下面说代数拓扑的同伦论（代数拓扑的另一重要分支-同调论是这里说我1985年已报考中国最早讲授代数拓扑之一的西南联大大师、省政协主席、校长的研究生时着重考的）

海南琼大祖师曾孙爷Peter Hilton的《An introduction to homotopy theory》(近50篇文献中2篇是下面胡世桢的,4本书是胡的导师的书, Seifert及导师Threlfall合写的书,Steenrod及导师的-也应参考)； George Whitehead的Elements of Homotopy Theory

海南琼大祖师曾孙爷Ioan James的《General Topology and Homotopy Theory》； 沃尔夫奖得主Phillip A. Griffiths和John Morgan的《Rational Homotopy Theory and Differential Forms》(Griffiths曾任Duke大学教务长兼副校长, IAS院长和IMU秘书长)

Sze-tsen Hu胡世桢的《Homotopy Theory》(同届博士有王宪钟, 导师Maxwell Newman是组合拓扑的先驱者之一)； Marshall Cohen的《A Course in Simple-Homotopy Theory》； 江泽涵的《不动点类理论》； 廖山涛,刘旺金的《同伦论基础》；

1.在这页主要关注同伦理论的重要课题H-spaces,其早期的经典或有重要参考意义的论文:

海南琼大师爷黄际遇的师兄Veblen的博士Whitehead最先开创组合数学同伦I(Combinatorial homotopy.I). Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 213(Sugawara, Some remarks on homotopy equivalences and H-spaces. Math. J. Okayama Univ. 8 (1958), 125等引用)

John Whitehead, Combinatorial homotopy. II(组合数学同伦II--这论文标题也合这里最后我读研究生3年多的中国第一个组合数学研究室). Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 453--496.（John Whitehead和不逊杨振宁的海南琼大导师钟集教授的导师是师兄弟）

William Browder, The cohomology of covering spaces of H-spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 65(1959), 140--141.（William Browder是上面写世界名著《同伦论基础》的George Whitehead的博士John Coleman Moore的博士）

James Dillon Stasheff, On extensions of H-spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 105 (1962), 126--135.（James Stasheff也是George Whitehead的博士John Moore的博士和John Whitehead的博士Ioan James的博士,而2个Whitehead是啥关系?）

Peter Hilton, Nilpotency and H-spaces. Topology 3 (1965), 16 pp.(Hilton的导师和黄际遇师是师兄弟,而文章“钟集与黄际遇两翁婿”中多次给琼大来信的钟集教授入学考试全做完又对-其它人只做约1/3如此一年级起就得特权随时可到黄际遇师家请教)

Masahiro Sugawara, H-spaces and spaces of loops. Math. J. Okayama Univ. 5 (1955), 5--11.(可见H-spaces定义; Takeshi Inagaki, Masahiro Sugawara,. Compactification of topological spaces. Math. J. Okayama Univ. 2 (1952), 85--97.有T-spaces定义等)

Jean-Pierre Serre, Groupes d'homotopie et classes de groupes abéliens. Ann. of Math. (2) 58 (1953), 258-294； Donald W. Kahn, The group of homotopy equivalences. Math. Z. 84 (1964), 1--8. 

Elias Stein, Guido Weiss, On the interpolation of analytic families of operators acting on H^p-spaces. Tohoku Math. J. (2) 9(1957), 318-339(陶哲轩的导师Elias Stein和韩永生的导师Guido Weiss创立H^p-spaces是为Harmonic analysis和PDF之需,但对此也可参考)

Guido Weiss, An interpolation theorem for sublinear operators on H_p spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 92--99； Elias Stein, Guido Weiss, On the theory of harmonic functions of several variables. I. The theory of H^p-spaces. Acta Math. 103 (1960), 25-62

Beno Eckmann, Peter Hilton, On the homology and homotopy decomposition of continuous maps. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 45 (1959), 372--375. (他俩是同调分解提出者-在之前法文版提出,它对称于同伦分解) … … …

Arthur H. Copeland, On H-spaces with two non-trivial homotopy groups. Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 184--191. ； James Dillon Stasheff, On homotopy Abelian H-spaces. Proc. Cambridge Philos. Soc. 57 (1961), 734--745.

