这页主要说海南琼州大学受欧洲数学会邀请评论的2个伟大的诺贝尔奖获得者在世界第一杂志发表的奠基性领导性论文。为此先说相关的主要交叉学科--在清华大学的百年清华报道攀登网络科学前沿高峰的领跑者方锦清教授,这方锦清还多次应诺贝尔奖获得者普利高津邀请赴美国访问,而方锦清教授一直在多篇重要文章多个报告中强调“图论作为网络科学的主要理论基石”,更为强调:下面海南琼州大学在欧洲数学会评论诺贝尔奖得主的论文研究的2个学科-“统计力学图论已经成为网络科学的最重要的二个理论支柱或说“网络科学的两大主要理论基石是:图论与统计物理”,这学科之受重视也如主要从事统计物理的诺贝尔奖得主李政道为网络科学发来贺电以及亲笔题词。如此下段是海南琼州大学2007年在欧洲数学会评论诺贝尔奖得主的这学科的标志性奠基工作(而刚见在此之后由正厅级的“海南省党史研究室和海南省地方志办公室”的《海南史志》在这里第18见把海南省2个美国数学会评论员载入史册--而海南琼州大学2007评论这2个诺贝尔奖得主的这学科奠基工作时海大海师等还没有人当选欧美评论员。不仅欧洲数学会-海南琼大2001年也已当选美国数学会评论员-海南琼州大学更早远就已是海南第一个当选的欧洲以及美国的评论员-然而肯定的是仍必定在中国唯一贫困市的山区啥好处都没份-且这还是2007年之前杂志多是名牌就珍贵时的-2007年之后去评论的杂志论文已如此泛滥就少人想当选了-可这2007年之后的仍载入史册-然而2007年之前的却…就象这页说是否可悲可叹又滑稽?这样的事也只有在中国的最高科学殿堂才可能发生,使新婚之日起就攻数学难题的从华南理工大学分到中国“航天部”的80夫妻得到省长亲笔批复而向理事长下战书-呼吁“还数学界一个清白和公平 ):

