关于我们海南州大学的杂志的编委Paul Garabedian院士的磁约束聚变和《磁流体动力学》(磁流体动力学是研究等离子体这种导电流体在电磁场中的运动的物理学分支。磁流体力学的基本方程是流体力学中的Navier-Stokes equations纳维-斯托克斯方程电动力学中的麦克斯韦方程组。因此最好要先掌握流体力学和《电磁学》的相关基础。磁流体力学是由瑞典物理学家Hannes Alfven汉尼斯·阿尔文创立的,阿尔文因此获得1970年的诺贝尔物理学奖):

而要掌握上面应用数学排名美国第一大学的现在资格最老的海南琼州大学编委Paul Garabedian院士主持100亿元研究的磁约束聚变:因磁约束是用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动,而Magnetic confinement fusion is an approach to generating thermonuclear fusion power that uses magnetic fields to confine the hot fusion fuel in the form of a plasma磁约束聚变是一种用磁场约束等离子体的形式限制热聚变燃料以产生热核聚变动力的方法。则就应先学习Paul Garabedian撰写的《偏微分方程》特别是磁流体动力学》。Garabedian院士是2005-5-17 05:16:05来信说他主持此项目的-此时国家自科基金平均约6万元-现在已平均约60万即涨十倍-他又应早于2005年就主持-那不只相当于1000亿元,

Garabedian院士不仅主持磁约束聚变,他发表在琼州大学杂志上的论文也是磁约束聚变的重要工作,此领域的重要性如最近国务院印发的2012-2030年的国家重大科技发展计划就把能源方向列在第一项;能源方向里又把保持我国在磁约束核聚变研究领域的先进地位放在首位,即“完善提升全超导托卡马克核聚变实验装置的性能,积极参与国际热核聚变实验堆计划,保持我国在磁约束核聚变研究领域的先进地位就如在维基网所说他最重要的工作是:“计算流体力学与等离子体物理”,后者的一个重大作用就是磁约束热核聚变是当前开发聚变能源中最有希望的途径,是等离子体物理学的一项重大应用,而磁流体动力学在一定程度上来说是包含大部分磁约束聚变的更基础更一般的学科两者的关系可从许多论文如磁约束核聚变关键能量转换部件的磁流体力学研究体悟Garabedian院士也合撰磁流体动力学的专著《Magnetohydrodynamic Equilibrium and Stability of Stellarators》。

磁流体动力学正是结合流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科,也就是研究等离子体和磁场的相互作用的物理学分支。其等离子体是由部分电子被剥夺后的原子及原子被电离后产生的正负电子组成的离子化气体状物质,它广泛存在于宇宙中,常被视为是除去固、液、气外,物质存在的第四态。等离子体是一种很好的导电体,利用经过巧妙设计的磁场可以捕捉、移动和加速等离子体。等离子体物理的发展为材料、能源、信息、环境空间,空间物理,地球物理等科学的进一步发展提新的技术和工艺。看似神秘的等离子体,其实是宇宙中一种常见的物质,在太阳、恒星、闪电中都存在等离子体,它占了整个宇宙的99%现在人们已经掌握和利用电场和磁场产生来控制等离子体。等离子体可分为两种:高温和低温等离子体。低温等离子体广泛运用于多种等离子体生产领域。例如:等离子电视等,更重要的是在电脑芯片中的蚀刻运用,让网络时代成为现实。高温等离子体只有在温度足够高时发生的。太阳和恒星不断地发出这种等离子体,组成了宇宙的99%。宇宙研究、宇宙开发、以及卫星、宇航、能源等新技术将随着等离子体的研究而进入新时代。磁流体力学的基本方程是流体力学中的纳维-斯托克斯方程和电动力学中的麦克斯韦方程组。

我们知道导电流体在电磁场里运动时,流体中就会产生电流。此电流与磁场相互作用,产磁流体力学生洛伦兹力,从而改变流体的运动,同时此电流又导致电磁场的改变。对这类问题进行理论探讨,必须既考虑其力学效应,又考虑其电磁效应。磁流体力学包括磁流体静力学和磁流体动力学。磁流体静力学研究导电流体在电磁力作用下的静平衡问题,如太阳黑子理论、受控热核聚变的磁约束机制等。磁流体动力学研究导电流体与电磁场相互作用时的运动规律,如各种磁流体动力学流动和磁流体动力学波等。等离子体和液态金属都是导电流体。前者包括99%以上的宇宙物质,后者包括核动力装置中的携热介质(如钠、钾、钠钾合金)、化学工业中的置换剂(如钠、钾、汞)、冶金铸造工业中的熔融金属等。地球表面一般不存在自然等离子体,但可因核辐射、气体放电、燃烧、电磁激波、激光等方法产生人工等离子体。因此,磁流体力学不仅与等离子体物理学有联系,还在天体物理研究(如磁场对日冕、黑子、耀斑的影响)、受控热核聚变和工业新技术(如电磁泵、电弧加热器、磁流体发电、电磁输送、电磁推进等)中得到发展和应用。

