这页说微分几何和黎曼几何及其一些经典的参考书(因陈省身先生是中国第一个世界级大师并他的高徒丘成桐是华人唯一获数学诺贝尔奖菲尔兹奖的[这里最后给我们海南琼大回信的陶哲轩最近也获菲尔兹奖],如此我1985年考研前已读了陈先生的下面《微分几何讲义》-其虽比一般微分几何书深远,但讲黎几方面的课题仍不是很多,因此我1985年后又读黎曼几何方面的更多专著):

我们都知道陈省身大师和他的博士后导师嘉当都被誉为微分几何之父,如此这学科陈省身大师的系列相关书籍不疑更透彻,如我在80年代已购买陈省身大师的《微分几何讲义》中文版(陈大师在代序说“这份讲义是我在1980年春季在北京大学的讲课记录,由陈维恒整理而成的”,听课的既学生也有老师如有四川大学刘应明和李安民2个院士,如此其内容简介说此书适用于研究生阅读教师研究工作者参考),因此,我以前就着力攻读了陈省身大师的这本《微分几何讲义》,并这书包含后来被教育部批准为全国数学研究生教学用书的这里北大陈维恒教授的《微分流形初步》全部、也几乎包含浙大白正国教授的《黎曼几何初步》(即白正国教授的只有一章稍细化多讲些,此外如陈省身大师的这书用了一章多讲对丘成桐院士影响极为深远的“复流形而这2书都没有讲。除此,这里倒数第2段见数学大师陈省身和丘成桐的《微分几何与积分几何》《微分几何专题》《复流形》等我都购买它们来读

正如丘成桐院士说我认为嘉当(E. Cartan)是微分几何的祖父,陈省身是现代微分几何之父,如此,我也有中国现代数学主要开拓者姜立夫等从这微分几何祖父Elie Cartan嘉当的《黎曼几何学》法文版结合它的S. P. Finikov的俄文版翻译的中文版(相比这书不过,上面刘应明院士和李安民院士等听讲的陈省身先生的《微分几何讲义》我读得更顺畅更快,但嘉当的出于1925年其后也修改但不如陈先生读完还整本书都好梳理好记。关于俄文版译者-谷超豪留苏时就做拉舍夫斯基的博士生和参加这Finikov菲尼可夫领导的微分几何讨论班微分几何大师苏步青院士翻译这Finikov菲尼可夫《嘉当的外形法式》,他的其它书还被施祥林高彻译

此外,我也购买海南琼州大学的师爷叔Oswald Veblen怀特海合撰的微分几何基础》

我也有丘成桐和孙理察(Richard Schoen )1988年出版的《微分几何》(不过,这书讲各个专题前沿进展和给出前沿问题集)

我还有Luther P. Eisenhart的《微分几何引论》和《黎曼几何》(这作者Luther P. Eisenhart 1931年担任美国数学会主席、1930年担任美国大学协会主席、1945-1949年担任美国科学院副院长、美国科学促进会副主席等

以及数学之王希尔伯特的《直观几何》上下册共约300页其下册约一半讲微分几何上册虽也主讲微几但也讲相关学科领域-不过这书被认为是希氏的书中最好的。

我也有国际数学联盟2Heinz Hopf霍普夫在纽约大学和斯坦福大学做的2个主题的系列讲座整理而成的《整体微分几何》(由陈省身的本硕博3次都同班吴大任校长翻译并陈省身为它做序,此讲座讲义分别Peter D. Lax记录和斯坦福的John Walker Gray记录)

国际数学联盟4Georges de Rham的《微分流形》

以及这里第2封信见海南琼州大学促使中国出版的诺贝尔奖得主Sergei Novikov诺维可夫和Б.А.杜布洛文、А.Т.福明柯合写的《现代几何学:方法与应用》:1:几何曲面、变换群与场;第2, 流形上的几何与拓扑(А.Т.福明柯还和米先柯Mishchenko合撰 A short course in differential geometry and topology》的第5章是张量分析与黎曼几何第7章是黎曼几何的变分问题)