关于这评论可看这里见Kewen Zhao (Hainan)(赵克文-海南),也看到被评论论文的学科分类的前2个是Graph theoryStatistical mechanics(图论统计力学)。它就是欧洲数学会的《数学文摘》邀请海南省赵克文评论2诺贝尔奖获得者即菲尔兹奖获得者Michael Freedman沃尔夫奖获得者国际数学联盟主席László Lovász和世界运筹学大师Alexander Schrijver3人合作的这领域最重要标志性论文(前2作者下面再做介绍--3Schrijver这数学院长推荐的第一本书是他的并和Peter Whittle大师同获L--W博士Kelly也早成院士更已获CBE -大英帝国司令勋章。当然S获得比这更大的奖很多):即海南琼州大学评论Michael FreedmanLászló LovászAlexander Schrijver的这论文是发表在全球数学界世界第一杂志J. Amer. Math. Soc.Reflection positivity, rank connectivity, and homomorphism of graphs20 (2007), 1, 37-51(为啥说第一杂志?看下面中科院大学校长席南华最近才成中国首次而这里吉林大学王湘浩60年前已发3AM-此文可看JSTOR或美国数学会,他们的这篇论文全文也可看arXiv或看FreedmanpdfLovászpdfSchrijverpdf(这看到FpdfLpdf有些不同,可见他们也各突出自已的特色及自身学科优势后综合多学科力量去解决。其中第一作者Freedman(弗里德曼)1982年证明维庞加莱猜想并发表在微分几何杂志而获得1986年数学诺贝尔奖-菲尔茨奖(也见这里第八段或这里倒数第二段)。庞加莱猜想是“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面”。它是拓扑学的问题--是为考察同伦下是否唯一-是否唯一就是否都同胚?流形有组合流形、微分流形等,这里考虑拓扑流形,它们许多有从属关系就更有共通之处,如为证明此猜想就经常用到黎曼流形的理论方法技术等(因久不接触微分几何和黎曼几何-而现评审所涉就摘其精彩的定理和定义是为回忆一种情怀吧)。1980年已和陈省身大师合写微分几何的北京大学陈维桓教授的《黎曼几何引论》的光滑映射一节等专著中也说到上面我评论的诺贝尔奖得主Freedman的工作。最近,轰动全世界的佩雷尔曼证明维庞加莱猜想而获得数学诺贝尔奖的理论技术方法等也主要来源于黎曼流形。上面琼州大学评论的Freedman的是维而佩雷尔曼的是,这是因庞加莱猜想是越低维越难解决;上面我评论的第二作者Lovász国际数学联盟主席以及和诺贝尔医学奖得主Shinya Yamanaka3人刚获得380万元的京都奖(还如上面海南省评论的论文的这第2作者Lovász、第3作者Schrijver是这里2006年的获奖人,而1997年和2008年获奖人分别是上面Peter Whittle和他的大英帝国司令勋章博士Kelly),第三作者Schrijver上面已简介(后2作者都是我们图论界大师,可见这领域涉及不少学科难度也较大,有些概念的理解如定理中的fH=hom(.,H)从下面见也很费力。上面说到了微分几何就再多说几句。因以前赚钱是资本主义道路就只有傻傻地学这2数学大师皇帝而更重攻微分几何-因重视我是极端细致地认真去理解探究全书的每一个字的含意-教材的每一句话我都要反复看十几甚至几十遍以求不断深入理解每个字词的相关数学含意-绝不轻易放过,它是我收获几乎可以打100满分学科。迄今华人中只有微分几何之父嘉当的接班人陈省身大师和丘成桐获得数学的世界最高奖--他俩都是因微分几何的工作登上世界最高舞台。这里见诺贝尔奖得主丘成桐请陈省身当导师并半年多就获得博士学位且其学位论文和获最高奖的工作都是微分几何,而《微分几何》在我国最先是由我的导师钟集教授的导师兼岳父黄际遇教授在中国第一所大学天津北洋工学堂其后是中山大学等都开创并亲自讲微分几何。记得杨振宁在七十年代说他做的“规范场正是陈省身的纤维丛上的联络”,因而写了一首小诗说到“造化爱几何,欧高黎嘉陈”并说他和陈省身当年所爬的高山上面,还会有更高的境界。爱因斯坦更是运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论--广义相对论,而黎曼几何的核心也是张量,爱因斯坦流形就有诸多演绎)。下面是评论涉及学科的相关理论问题:

J是所有无向图的集合,如果一个图参数f: J®R满足存在一个正整数k和一矢量aÎR+k和一对称矩阵bÎRk´k使得对任何图GÎJ都有

 f(G)= fa,b (G):=åf:V(G)®[k](ÕvÎV(G) af(v))( ÕuvÎE(G) bf(u),f(v))  其中[k]={1,2,k},则称f是划分函数。

图划分函数是从统计物理的发展需要引伸出来的(物理学家马红孺就说“统计物理中,非理想气体的微扰论也是图论,配分函数就是买厄图的生成函数,自由能是连接图的生成函数,而热力势是不可约图的生成函数,李政道先生的《统计力学》把这一部分讲的非常精彩,可惜现在的大学,研究生的统计物理都不学这些,只算算第二位力系数就糊弄过去了),[k]可以表达状态,如此每一函数f:V(G)®[k]给出图G的一个能允许的状态结构。ai可当做点在状态i时的额外能量。如果åiai=1ai当做点在状态i时的概率,bi,j可表示2个相邻点分别在状态i,j时的贡献给它们的边的能量。因此fa,b(G)是对图G模型的一个划分。

如果对每一状态i都有ai=1b是图H的邻接矩阵,则fa,b(G)等于从图GH的图同态的数量。如果Hk阶完全图时,fa,b(G)等于图G的点的适当的k阶染色的数量。