1832年法拉第首次提出有关磁流体力学问题。1937年哈特曼根据法拉第的想法,对水银在磁场中的流动进行了定量实验,并成功地提出粘性不可压缩磁流体力学流动(即哈特曼流动)的理论计算方法。 19401948年阿尔文提出带电单粒子在磁场中运动轨道的“引导中心”理论、磁冻结定理、磁流体动力学波(即阿尔文波)和太阳黑子理论,1949年他在《宇宙动力学》一书中集中讨论了他的主要工作,推动了磁流体力学的发展。1950年伦德奎斯特首次探讨了利用磁场来保存等离子体的所谓磁约束问题,即磁流体静力学问题。受控热核反应中的磁约束,就是利用这个原理来约束温度高达一亿度量级的等离子体。 然而,磁约束不易稳定,所以研究磁流体力学稳定性成为极重要的问题。1951年,伦德奎斯特给出一个稳定性判据,这个课题的研究至今仍很活跃。

磁流体发电是利用运动导电流体与磁场的相互作用而将热能转换成电能的新型高效发电方(神奇的磁流体发电效率高达60%是目前发电效率最好目前许多国家正在研制百万千瓦的利用超导磁体的磁流体发电机),其所指的导电流体,可以是矿物燃料(煤、燃料油、天然气)的燃烧产物,也可以是惰性气体(氩气、氦气等)或者液态金属。美国是世界上研究磁流体发电最早的国家,1959年,美国就研制成功了11.5千瓦磁流体发电的试验装置。60年代中期以后,美国将它应用在军事上,建成了作为激光武器脉冲电源和风洞试验电源用的磁流体发电装置。 日本和前苏联都把磁流体发电列入国家重点能源攻关项目,并取得了引人注目的成果。前苏联已将磁流体发电用在地震预报和地质勘探等方面。前苏联在1971年建造了一座磁流体--蒸汽联合循环试验电站,装机容量为7.5万千瓦,其中磁流体电机容量为2.5万千瓦。1986年,前苏联开始兴建世界上第一座50万千瓦的磁流体和蒸汽联合电站,这座电站使用的燃料是天然气,它既可供电,又能供热,与一般的火力发电站相比,它可节省燃料20%

磁流体发电为高效率利用煤炭资源提供了一条新途径,所以世界各国都在积极研究燃煤磁流体发电。目前,世界上有17个国家在研究磁流体发电,而其中美国、俄罗斯、法国等13个国家研究的是燃煤磁流体发电。燃煤磁流体发电是一种将热能直接转换为电能的新型发电方式具有高效能、低污染的优点。根据我国煤炭资源丰富的特点,它已被作为“863”计划的研究主题并是“能源领域”唯一取得重大进展的领域,这对争取尽快赶上世界先进水平,有重要的现实意义。

作为一种高技术,磁流体发电推动着工程电磁流体力学这门新兴学科和高温燃烧、氧化剂预热、高温材料、超导磁体、大功率变流技术、高温诊断和降低工业动力装置有害排放物的先进方法等一系列新技术的发展。这些科学成果和技术成就可以得到其他方面的应用,并有着美好的发展前景。

综上所述,从高效率、低污染、高技术的考虑,使得磁流体发电从其原理性实验成功开始,就迅速得到了全世界的重视,许多国家都给予了持续稳定的支持。  

做为磁流体力学重要基础的流体力学主要是做为力学的一门分支发展,此附流体力学中的主要方程,其和磁流体力学的很多方程都属于偏微分方程的反应扩散方程也属于发展方程这些发展方程的各种定解问题,虽形式多种多样,且均有各自的特点,因此常常用不同的方法来分别加以讨论和求解,但在不少情况下,却都可以用适当的方法,化为巴拿赫空间中的抽象常微分方程的初值问题的形式:

发展方程

发展方程

式中A是该巴拿赫空间上的一个压缩半群的母元,因此可以利用算子半群的方法来统一地加以处理。

等离子体中,电场、磁场、速度、密度、压力、温度等任何一个物理量一般会随空间和时间变化。原则上它可以分解为各个平面波的叠加,即:

                  

其中为波的幅度,是物理量Fourior分解:

                  

对于其中任意一支平面波来说,为波矢,为频率。

波的速度可以用相速度和群速度来描述。相速度是波在保持相位不变的情况下的运动速度,在此条件下

                                                

得到相速度:

                                                              

    波的群速度描述波包整体运动的速度,而波包是由满足一定色散关系的各种频率的波组成。假设该波包的色散关系为

                                                               

则只有频率满足此关系的波才存在,可以表示为

                                

因而由式积分,在一维情况下得

                                  

假设波包的主要波数为,对应的频率为,近似有:

                                         

其中

                                                               

代入式可得

可见波包的包络以的速度前进。式给出了波的群速度表达式。

    波的相速度可以超过光速。但群速度一定不能超过光速,因为群速度可以传递信息和能量,否则会违背爱因斯坦的狭义相对论原理。

 

2.波的旋转与偏振

一支波沿x方向传播,在yz两个垂直方向上,电场矢量的分量一般可以表示成,其中均为实数。

圆偏振:时,式中取正号时,是右旋的圆偏振波,取负号时,是左旋的圆偏振波。这一点可以这样看:a-b = p/2(取正号)时,,而,随着波沿着x方向前进,E矢量做右手旋转。所以是右旋的。反之,相角差是负90°时,对应左旋偏振。

线偏振:时,波是线偏振的,偏振方向与Y轴的角度为(当n为偶数)或(当n为奇数)

一般情况:是椭圆偏振。

 

3.等离子体波的线性化和平面波分解

将等离子体中的扰动作Fourior分解,也即化为多个平面波的线性叠加。如果方程组是线性的,对于所有满足方程组的平面波来说,其线性叠加也满足方程组。因此,从研究最简单的平面波入手,我们就可以研究扰动在等离子体中的传播和发展。方程组中的非线性项应该被忽略,这是由方程的线性特性所决定的。另外,非线性项都是二阶或二阶以上的小量,在解线性波动问题时,可以忽略。

 

4.线性波的色散关系

一般来说,对于等离子体中的波动来说,其频率和波长有一定的对应关系。或者说,对于一个给定的频率,只有对应波长的波动才能存在。这种对应关系即为波的色散关系:

 

5.电子静电波

    等离子体中,电子的运动会引起电荷分离,使得等离子体偏离电中性,从而产生静电场。在这个静电场的作用下,电子会改变运动状态,力图使等离子体恢复电中性,但是在等离子体恢复了电中性之后,电子仍然具有一定的动能,其运动又会使等离子体产生非电中性。我们称电子的这种振荡为电子静电波,也叫Langmuir波。

    在冷等离子体中,这种波动可以用以下方程组描述:

                                                     

                                                   

                                                         

    我们将方程组进行线性化和平面波分解,得到方程组

                                               

经过化简成为

                                         

这表明,如果要,即有波动存在,必须有

                                                 

在电子热压力不可忽略的情况下,方程改写为

                                         

并加上关于电子压力的绝热方程(由绝热过程得)

                                                       

其中是平均每个电子的内能:

                                                   

这里是电子运动的自由度。由于在电子静电波中,电子做一维的运动,因此这里取。方程可合并为

                                                          

这里为多方指数,而对于电子做1维运动的电子静电波情况,取。而对于普通电子做3维运动的情况,取我们熟知的

    方程组经过线性化和平面波分解,成为

                                   

得到色散关系,也即这组方程存在非0解的条件为

                                                     

这里是电子的声波速度。在的冷等离子体近似的条件下,回到式,对应的Langmuir波的群速度为0,因而是不传播的局域震荡。而在热等离子体中,Langmuir波的群速度与电子热运动速度是同样的量级,类似于电子压力引起的纵波。

    电子静电波的频率必须不小于电子等离子体频率,通常这是较高的频率。在这个频率下,离子由于其质量远大于电子质量,它来不及响应这么高的频率变化。其运动可以忽略。对于长波情况,色散关系可近似为

                                                 

其群速度远小于电子的热速度

                                      

对于短波情况,当时,由式知此时,群速度与电子热速度相当,这是会产生强烈的波与电子的相互作用,需要用动力学才能加以研究。

 

6.离子声波和离子静电波

 

