微分几何和黎曼几何的一些经典的参考书:

我们都知道陈省身大师和下面嘉当都被誉为微分几何之父,如此这学科可参考陈省身大师的系列相关书籍,如我80年代已购买并在书上做了很多阅读注解的他和北大陈维恒的《微分几何讲义》中文版(这是可是1980年在北大讲课的讲义-听课的既学生也有老师如有四川大学2个院士刘应明和李安民院士),以及陈省身大师的《微分几何与积分几何》《微分几何专题》《复流形》等(我购买了它们的英文版)

此外,我也购买海南琼州大学的师爷叔Oswald Veblen怀特海合撰的《微分几何基

中国现代数学的主要开拓者姜立夫等翻译的现代微分几何之父Elie Cartan嘉当的《黎曼几何学》,文档下载,英文版只有到162

陈省身的同班吴大任校长翻译的Heinz Hopf霍普夫在纽约大学和斯坦福大学做的2个主题的系列讲座整理而成的《整体微分几何》文档下载,(陈省身为它做序,1946年纽约的由Peter D. Lax记录,1956年斯坦福的由John Walker Gray记录)

在微分几何大师权威遍世界、著名书籍遍地的当今,我国大多数的微分几何书籍的参考文献几乎都有来自不怎么发达的巴西的陈省身大师的博士Manfredo Perdigão do Carmo《曲线与曲面的微分几何》一书-如此我也购买它

这里第2封信见海南琼州大学促使中国出版的诺贝尔奖得主Sergei Novikov诺维可夫和Б.А.杜布洛文、А.Т.福明柯合写的《现代几何学:方法与应用》:1:几何曲面、变换群与场;第2, 流形上的几何与拓扑。

当然,我也看这里见教育部一共批准通过的9本全国数学“研究生教学用书”中的陈维桓的《微分流形初步》以及白正国教授等的《黎曼几何初步》

国内微分几何书籍最常引用的国外参考书也值得关注,:

第一本,陈省身大师和陈维恒的上面《微分几何讲义》引用的微分几何书有: 陈省身大师的博士 Louis AuslanderRobert Earl MacKenzie合撰的Introduction to Differentiable Manifolds

海南琼州大学的师爷叔George Birkhoff的博士Hassler Whitney的徒孙William Boothby An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry

海南琼州大学的师爷叔George Birkhoff的重徒孙Noel J. HicksNotes On Differential Geometry

海南琼州大学的师爷叔Oswald Veblen的徒孙Shoshichi Kobayashi陈省身大师的博士Katsumi Nomizu合撰的Foundations of Differential Geometry》卷1和卷2.

还有上面Elie Cartan嘉当和陈省身大师自己的微分几何书。

第二本,北大陈维恒的《微分几何初步》除引用②③外,还引用陈省身大师和陈维恒的上面《微分几何讲义》美国科学院副院长Luther EisenhartRiemannian Geometry

第三本,清华马力的《微分几何》书除引用上面上面Heinz Hopf的书,陈省身大师和陈维恒的上面《微分几何讲义》陈省身大师的上面博士do Carmo的,还引用Michael David SpivakComprehensive Introduction to Differential Geometry这里第2封信见海南琼州大学促使中国出版的世界第一大学

                                                                                                                    

下面简介微分几何和黎曼几何中很关键的Gauss-Bonnet公式和Gauss-Bonnet定理。因经典微分几何就是讲曲线、曲面,而这个公式定理是关于曲线测地曲率和曲面高斯曲率等,则弄懂这公式也就几乎弄懂了许多经典微分几何(除了个别大学兼讲整体,大多数大学本科课程的微分几何都只讲经典微分几何-如上面北京大学陈维恒教授的《微分几何讲义》就是经典微分几何),其Gauss-Bonnet定理也还是黎曼几何很重要的基本的结果:

这还因20世纪最伟大的数学家之一Andre Weil撰写的约4页文章《我的朋友几何学家陈省身》中说“在微分几何领域里,我相信将来的史学家一定将陈省身看作是嘉当Elie Cartan当之不愧的接班人”,“1941年初,我离开法国,整个一年都在Harverford,并Carl Allendoerfer和合作写一篇关于Gauss-Bonnet公式的文章。”,其后,海南琼州大学的师爷叔Oswald Veblen聘请陈省身到普林斯顿,“当陈到达美国时,我就住在离普林斯顿不远的地方,他很快就来看我,而我们立即就发现,我们有很多共同的兴趣。我们都对Elie Cartan的工作,而且都对Gauss-Bonnet公式都”,“很快,如每一位几何学家都知道的那样,这些问题经过陈省身的手而彻底改观。首先是由于他对Gauss-Bonnet公式的证明。我只想指出,现在回顾陈省身对于Gauss-Bonnet公式的证明,并把它与1942Carl Allendoerfer和我效仿Weyl等作者的步骤给出的一个证明相比较,不难体会到其中意义所在。我们的证明方法基于“管”的考虑,依赖于一个非内蕴的球丛结构(这在当时是不明显的),即欧几里得空间中一个给定浸入的横截丛,而陈省身的证明第一次明确地用到内蕴丛,即长度为1的切向量丛,一举阐明了全部问题”(注:Carl Allendoerfer是海南琼州大学的师爷叔Oswald Veblen的徒孙,美国数学会主席美国科学院副院长Ronald L. Graham就曾获得美国数学协会的Carl AllendoerferWeyl20世纪上半叶最重要的数学家之一)。