S是有单位元的交换半群,对S的刻划就是实值积性函数。记f: S®R是一个凸性刻划的函数,其后,我们据此定义S´S矩阵Mf。类似地,f是一图参数,k一个非负整数,我们规定矩阵M(f,k)ij的第i行第j列处元素是f(GiGj)。因此M(f,k)一般是无限矩阵,我们把它称为参数f的关联矩阵。(我的理解是,做为一个无限矩阵,它有哪些性质呢?以前应学过一些但尚不足还需深入揭示,如哪些性质是起基本的深刻的作用呢?哪些对实质结构和关联起着决定性作用呢?同时,我利用它们是为了达到什么目呢?据此,我们首先研究它的二个对它的本质起决定性的:秩r(f,k)rk(M(f,k)))和正半定性。其中r(f,k)是一个关于k的函数,我们把它称为参数f的秩连通性函数。

上面已给出图参数f的关联矩阵。现在再给出同态的关联矩阵:给定一个权图H=(a,B)。对各正整数k,记[k]={1,2,k},对任何k标签图G和映射f[k]® V(H)

其后,记homf(G,H)=åj:V(G)®V(H), j是对f扩展(aj/af)homj (G,H) 因此有 hom(G,H)=å f:[k]®V(H) af homf (G,H)

文中还有很多概念也还没有见我国有中文翻译。好了,既然建立一学科,那么中心框架是什么?如何直捣核心?hom(.,H)居有什么战略地位?也就是hom(.,H)是怎样的f?下面定理是Freedman, LovászSchrijver的上面论文要说之枢纽(当然必会问是否有或如何去发现在统计物理、生物、信息和计算机等学科的相关领域有更紧密促进作用的参数?):

定理:图参数f是定义在有重边但无环的图上的映射,对某阶为q的有限权图H,图参数f=fH=hom(.,H)的充分必要条件是f是正半定的且对任何k0均有rk(f,k)qk(我把他们论文中的Lemma 2.3Theorem 2.4合为这定理。这是这篇论文的唯一结果,文中的命题2.1命题2.2是为此所需的基本性质。本文的目的是在课题f下深入揭示和发展之,而hom(.,H)可说是一个承上启下的轴心-因此是关键的发现-如它是对f做半正定等关键限制。因此这个课题是否更重要发展就主要看是否发现数学、统计物理、计算机甚至其它学科方面更著名的关联概念来限制它?当然也有其它方向途径的发展。关于这定理的证明,Lemma 2.3是容易证明的,第3节给出6个例解,4Theorem 2.4的证明,看Freedman的证明见用6页多去证明它,可见有一定难度。关于其中的fH=hom(.,H)只是在论文2页的最后行规定它俩互为表示外,就一直没有见到它们的定义或就是稍为描述一下它们表达什么也没有见到,甚至在这定理之前只求见到它俩第二次也是奢望,因绝大多数研究者肯定没有见过这类图参数如此只有一头雾水了,另外它们跟着暂且称半群函f而先图参数f承前启后出现也是大师思路。因此只有理解了定理前的内容及其内在联系,对它的联想才趋于明确和清晰)

其中3的最后2个例解是:5Example 3.5(有重边的情况):举出这里传奇的数学大师ErdösRényi建并已成为很多学科的重要基本理论的随机图模型H=G(n,P()=1/2),并令每点的点权=1/n、每边的边权=1。说明这类情况的图参数f未必等于hom(.,H)

6Example 3.6(同态的象是无限图的情况):即类hom(G,H)的定义但把象H扩展到无限权图,其点权和边权都是收敛足够快的收敛数列,则其定义了一个图参数,可虽然M(fH ,k)是正半定和对称的,但它的秩是无限的,因此这图参数不能用有限的H来表示。

更一般地,记a>0,I=[0, a],W: I´I®R是可测函数,如此对每个正整数n均有 ò0aò0a|W(x,y)|ndxdy < ¥

后,记Gn点有限图,定义图参数fWfW(G)=ò[0, a]nÕ ijÎE(G) W(xi,xj)dxidx2dxn。则不难知道对任意有限或无限权图HfH相对是其的特别情况。进一步地,不难知fW是反射正的或说是正映象的.