Martin Arkowitz, Caspar Robert Curjel, On the number of multiplications of an H-space. Topology 2 (1963), 205-209 ； Martin Arkowitz, Caspar Robert Curjel, On maps of H-spaces. Topology 6 (1967), 137--148.；

Donald W. Kahn, Induced maps for Postnikov systems. Trans. Amer. Math. Soc. 107 (1963), 432--450.； Donald W. Kahn, A note on H-spaces and Postnikov systems of spheres. Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 300--307. 

2.主要基于自同伦等价类的co-H-空间（下面所研究的空间都主要基于海南琼大师爷叔Peter Hilton的论文中说的都是Suspension或1连通co-H-space）:

Robert W. West, H-spaces which are co-H-spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 31 (1972), 580--582.（这是标题中出现co-H-spaces一词的第一篇论文并第一句就说之前已有许多人探讨co-H-spaces，它引用的发表的最早的论文是J. F. Adams, G. Walker, An example in homotopy theory. Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 699—700-这篇2页文章在第一页见涉及H-spaces没看到第2页. 但仍没有引用象下面不出名的Tudor Ganea的3篇论文等等等）

Israel Berstein, Tudor Ganea, Homotopical nilpotency. llinois J. Math. 5 (1961), 99-130. （有H¢-spaces的定义,它说“our concept of co-nilpotency of an H’-space”-即这是他们提出的-这里也可能是最先的）

Tudor Ganea, Peter Hilton, F. P. Peterson, On the homotopy-commutativity of loop-spaces and suspensions. Topology 1 (1962), 133--141.(此文说定理4.3是对偶或反演Sugawara’s theorem-看上面日本冈山大学Sugawara的论文,不要不敬无名学校)

Tudor Ganea, Cogroups and suspensions. Invent. Math. 9 (1969/70), 185--197. (得到“A 1-connected co-H-space X has an invesion on each side; the two are homotopic if X is homotopy associative”)

Tudor Ganea, Some problems on numerical homotopy invariants. Lecture Notes in Math., 249 (1971), 23-30. (提问“whether the same splitting exists for arbitrary co-H-spaces”)

Tudor Ganea, Monomorphisms and relative Whitehead products. Topology 10 (1971), 391--403.(“已知B is a co-H-space, j is monomorphic if, and only if, E同伦于B x F,其中j, E , F见其文”)

srael Berstein, Peter Hilton, Category and generalized Hopf invariants. Illinois J. Math. 4 (1960), 437--451 ； Israel Berstein, Emmanuel Dror, On the homotopy type of non-simply-connected co-H-spaces. Illinois J. Math. 20 (1976), no. 3, 528--534. 

Peter Hilton, Guido Mislin, Joseph Roitberg, On co-H-spaces. Comment. Math. Helv. 53 (1978), no. 1, 1--14.； Hans-Werner Henn, On almost rational co-H-spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 87 (1983), no. 1, 164--168.

H. Scheerer, On rationalized H- and co-H-spaces. Manus. Math. 51 (1985)和On decomposable H- and co-H-spaces. Topology 25 (1986)（Scheerer的导师J. Tits是1993年沃尔夫奖和2008年阿贝尔奖得主，第2导师F. Hirzebruch是1988年沃尔夫奖得主)

上面看到60年代已研究co-H-空间,海南省政协主席史教授就专做它-史教授比我和下面雷呈凤教授都年轻并也在《数学学报》发表论文,并在期刊网见史和雷都恰有12篇第一作者论文-至今他俩的论文被引都一共约20次并竟全是自引且他俩做的也不是解决别人提出的问题也非改进别人工作--而象这里说我1985年听了导师的报告起解决很多猜想问题及改进超越别人的成果-更95年深山都已是中国最多却申请不到省各类经费难处理发表-林越08年来琼大之日起我给他约百篇论文及200页等可无经费而无心情)