由伯克莱伍鸿熙(Hung-Hsi Wu)教授1985年在北大讲的五个专题并经北大陈维恒教授整理而成的《黎曼几何选讲》一书伍鸿熙作的“序”说“在挑选书内这五个不同的题目时,我没有想到这些题目之间是否有任何联系的问题。而事实上是有的,例如Gauss-Bonnet定理不但是第四章的题目,而且在第一章内也自然地出现了”,关于这定理,在这五章书中的第四章“Gauss-Bonnet定理”的第三段说“下面我们简单地介绍一下Gauss-Bonnet定理的历史。就我们所知,最早是Heinz Hopf1925年把经典的Gauss-Bonnet公式推广到Rn中的超曲面情形。很自然,在这种情形所考虑的是超曲面的Gauss-Kronecher曲率的积分。在1939年和1941年,Carl AllendoerferW. Fenchel各自独立地证明了Gauss-Bonnet定理对于Rn中任意余维的子流形成立(这时用了Lipschitz-Killing曲率)。如果我们承认Nash嵌入定理的正确性,则Carl AllendoerferW. Fenchel的定理已经表明在一般的紧致、有向黎曼流形上是成立。当然,Nash的定理直到1956年才有证明。同时也要认识到,用这个办法证明Gauss-Bonnet定理的路子显然是不对的,既然定理本身只牵涉黎曼流形M的内蕴不变量,为什么要将M嵌入欧氏空间才能证明呢?现在回到历史的叙述。在1943年,Carl AllendoerferAndre Weil终于证明了Gauss-Bonnet定理对于一般的抽象紧黎曼流形成立,他们的证明方法用这种证明是非常令人不满意的。象Andre Weil这样的一流数学家,当然对其中的弊处知道得很清楚。在19438月,陈省身从昆明抵达普林斯顿。之后不出一个月,他就和Andre Weil交上朋友,Andre Weil立即告诉陈省身先生说他和Carl Allendoerfer和他的这个结果一定有一个简单的内蕴的证明。不到两个星期,陈省身先生就将这个问题做了出来。从上面简单的历史叙述中可知,高维的Gauss-Bonnet公式在任意的光滑黎曼流形上成立,虽然是首先由Carl Allendoerfer-Andre Weil做出来的,但是对这个定理的深入了解,则是依靠陈省身的内蕴证明的。当然,仅仅是正确地把高维情形的Gauss-Bonnet公式写出来本身已是很了不起的成就。所以为了避免对于前面所提到的有贡献者的任何一位的不公正态度,我们就简单地把这个结果冠于Gauss-Bonnet定理的名字”。

简介Gauss-Bonnet公式和定理:流形MEuler示性数定义为它的各维Betti数的交错和,记为c(M),即c(M)=åi=0n(-1)ibi,  这里 bi =rankHi(M,Z) M的第i个整系数同调群Hi(M,Z)的秩,即自由部分Z的个数。莫尔斯-斯梅尔微分同胚Morse-Smale diffeomorphism

 Gauss-Bonnet公式:在曲面S上给出一个由k条光滑线段所围成的曲线多边形,它围成了一个单连通曲面域G,多边形是G的边缘,记为G,设曲面S的高斯曲率和测地曲率分别为Kkg,曲面的面积微元和弧长微元分别为dsds,则 ʃʃ Kds+kgds+åi=1k(p-ai)=2p其中ai是的第i个内角的度数。

推论:MR3中紧致定向曲面,则ʃʃ MKds=2pc(M)。由拓扑学可知,紧致定向曲面MEuler示性数与亏格g有如下关系:c(M)=2(1-g).

Gauss-Bonnet定理:M是紧致的定向的二维黎曼流形,则 (1/2p)òMKds=c(M),其中c(M)是流形MEuler示性数。

高维的Gauss-Bonnet-定理及其证明见陈省身大师的这论文(Shiing-shen Chern陈省身,A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds-闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明”, Ann. of Math. (2)45, (1944). 747--752.