除了上面解释的概念外,说f是反射正的是指M(f,k)是对称的和半正定的,反之亦然;而半正定的、凸性集、凸性函数、凸性刻划函数、可测函数等等概念也都是大学里的基本概念,可参考“实变函数”等方面的书籍,如由这里第2、3世界第一强校的最年轻院士福明柯2004年和2005年给海南琼州大学的我的来信而促使我国高等教育出版社和国家天元基金合作出版或重新确定版权再版前苏联系列教材(我2005年给高等教育出版社张小萍写信,她20066月和郭思旭,赵天夫等就去世界第一数学强校--莫斯科大学并写的掠影中说福明柯院士是莫斯科大学数学力学系的科学院院士中当选年龄最轻的一位。其中包括出版世界第一数学家的《函数论与泛函分析初步--它前几章的核心目的是为建立线性赋范和线性拓扑空间等之间的线性算子和之上线性泛函等,第五章等是为建立测度空间上的积分等,它们(泛函和实函)都是数学分析的进一步抽象化,因此,数分的性质是它们的基础,其后要把握线性赋范和拓扑、测度等各种空间的性质以及作用于它们的算子、函数或积分等,如此最好是把它们衔接并统一起来讲,能获得更立体的认识,而国内是分割讲特别是各大学都是先讲实变函数,因它们独立成体系如此这样做也并没有问题,但这与世界第一数学家宣传的综合统一思想完全相背,当然他的更系统深入全面的螺旋认识,要有充裕时间做保障。若要掌握更深入的相关理论概念可看海南琼州大学杂志编委Garabedian院士的师弟Royden的一直被哈佛大学等采用的研究生教材《实分析》

上面海南琼州大学评论的诺贝尔奖得主Freedman大师的关键奠基性论文发表在美国数学学会J. Amer. Math. Soc.JAMS上,这杂志可是全球数学界要求最高评审最严的杂志(这里第31页分析全球4大杂志并在主要的几方面它都是世界第一杂志),巧的是如在岗两院院士240即院士数是世界最多的中国科学院大学常务校长席南华院士介绍他发表在海南省评论的前面论文之后JAMS的论文仍是“中国大陆学者首次独立在JAMS上发表论文(若已有第一作者-那院士大师权威应不会小肚鸡肠争首次的。再顺注:这Quantum说中国科学院大学常务校长席南华当院士前的“15年间他只发表了18论文”,足见数学多不容易,科如这里就说生物、化学一年就可发表15

关于海南琼大评论的这学科之开创性奠基性,就如在2006年前在世界第一数学杂志J. Amer. Math. Soc.以及在美国计算机协会最权威的J. ACM没有图同态论文,但刚看到这2年已有好几篇,也足见之非常重要,但之后发表了不少,且这速度绝对称得上是奇迹!即看到这2个数学和计算机第一杂志这2年已发表如下论文:

Balázs Szegedy, Edge coloring models and reflection positivity. J. Amer. Math. Soc. 20 (2007), 969--988 pdf 这篇论文的参考文献都引用上面海南琼州大学评论的三个大师的开创奠基性论文并主要源于其工作即引用其甚多理论知识。刚刚竟见马云阿里巴巴发布全球范围内的数学比赛并也邀请到4个国外顶尖数学家指导-其中2人是上面大英帝国司令勋章得主Frank Kelly,和这论文的作者Balázs Szegedy)。另,毕业于牛津大学并在牛津大学和伦敦大学分别培养14和22个博士Peter Cameron大师在他独著的这篇7页文章摘要说a prelude to a study of the paper [1]”–即他为研究上面Lovasz主席等最初的这篇图同态论文而写的“Prelude-准备知识牛津和伦敦可都居世界前七,那做为英国组合数学主席、指导出如此多牛津高徒的权威--专为写…足见重视程度做为权威的他读一篇论文还再需要7页准备知识…足见其难度)。