3.主要基于自同伦等价类的Nielsen数:

雷呈凤, 模H-Nielsen数,《数学学报》1986年第2期(他和上面海南省政协主席史教授相似,即上面说他俩都恰有12篇第一作者论文(虽最先的标题是“关于CO-H-空间上的映射(Ⅰ)”包括英文的3篇论文结果完全一样-这没问题因2篇只发摘要--雷或也有此情况)并他俩的这12篇论文都是自引没见到有其他人引用他们的论文-他俩做的也不是解决别人提出的问题也非改进别人工作-并2004年后他俩都已再没有论文-不过后者至今仍是副教授而前者在2008年1月成海南省政协主席,他俩最相同之处是最先几篇论文都发在好杂志,而后面的更成熟更深刻的论文反而全都仅发表在南昌航空工业学院学报或海南大学学报,这是否说明这篇《数学学报》的论文也发在南昌航空工业学院学报已够了?当然若发《数学学报》是失偏-那也不是作者的问题而是审稿人的问题)

雷呈凤，幂等自映照的Nielsen数，《南昌大学学报》1990年第03期； 雷呈凤，幂等自映射的Nielsen数(2),《南昌航空大学学报》1992年第02期； 雷呈凤，幂等自映射的Nielsen数（3）,《南昌航空工业学院学报》1994年第02期

雷呈凤，模H-Nielsen数(2),《南昌航空工业学院学报》1999年第2期； 雷呈凤等，不动点大类与Nielsen数,《纯粹数学与应用数学》1999年第03期； 雷呈凤等，幂等自映射的Nielsen数(4),《南昌航空工业学院学报》2000年第04期

雷呈凤，自映射的Lefschetz-Nielsen数, 《科技通报》2002年06期； 雷呈凤，广义Lefschetz数的粘接公式,《南昌航空工业学院学报》2001年第03期； 雷呈凤，肖文明等，不动点与Nielsen数,《南昌大学学报》2004年第04期　

雷呈凤，关于Nielsen数的注记,《南昌航空工业学院学报》2004年第01期（这篇2004年论文的作者简介: 雷呈凤,副教授), (除第一作者论文外,非第一作者的雷教授7篇, 史教授2篇中刘文琰为第一作者的是这同伦论领域的刚发表3年却已被他人引2次)

雷呈凤,邹群,不动点类的代数注记,《南昌航空工业学院学报》2004年第4期（这篇2004年论文的作者简介: 雷呈凤,副教授), 其后再没有第一作者论文,那可能至今仍是副教授(他俩虽只做一个领域,在期刊网也见少人做-但能坚持是令人敬佩的)

同伦论当时较受重视，如这里定理2见最先之一在1985年发表邻域并条件论文的Zoltán Füredi院士在1988年《数学年刊》发表论文的这第128卷第2期一共仅8篇论文中竟然前2篇都是同伦论的论文！（这篇论文是以前给我们海南琼州大学邮寄来很多珍贵资料的世界大师Gyula O. H. Katona主席的2个博士Füredi和Frankl合作的论文-它得到：m_d(n, D)=(ëDû+1+o(1))(ⁿ_ën/2û)，并猜想：若n³n₀(d,D), s-1£D £Ö[(s-1)²+1], 则m_d(n,D)= m₁(n,D)（记号参看论文）。这个猜想20多年后被智商超过爱因斯坦、牛顿成为“全世界历史上最聪明的人”的陶哲轩和国际数学联盟2006年西班牙大会上选为主席的Lovász的最得意的博士Vu合作的这篇世界著名的论文证明（参考2003年博士毕业2010年就已当英国皇家学会院士的Green评论或国际计算机协会评论的他俩的《可加性组合学》第7章等。IMU主席Lovász曾获得1999年沃尔夫奖等很多世界性科学大奖-并《Erdös第100周年纪念》就由他主编--刚刚又见他获得“数学界诺贝尔奖”。这猜想问题源于Littlewood大师和Offord在1943年合作发表的工作，其后Lovász上面主编纪念的人类史上十大天才之一的Erdös在1945年改进他俩的结果并证明这结果其实是海南的海南师大和琼州大学的这个定理的等价结果的一个简单推论…）（当然牛顿的才华是多方面的如这里第9见牛顿也和邀请海南琼州大学的大师同居运筹学史的169个大师之列）