    离子的运动可以产生频率较低的波动。在研究较低频率的等离子体波动时,需要同时考虑电子和离子的运动:

                                      

其中,代表等离子体中的所有粒子,即电子和各种离子。线性化和平面波分解之后,得到:

                                    

得到色散方程:

                                           

其中。由于离子质量远大于电子质量,则

(1)    高频情况

在高频时,,在式求和的各项中,离子项远小于电子项,因而可以忽略。只保留电子项,此色散关系回到式,得到电子静电波。

(2)    低频情况

    为简化分析起见,不妨假设只有一种氢离子成份。

离子声波:

    对于低频长波,,在式中的电子项和离子项均远大于1(因为它们的分母均很接近于0),因此可以忽略第一项1,得到离子声波色散关系

                                                                   

其中

                                                       

这很像在普通气体中传播的声波。由于波长很长,在这种长尺度条件下等离子体可以很好地保持电中性,因此引起的扰动类似于中性气体中产生的压缩波。但由于离子和电子必须保持电中性,当离子运动时,电子必须跟随,两者牢牢地结合在一起。这时电子的压力影响也通过这种结合传递给离子,即使离子温度为0,因为有电子压力的存在,也可以产生离子声波。事实上,在以后的动力论中我们知道,如果离子热运动速度与离子声波的速度相当的时候,会产生阻尼现象,离子声波不能存在,因此离子声波大多在的情况下存在。

离子静电波:

对于低频短波,,在式中,电子项远小于1(分母很大),可以忽略。这时得到离子静电波的色散关系

                                                   

由于在短波情况下,电子热压强的存在,使得电子无规运动速度很大,不能很好地去屏蔽电荷分离引起的静电场,从而引起电荷分离,并引起离子的静电振荡。

 

7.电磁波

 

    从磁感应方程可知,若波矢方向与波的电场方向相同,则波只有电场成份而没有磁场成分,为静电波。反之,若波矢方向与波的电场方向不完全平行,其波场具有磁场部分,为电磁波。电磁波与静电波不同之处在于要考虑到波的磁场成分,可以由

                                                           

经过线性化和平面波分解得到

                                                             

代入法拉第方程

                                                

假设从带电粒子的运动方程,我们可以解出电流和电场的线性关系为

                                                               

这里是电导率张量。则带入可得

                                            

其中为单位张量,折射率

                                                               

介电张量

                                                             

式若有非零解,条件是其系数矩阵行列式为0,否则只有的解,波不能存在。

    在非磁化均匀冷等离子体中,存在高频电磁波。其中主要是由电子的运动对波产生影响,而离子的效应可以忽略。即运动方程

                                                 

可化简为:

                                                 

因此

                                          

从而

                                                             

代入式,取波矢方向为方向,得到色散关系

                      

对应于z方向电场的静电波,有,而,其色散关系为

                                                                   

这就是我们熟知的Langmuir振荡频率的电子静电波。另一种情况是电磁波,有,而。这时对应的色散关系为

                                                   

电场与传播方向垂直。与在真空中传播的电磁波相比,在等离子体中传播的电磁波的相速度大于光速,而群速度小于光速。且有一定的截止频率,即在频率小于等离子体振荡频率的时候,电磁波不能传播。当小于截止频率的电磁波向等离子体传播时,会发生反射。电离层反射无线电短波广播就是一个例子。

 

8.磁化等离子体中的磁流体力学波

磁流体力学波是低频的电磁波,等离子体整体震荡,电子跟随离子一起运动,保持电中性。在磁流体中,除了同样具有压力引起的纵波(即普通的流体中的声波),还具有磁场的压力和张力,引起磁流体中特有的磁声波、Alfven波。

对磁流体中的波动,可用磁流体力学方程组来描述:

                                                       

                                                   

                                                           

                                                            

                                                             

                                                              

对方程组进行线性化,并分解为平面波

整理可得

  

式中,,分别是声波的速度和Alfven速度的平方。本底磁场沿z轴方向。设波矢方向与z轴交角为,且在xz平面内,即

                 

即可进一步得到

                         

                                                   

                              

1Alfven

式,色散关系,波的相速度与群速度均为,等离子体运动速度与扰动磁场相反。相当于磁场张力提供的恢复力,产生震荡,形成的波动。是横波,也是电磁波。传播速度与等离子体压力无关。

2.磁声波

式,。因此,必须有系数行列式为0,即

解得:

  