Hatami, Undecidability of linear inequalities in graph homomorphism densities. J. Amer. Math. Soc. 24 (2011), no. 2, 547--565. pdf

美国计算机协会ACM杂志J. ACM近年也发表如下图同态论文:Homomorphism preservation theorems. J. ACM 55 (2008), 3pdf

On counting homomorphisms to directed acyclic graphs. J. ACM 54 (2007), Article No. 27, pp. 23pdf

The complexity of homomorphism and constraint satisfaction problems seen from the other side. J. ACM 54 (2007), no. 1 pdf  pdf

Finding a maximum matching in a sparse random graph in O(n) expected time. J. ACM 57 (2010), no. 4 pdf

还有上面台湾徐教授的导师Spencer等在《科学》发表的关于上面Erdös-Rényi模型工作; 哈佛PED和哈佛数学系3人在《自然》的工作等等

统计力学方面,我多年前已有杨振宁、李政道的老师王竹溪的《统计物理学导论》(这要先掌握一定的热力学,刚见王竹溪院士的研究生说物理系课程其余都是小菜-唯《热力学与统计物理》难啃-统计物理研究的是几乎无穷多个1023粒子的力学系统,光数学好没有用)、我也有内容更多更广些的诺贝尔奖获得者朗道、栗弗席兹合写的《统计物理学》中文版1979年第4次印刷本(国内的统计物理学或统计力学等相关书籍都以这2本为最主要参考书,台港澳及海外华人的书多参考吴大猷的《热力学,气体运动论及统计力学》),起点高一些的李政道的《统计力学》文档下载+微盘下载,Richard Feynman费曼的《统计力学》英文版下载,专讲非平衡态并更深远的诺奖得主Prigogine的《非平衡态统计力学》文档下载、微盘下载,龚昌德的《热力学与统计物理》文档下载,钟云霄的《热力学与统计物理》文档下载、苏汝铿的《统计物理学》微盘下载+文档下载、林宗涵的《热力学与统计物理学》文档下载、微盘下载,也有F. Reif的《统计物理学》、汪志诚的《热力学统计物理》,也可看上面方锦清教授等翻译的R. K. Pathria的《统计力学》-这有第三版英文版,等。还可参考“与统计力学模型相关的图不变量:实例和问题”等论文。最近的文献可参考欧阳钟灿院士的3个博士的论文:统计物理的重要领域-自旋玻璃理论及其在组合优化问题中的应用”和刚再见的“统计物理在组合优化问题中的应用-豆丁下载,“蛋白质折叠,深度学习与逆增强学习中的统计物理”,可看上面马红孺教授的热力学统计物理-视频 Joseph Edward Mayer百度搜索Equilibrium statistical mechanics道客巴巴下载(关于这学科,中国第一个诺贝尔奖得主李政道院士写《统计力学》,而另一中国第一个诺贝尔奖得主杨振宁硕士研究生的导师就是王竹溪先生,杨振宁的硕士论文是统计物理方面的,后来在统计物理方面也有很大的贡献

最近,主要跟着诺贝尔奖获得者Michael Freedman国际数学联盟主席L. Lovász等的工作已有多篇论文在世界四大超一流数学杂志JAMSAnn. Math.Acta Math.Invent. Math.发表(包括年轻的Asaf Nachmias,以及其导师Yuval Peres和许多师兄弟也在四大超一流数学杂志发表相关论文姜铁峰教授的导师Amir Dembo和部分师兄弟也在四大超一流数学杂志发表相关论文