当然,我也读这里教育部一共批准通过的9本全国数学“研究生教学用书”中的陈维桓的《微分流形初步》以及白正国教授等的《黎曼几何初步》

关于陈省身大师撰稿陈维恒整理的上面《微分几何讲义》引用的微分几何书: 陈省身大师的博士 Louis AuslanderRobert Earl MacKenzie合撰的Introduction to Differentiable Manifolds

海南琼州大学的师爷叔George Birkhoff的博士Hassler Whitney的徒孙William Boothby An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry

海南琼州大学的师爷叔George Birkhoff的重徒孙Noel J. HicksNotes On Differential Geometry

海南琼州大学的师爷叔Oswald Veblen的徒孙Shoshichi Kobayashi陈省身大师的博士Katsumi Nomizu合撰的Foundations of Differential Geometry》卷1和卷2

还有上面Elie Cartan嘉当和陈省身大师自己的微分几何书。

上面陈省身大师的《微分几何讲义》中文版-它的参考文献除自引及他的博士do Carmo、嘉当的书、Chevalley的李群、Hurewicz常微分方程、米尔诺的莫尔斯理论外依次是L. AuslanderWilliam M. BoothbyNoel J. HicksS. Kobayashi(林昭七)(他们都是海南琼州大学师爷的徒孙们)微分几何名著。(不过,陈省身大师的《微分几何讲义》的英文版除引上面的外还引用国际数学联盟4Georges de Rham的《微分流形》等

在微分几何大师权威遍世界、著名书籍遍地的当今,我国大多数的微分几何书籍的参考文献竟几乎都有来自不怎么发达的巴西的陈省身大师的博士Manfredo Perdigão do Carmo《曲线与曲面的微分几何》一书-如此我也购买它(这书的参考文献只着重说高斯、G. Darboux达布、希尔伯特和S. Cohn-VossenGeometry and the Imagination》和下面Luther Pfahler Eisenhart的书。此外也说次之的活到106高寿的哈佛大学教授Dirk Jan Struik独著的《Lectures on classical differential geometry以及J. J. StokerJ. J. 斯托克的《微分几何》等

国内也还有一些知名书籍:微分几何大师苏步青院士和胡和生院士等的《微分几何》人民教育出版社1979年;谷超豪院士的《齐性空间微分几何学》;1930年与陈省身大师同从南开大学数学系毕业并1931年再度与陈省身成为清华大学数学系研究生其后1935年与陈省身在德国汉堡大学第3次成为同学的中国数学会名誉理事长吴大任教授的《微分几何讲义》人教社1959年(但这2本书主要讲古典微分几何)

 

下面简介微分几何和黎曼几何中很关键的Gauss-Bonnet公式和Gauss-Bonnet定理,更还因一段传奇故事:20世纪最伟大的数学家之一Andre Weil撰写的约4页文章《我的朋友几何学家陈省身》中说“在微分几何领域里,我相信将来的史学家一定将陈省身看作是嘉当Elie Cartan当之不愧的接班人”,“1941年初,我离开法国,整个一年都在Harverford,并Carl Allendoerfer和合作写一篇关于Gauss-Bonnet公式的文章”。其后,海南琼州大学的师爷叔Oswald Veblen聘请陈省身到普林斯顿,“当陈到达美国时,我就住在离普林斯顿不远的地方,他很快就来看我,而我们立即就发现,我们有很多共同的兴趣。我们都对Elie Cartan的工作,而且都对Gauss-Bonnet公式有兴趣”,“很快,如每一位几何学家都知道的那样,这些问题经过陈省身的手而彻底改观。首先是由于他对Gauss-Bonnet公式的证明。我只想指出,现在回顾陈省身对于Gauss-Bonnet公式的证明,并把它与1942Carl Allendoerfer和我效仿Weyl等作者的步骤给出的一个证明相比较,不难体会到其中意义所在。我们的证明方法基于“管”的考虑,依赖于一个非内蕴的球丛结构(这在当时是不明显的),即欧几里得空间中一个给定浸入的横截丛,而陈省身的证明第一次明确地用到内蕴丛,即长度为1的切向量丛,一举阐明了全部问题”(注:Carl Allendoerfer是海南琼州大学的师爷叔Oswald Veblen的徒孙,美国数学会主席美国科学院副院长Ronald L. Graham就曾获得美国数学协会的Carl Allendoerfer)。