这两个根代表两只磁声波,取正号的速度大,叫做快磁声波,其速度不小于同方向的Alfven波速度;取负号的速度较小,叫慢磁声波,其速度不大于同方向的Alfven波速度。

在垂直方向传播时,这两支波的速度分别变为0。这时候,对于快磁声波来说,磁场的压力和等离子体的热压力共同作用,形成类似声波的纵波波动。但相比于声波,多了磁压力的作用,因而传播速度比声波更快。

不同方向传播的三种磁流体力学波的速度

在平行方向传播时,快磁声波的速度变为之中较大的一个,而慢磁声波的速度是之中较小的一个。

 

9.磁化等离子体中的电磁波

考虑本底磁场,带电粒子的运动方程为

                                 

经过线性化和平面波分解,得到

                                         

可以解出在z方向

                                                             

以及对式垂直分量后与原式相加,解得

                             

因此,电流可以表示为

 

从上式可求电导率张量,进一步得到介电张量:

                   

其中,

假设波的转播方向,即波矢的方向与本底磁场夹角为,不失一般性,可假设该矢量在xz平面内,对应的方程为:

波存在的条件为系数行列式为0,即为波动的色散关系:

化简为:

 

讨论:

1.  垂直传播

,由式得

对应式的色散关系为

有两个解

1,对应,电场振荡方向与本底磁场平行的电磁波,波中的带电粒子运动方向也是沿本底磁场方向,因此,带电粒子感受不到本底磁场的作用,与非磁化等离子体中的电磁波一样。色散方程为

叫寻常模,或者叫O模。

2,这支模叫非寻常模,或者叫X模。对应,有,椭圆偏振波。对于的高频情况,一般(注意到电子的回旋频率在表达式中取负值),此时为右旋椭圆偏振波。对于的频率稍低的情况,一般,此时为左旋椭圆偏振波。这支波的截止频率有三个,分别对应的条件,得到

X模的共振条件为,得到共振频率为高混杂频率和低混杂频率

 

2.  平行传播

,对应

色散关系为

有三个解

1,对应,电子静电波,波中的带电粒子运动方向也是沿本底磁场方向。这时候本底磁场对带电粒子的运动不产生任何影响。色散方程为

2,对应,有,左旋圆偏振波。色散方程为

对于高频情况,是左旋高频电磁波,色散关系为

截止频率为,定义见前面。

对于低频情况,是离子回旋波,色散关系为

时,,产生共振,即离子回旋共振。电场方向旋转的频率与离子回旋的频率相近,有些离子会不断地从波中得到能量,被不断加热。在这种情况下,波与离子之间有强烈的相互作用,

在频率极低时,这支模是左旋的Alfven波,色散关系为

3,对应,有,右旋圆偏振波。色散方程为

对于高频情况,是右旋高频电磁波,色散关系为

截止频率为,定义见前面。

对于低频情况,是电子回旋波,色散关系与高频时的色散关系一样。在时,,产生共振,即电子回旋共振。电场方向旋转的频率与电子回旋的频率相近,有些电子会不断地从波中得到能量,被不断加热。

在低频情况下,若,是哨声波,色散关系为

其群速度与频率有关,,当扰动发生时,高频成分的波群速度较快,会先被观测到,而低频成分的波随后才能被观测到。在地球表面,雷电引起的电磁脉冲扰动在电离层激发低频的哨声波,可以收到沿地球磁场传播到另一端,可以听到由高到低的类似哨声的信号。

频率极低时,是右旋的Alfven波,色散关系也为。因此,Alfven波既可以是左旋的,也可以是右旋的。

 

平行磁场和垂直磁场传播的波的色散关系图

 

10.法拉第旋转

高频电磁波在等离子体中传播时,左旋的波和右旋的波遵守不同的色散关系,他们的相速度也不同。假设初始时一个线偏振的电磁波,可以分解为左旋波和右旋波的叠加。这两支波在等离子体中传播相同一段距离之后,由于旋转的角度不同,从而两者叠加之后的线偏振波的偏振方向就会有所改变。

设电磁波在处为,则在等离子体中传播之后,波场为

其中,分别是左旋波和右旋波的波矢,记

,可知角度即为偏振方向转动的角度。而

注意到电磁波的频率很高,上式两个根号里可以近似展开

在磁场已知的情况下,可以用测量电磁波偏振方向的旋转角度来得到等离子体的振荡频率,即可知等离子体的密度。当等离子体密度随空间变化时,可以测量等离子体电子密度的线积分: