛函微分方程。

B是由(-¥, 0]映入Rn中函数所组成的某一种函数空间,如果t0ÎRA>0x(-¥, t0+A] ® Rn),则对任一tÎC([t0, t0+A],我们定义xtxt (ɵ)= x(t+ɵ)t取遍(-¥, 0]上的一切值。因此,xtÎC

WÍR´Bf: W® Rn为给定函数,则关系式 x·(t)= f (t, xt ) 称为无穷延滞的泛函微分方程。其中x·(t)表示x(t)t的右导数。

x·(t)= f (t, xt , xt·)称为中立型泛函微分方程(Neutal Functional Differential Equation-简写为NFDE),其中f: R´C´C ® Rnxt·ÎC是由xt· (ɵ)=d x(t+ɵ)/dɵ 所定义。更准确地应称为有限滞量的中立型泛函微分方程

还有1970CruzHale引进一种特殊但又有广泛性的中立型泛函微分方程:设WÍR´C中的开集,f:D都是W® Rn中的连续泛函,当D(t, φ)φ为线性时,它在集K上于0处是原子的,这里KÍRW={t: (t, φ)ÎW},当D(t, φ)φ为非线性时,它在集HÍW上于0处是原子的,则关系式 d D(t, xt )/dɵ= f (t, xt ) 称为D算子型的中立型泛函微分方程。(附:线性D(t, φ) 在集上于0处是原子的定义:设DÍR´C是开集,D(t, φ)W® Rn的连续泛函,且对φ为线性的,由Riesz定理知存在一个n´n的有界变差矩阵函数h(t, ɵ),使得D(t, φ)=ò-r0[dɵ h(t, ɵ)]φ(ɵ)(t, ɵ)ÎW,对于t0= RW={t1 (t, ɵ)ÎW}ɵ0Î[-r, 0] 如果det[h( t0, ɵ0+)-h( t0, ɵ0-)]0,则称线性泛函D(t, φ)t0ɵ0处是原子的,进一步地当然任一t0ÎKÍ RWɵ0处是原子的,则线性泛函D(t, φ)在集Kɵ0处是原子的。关于Riesz定理可看泛函分析-这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系,Paul Erdős就是Leopold FejérFrigyes Riesz的博士。非线性D(t, φ) 在集上于0处是原子的定义见温立志教授上面专著的第19页)

 (有些书分为:滞后型、超前型、混合型、中立滞等)

考察解的存在或唯一状态的:28页的定理1的证明就用Schauder不动点定理、第30页的定理2证明的两处地方也考察不动点,第43页的定理3考察解的的两处地方也考察不动点,第45页引理1压缩映像原理,引理2是推广到导数情形,第46页的定理1及进一步情况也利用它们,第60页的定理1也用Schauder不动点定理、第62页的定理2的用压缩映像原理,77页的定理1也用Schauder不动点定理、第82页的定理就是Darbo不动点定理(非常多模糊积分方程的论文都要用到Darbo不动点定理)、第85页的定理1的(8)式用Darbo不动点定理、第97页也考察不动点,第101页的定理4也考察不动点、第108页定理1考察压缩映像、第109页用Darbo不动点定理、第109页的定理2考察不动点,第110页定理3解的存在、连续依赖的证明提示其类似定理1,第191页定理1的部分证明仿照第二章第2节定理1,考察压缩映像、第108页定理1考察压缩映像非振动解的情况:第369页的定理3两处用Schauder不动点定理、以及第373页的定理4两处用Schauder不动点定理、以及第375页的定理5而定理3类似、及第376页的定理6,第419Horn的定理4和定理5这两个不动点定理周期解的情况:第420页的定理6的用Horn不动点定理,第421页的定理7也用Horn不动点定理处理,第433页周期解的定理