反应扩散方程（Reaction diffusion equation）-它是偏微分方程的一个领域其重要性正如叶其孝教授等的书说“现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学的成就和进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证。学科的精确化往往是通过建立数学模型来实现，而大量的数学模型可归纳为所谓的反应扩散方程”：

这领域主要参考北京大学数学系叶其孝和李正元教授的《反应扩散方程引论》,科学出版社1990年；并这书只参考2本反应扩散方程书（也就是大约至这时国际上这领域约只有这2本书籍）-就是下面Joel Smoller在1983年出版的581页的《Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations激波和反应扩散方程》（这书引用海南琼州大学的导师的母校威斯康星大学的Charles Conley第一作者论文19篇再除一斯坦福院士11篇外已没人上十篇-可见是主要奠基人）和Paul Fife的185页的书（相比-后者有很多缺陷相当不全面）。

刚又见在海南琼州大学是第一主编的《世界应用科学杂志》（曾是1区SCI杂志)发表论文的王长有教授最近刚又进一步主编《时滞反应扩散方程与上下解方法》一书由科学出版社2013年出版。

具体的可参考海南琼州大学的导师柳柏濂教授去美国合作几年诞生教育部审定通过的中国“第一本”数学研究生用书的美国威斯康星大学权威Charles Conley以第一作者在Joel Smoller的上面书籍出版前已和Joel Smoller合作的很多篇的反应扩散方程论文工作“Algebraic and topological invariants for reaction-diffusion equations”、“ Topological techniques in reaction-diffusion equations”、“ Remarks on the stability of steady-state solutions of reaction-diffusion equations”、“ Positively invariant regions for systems of nonlinear diffusion equations”等，Joel Smoller的上面这书的另一领域“Shock Waves”他俩也合作发表很多论文“ On the structure of magnetohydrodynamic shock waves”和“On the structure of magnetohydrodynamic shock waves. II.”、“ Topological methods in the theory of shock waves”、以及“Shock waves as limits of progressive wave solutions of higher order equations.”“ Shock waves as limits of progressive wave solutions of higher order equations. II.”等。其后Joel Smoller于 1983年出版581页的《Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations激波和反应扩散方程》（并海南琼州大学的编委美国数学会正主席James Glimm院士的博士Ronald J. DiPerna在Bull. Amer. Math. Soc.用了罕见的11页评论这书）--而看Joel Smoller的个人网页见他的论文不是特别多且其反应扩散方程的论文几乎就全是海南琼州大学的导师的母校威斯康星大学Charles Conley带着他做的，难怪他对Charles Conley就象对神一样敬佩-即这书“致谢”中如致谢的第3段说“Charles Conley, is was he who enthusiastillaly taught me so must deep and exciting mathematics. Among N(N»0) other thing, I learned from him the power and beauty of topologincal methods in analysis. He has also generously shared with me many of his brilluant insights. His ideas continue to influence my research to the present day”；致谢的倒数第3段是列出9个阅读这书手稿的9个人并第1个是Charles Conley；致谢最后他说：Finally, I want to thank James Glimm for being a constant source of inspiration and encouragement over the years（James Glimm院士是美国数学会正主席海南琼州大学的编委）。从Joel Smoller这书第2版的目录见共4部分：.第一部分基本的线性理论、第二部分反应扩散方程、第三部分“Shock Waves理论”即冲击波或激波理论、第四部分Charles Conley指数，可见Charles Conley对数学这领域做出了重大贡献且这指数还在很多其它领域都起重要作用，如Joel Smoller这书引用Charles Conley第一作者论文19篇再除一斯坦福院士11篇外就再已没人上十篇如引用上面2书之一作者Paul Fife的3篇并都是1976年以后的，并在美国数学评论见1973年起才有标题含反应扩散方程的论文-但之前已有零星起源萌芽的论文，足见Charles Conley是主要奠基人；这书的参考文献也引用海南琼州大学杂志的编委Paul Garabedian院士的世界名著《偏微分方程》。（注：海南琼州大学的导师的母校威斯康星大学教授Charles Conley的博士导师是当代数学大师Jürgen K. Moser尤尔根·莫泽尔如他是国际数学联盟1983年就任的正主席以及获得数学最高终身荣誉的沃尔夫奖等等，而Jürgen K. Moser大师的博士中只有Charles Conley和另一也是分到威斯康星大学的教授Paul Rabinowitz指导的博士生是最多的-而且其它分到别处的博士们指导的博士生最多的都不及他俩最少的1/3即他俩的博士徒儿徒孙都超过80个-而其次第3、4多的Klingenberg和Hungerbühler都仅是20余个且Jürgen K. Moser大师都仅是他俩的第二导师，这大师的其它博士的徒儿徒孙更是都不到15个）。