基于同伦群等专题发展的同伦论是代数拓扑的重要领域-也要结合看这领域的同调论。除了代数拓扑,拓扑学的另一重要分支微分拓扑也极受数学界重视，如此我也攻读这分支最受关注的80年代译为中文的上面三大奖全包揽的Milnor独撰的《莫尔斯理论》和Friedrich Hirzebruch的《代数几何中的拓扑方法》以及这里的众多较著名的微分拓扑书籍。还可多看基础些相关的组合拓扑学以及拓扑动力学，文革后我国很多拓扑学家也做起模糊拓扑学，还要关注2个拓扑学宗师及近来其它在一些学科和产业作用的一些关键工作。也可参考相关的其它数学学科领域。

同伦论的发展历程简介：1935年Hurewicz提出同伦群并探讨一些基本性质，Freudenthal1938提出以己名之的同纬像，1941年引入Whitehead积，1933年Hopf解决n£维复形Kⁿ到Sⁿ的映射同论分类问题，其后1937年哈佛大学Whitney用上同调语言重新阐明的Hopf结果，1940年Eilenberg将此讨论推广到一般的有限复形K到n-单式空间Sⁿ的映射同伦问题，并提出逐步扩充的阻碍方法，1946年Leray提出谱叙列，Serre等对其做出富有成效的研究，Serre叙列、Gysin叙列、上面王宪钟叙列，Massey在1952年提出正合偶，同伦论的另一个领域是“纤维丛”--可参考主持百亿美元项目的海南琼州大学编委Paul R. Garabedian的师弟Dale Husemoller独撰的《纤维丛》一书(这书由Ch1绪论和三部分组成,第一部分相当于Steenrod的纤维丛全书，其中Hopf纤维化也即霍普夫映射这Hopf解决的从S³到S²的映射同伦分类是同伦发展史上的重要标志；第二部分是K-理论；第三部分相当于我早买来读的三大奖全揽的Milnor和S的细化的《示性类》[示性类理论始于海南琼大完善其某重要解决方案的美国第一个诺贝尔奖得主Whitney和瑞士Stiefel几乎同时在1935年独立完成基于实向量丛的示性类工作-即Stiefel-Whitney类，其后1946年陈省身大师针对复向量丛定义了后来被称为陈[省身]类的示性类-陈省身先生有影响的工作诸多-而刘克峰教授说我们都属于“陈类”其寓意正为之（如此下面最后部分述之，可看到这需要熟悉微分几何，就如教育部通过批准的中国第一本数学研究生用书是和我的业师杨照华教授本科和研究生都同年级的北大教授陈维桓的《微分流形初步》--我也更早读他和陈省身大师合写的《微分几何讲义》，就象这里说陈省身等大师的书更要尽量多读即除了和陈维桓这合写的外还有添Lam合写的英文版以及《复流形》、《微分几何与积分几何》、《微分几何专题》，以及我也有丘成桐和他合作指导的博士Schoen的1988年中文版《微分几何》不过此书不象上面的较基础而是一个个前沿专题专讲（此书各专题也讲得很深入很前沿如他说“第六章的主要结果是作者们在此 期间[1985年左右]获得的”而他之赶时间就如这里最后说丘成桐,大学三年级时就前往美国读研究生并只读一年多就获得博士而象我读三年多研究生的导师可是“成就恐不在杨振宁、李政道之下”的中国第一研究室的权威可仍难及人家皮毛）