由伯克莱伍鸿熙(Hung-Hsi Wu)教授1985年在北大讲的五个专题并经北大陈维恒教授整理而成的《黎曼几何选讲》一书伍鸿熙作的“序”说“在挑选书内这五个不同的题目时,我没有想到这些题目之间是否有任何联系的问题。而事实上是有的,例如Gauss-Bonnet定理不但是第四章的题目,而且在第一章内也自然地出现了”,关于这定理,在这五章书中的第四章“Gauss-Bonnet定理”的第三段说“下面我们简单地介绍一下Gauss-Bonnet定理的历史。就我们所知,最早是Heinz Hopf1925年把经典的Gauss-Bonnet公式推广到Rn中的超曲面情形。很自然,在这种情形所考虑的是超曲面的Gauss-Kronecher曲率的积分。在1939年和1941年,Carl AllendoerferW. Fenchel各自独立地证明了Gauss-Bonnet定理对于Rn中任意余维的子流形成立(这时用了Lipschitz-Killing曲率)。如果我们承认Nash嵌入定理的正确性,则Carl AllendoerferW. Fenchel的定理已经表明在一般的紧致、有向黎曼流形上是成立。当然,Nash的定理直到1956年才有证明。同时也要认识到,用这个办法证明Gauss-Bonnet定理的路子显然是不对的,既然定理本身只牵涉黎曼流形M的内蕴不变量,为什么要将M嵌入欧氏空间才能证明呢?现在回到历史的叙述。在1943年,Carl AllendoerferAndre Weil终于证明了Gauss-Bonnet定理对于一般的抽象紧黎曼流形成立,他们的证明方法用这种证明是非常令人不满意的。象Andre Weil这样的一流数学家,当然对其中的弊处知道得很清楚。在19438月,陈省身从昆明抵达普林斯顿。之后不出一个月,他就和Andre Weil交上朋友,Andre Weil立即告诉陈省身先生说他和Carl Allendoerfer和他的这个结果一定有一个简单的内蕴的证明。不到两个星期,陈省身先生就将这个问题做了出来。从上面简单的历史叙述中可知,高维的Gauss-Bonnet公式在任意的光滑黎曼流形上成立,虽然是首先由Carl Allendoerfer-Andre Weil做出来的,但是对这个定理的深入了解,则是依靠陈省身的内蕴证明的。当然,仅仅是正确地把高维情形的Gauss-Bonnet公式写出来本身已是很了不起的成就。所以为了避免对于前面所提到的有贡献者的任何一位的不公正态度,我们就简单地把这个结果冠于Gauss-Bonnet定理的名字”。

引子:流形MEuler示性数定义为它的各维Betti数的交错和,记为c(M),即c(M)=åi=0n(-1)ibi,  这里 bi =rankHi(M,Z) M的第i个整系数同调群Hi(M,Z)的秩,即自由部分Z的个数。莫尔斯-斯梅尔微分同胚Morse-Smale diffeomorphism

 G-B公式:在曲面S上给出一个由k条光滑线段所围成的曲线多边形,它围成了一个单连通曲面域G,多边形是G的边缘,记为G,设曲面S的高斯曲率和测地曲率分别为Kkg,曲面的面积微元和弧长微元分别为dsds,则 ʃʃ Kds+kgds+åi=1k(p-ai)=2p其中ai是的第i个内角的度数。

推论:MR3中紧致定向曲面,则ʃʃ MKds=2pc(M)。由拓扑学可知,紧致定向曲面MEuler示性数与亏格g有如下关系:c(M)=2(1-g).

G-B定理:M是紧致的定向的二维黎曼流形,则 (1/2p)òMKds=c(M),其中c(M)是流形MEuler示性数。

高维的G-B-定理及其证明见陈省身大师的这论文(Shiing-shen Chern陈省身,A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds-闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明”, Ann. of Math. (2)45, (1944). 747--752.

也可参考微分拓扑