（下面简述陈类等相关概念-可参考近一点的陈省身大师的此文等）记E=(E, M, p)是m维光滑流形M上秩为r的复向量丛, D是E上一个复联络.对于任意的X,YÎ光滑切向量场ж(M),可以定义映射R(X,Y):光滑截面集G(E)®G(E),使得对于任意的sÎG(E)有R(X,Y)s=D_XD_Ys-D_YD_Xs-D_[X,Y]s

该映射具有如下的性质:对于任意的X,YÎж(M)

(1) R(X,Y)s关于X,Y是实线性的,关于s是复线性的;

(2) R(X,Y)=- R(Y,X) ;

(3) 对于任意的(实值光滑函数)fÎC^¥(M), 有R(fX,Y)= R(X,fY)=fR(X,Y);

(4) 对于M上的复值光滑函数f有R(fX,Y)(fs)= fR(X,Y)s, 映射R(X,Y)称为联络D的曲率算子.

设{s_s, 1£s£r}是复向量丛E在UÌM上的一个局部标架场, 令 Ds_s=w^b_as_b,

则称w^b_a为D在标架场{s_s}下的联络形式. 相应的曲率形式是W^b_a=dw^b_a-w^r_aÙw^b_r= dw^b_a+w^ra_rÙw^r_b.

容易证明: R(X,Y)s_s=W^b_a(X,Y)s_b。

对W^b_a=dw^b_a-w^r_aÙw^b_r= dw^b_a+w^ra_rÙw^r_b式求外微分，得到 dW^b_a=w^r_aÙW^b_r -W^r_aÙw^b_r=W^b_rÙw^r_a-w^b_rÙW^r_a

定义行列式det(I+Ö(-1)W/(2p))=d_1×××r^a1××ar(d¹_a1^×+Ö(-1)W¹_a1^×/(2p))Ù×××Ù(d^r_ar+Ö(-1) W ^r_ar^×/(2p))=d_b1×××br^a1××ar(d^b1_a1^×+Ö(-1) W^b1_a1^×/(2p))Ù×××Ù(d^br_ar+Ö(-1) W ^br_ar^×/(2p))

将上式展开得det(I+Ö(-1)W/(2p))=1+c₁(W)+…+c_r(W)

其中c_i(W) (1£i£r) 是2i次外微分式。由于在不同局部标架场下，联络的曲率形式的矩阵之间差一个相似变换（即W^~=A^-1WA），故

det(I+Ö(-1)W/(2p))= det(I+Ö(-1)W^~/(2p))，

这意味着 c_i(W)=c_i(W^~) (1£i£r)，

所以c_i(W)是大范围地定义在光滑流形M上的2i次外微分式。 为了突出它们对于复向量丛上联络D的依赖性，记成

c_i(E; D)=c_i(W) (1£i£r)，

外微分式c_i(E; D)称为复向量丛E关于联络D的第i个陈示性式。

还可考虑另一组外微分式

bi(W)=tr(Ö(-1)W/(2p))ⁱ, (1£i£r)，

设D₀和D₁是复向量丛(E, M, p)上的任意2个复联络，可证明b_i(E; D₀)和b_i(E; D₁)只差一个恰当微分式。因此，de Rham上同调类{c_i(E; D)}= { c_i(E; D₁)}，换言之，de Rham上同调类{c_i(E; D)}仅与复向量丛E有关。 于是可以记

c_i(E)= c_i(E; D)

称为复向量丛p：E® M的第i个陈类(Chern Class)。

同样道理，de Rham上同调类b_i(E)称为复向量丛p：E® M的第i个陈特征(Chern Character),记为ch_i(E)。（de Rham是国际数学联盟第4届主席，国际数学联盟第1届主席和第7届主席都是海南琼大师爷叔）

如果M是紧致的偶数维有向光滑流形，设它的维数是m=2n。取一组非负整数i₁,i₂,…i_r，使得i₁+i₂+…+i_r=m，则可以求在上的积分c_i1(E)Ùc_i2(E)Ù…Ù c_ir(E)，得c_i1…_ir(E)=ò_M c_i1(E)Ùc_i2(E)Ù…Ù c_ir(E)

称为的陈数(Chern Number)。