因海南琼州大学在1991年彻底解决后,孙树本大师的哈密顿图博士徐军教授才跟着海南做-因而使我注意并弄到辅助孙树本大师的叶其孝和李正元的《反应扩散方程引论》,科学出版社1990年，这是这领域的主要参考书：其目录第一章常微分方程准备知识、第二章行波解的存在唯一性、第三章基于最大值原理的比较方法及其应用（正如这章开头说“抛物型和椭圆型方程的一个重要方法是所谓的比较方法，它的基础是最大值原理”，特别是在上、下解，而最大值原理是几乎每一本偏微分方程以及数学物理方程书籍的基本而主要的内容，也可参考叶其孝、刘西垣翻译Murray H.Protter普劳特和Hans F. Weinberger温伯格合著的《微分方程的最大值原理》科学出版社于1985年，叶其孝主译1981年出版的《二阶椭圆型偏微分方程》的第三章也是最大值原理）、第四章平衡解的稳定性问题、第五章抛物型方程组和椭圆型方程组的比较方法及其应用（这章是在第三章方程的基础上进一步讲方程组）、第六章不变区域及其应用、第七、八章平衡解的存在性与分叉问题--度理论的应用和相图法、第九、十章抽象理论--解析半群理论与非线性方程初值问题和动力系统与平衡点的稳定性（关于这书作者叶其孝在万方数据见他辅助的孙树本大师的博士有5人，其中他们有在海南琼州大学彻底解决邻域并条件的泛圈图之后才做它的徐军教授以及邓汉元、郑军都是图论博士，另2个博士都是做反应扩散方程：且在万方数据见叶其孝教授只有2个博士并叶其孝都仅是这2个博士的第二导师—而前面孙树本教授都是这2个博士的第一导师），叶其孝教授调来这校之前已是北京大学数学系系副主任，上面书的另一作者李正元教授是北京大学系工会主席（关于跟着海南琼州大学做的上面徐军教授的导师孙树本大师，他在北京大学任教时已和中科院首届院士许宝禄同在1933年担任美国数学会主席哈佛大学数学系主任Osgood奥斯古德大师的助教的，或见1932-1934年北京大学聘请哈佛大学奥斯古德、伯克霍夫、德国施佩纳等来讲学,直接培养出了许宝騄、孙树本；注：Osgood奥斯古德是第8届、伯克霍夫是第18届美国数学会主席并都曾任哈佛大学数学系主任等）。

关于反应扩散方程，正如上面叶其孝和李正元的《反应扩散方程引论》的前言说“现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学的成就和进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证。学科的精确化往往是通过建立数学模型来实现，而大量的数学模型可归纳为所谓的反应扩散方程”。（这几句话真的够喝一辈子，可反应扩散方程仅主要是这里偏微分方程的其中第④-3的一个分支领域，不怪乎是北大的，科学等有时更关键的可能是要靠连哄带骗逼出来，当然要做到看对象不露馅，就如这几句话也没有什么错，更不能怪好心的骗者，问题是它往往造成初入门者偏狭的认识即它只能助你逼得你一定程度的有点畸形的成长如此要做到更多一点知彼知己成长的就要尽快有本事跳到更高程度来审视而不能太长久地沉沦在里面--如仅计算机这一个领域的“事实”远胜于雄辩-当然有大志者任何小事都有可能做出大事业）。

反应扩散方程是一类半线性抛物型偏微分方程，数学形式通常表示为∂q/∂t=D∇²q+R(q)，其中D为扩散系数矩阵，R为反应项，常用于描述物质扩散与化学反应耦合的过程。该方程包含非线性项，能模拟自组织图案生成、行波传播等现象，在物理学、生物学、生态学等领域用于研究热传导、种群动力学、传染病传播等复杂系统 。

该方程由数学家艾伦·图灵于1952年在《形态发生的化学原理》中首次提出，通过扩散不稳定性理论解释生物图案形成机制。后续研究拓展至带时滞、非局部项、变系数等复杂情形，并发展出有限差分法、有限元法、几何奇异摄动理论等多种数值与解析方法 。典型应用包括BZ反应模拟、斑马鱼皮肤条纹形成建模及磁液图案生成分析。

正如上面这《反应扩散方程引论》第九章“抽象理论-解析半群与非线性方程的初值问题”开头说“本章我们在Banach空间X中研究包括常微分方程和许多半线性抛物型方程在内的一类抽象非线性微分方程的初值问题

du/dt＋Lu=f(t,u)

u(t₀)=x

其中 L：D(L)®X是某类线性算子（可以是无界的），xÎX, D(L)ÌX.

…基本的问题是怎样把具体的半线性抛物型方程的初值问题化为抽象的非线性微分方程的初值问题。

关键是考虑Banach空间上的分析，有关这方面的预备知识读者可参考Gu”（注：Gu是指“伟大的无产阶级革命科学家”“中国现代控制理论的开拓者与传播人”关肇直院士的《泛函分析讲义》,高等教育出版社,1958年。即北大2个专家的这书唯一只指出可参考关肇直院士的这书。还如这里第4见波兰至今唯一举办的国际数学家大会的大会唯一名誉主席的《线性泛函分析》一书只列出十本参考书及专著其中就有关肇直院士的这本《泛函分析讲义》--这说明这书在国内国外都较有影响）。

这领域也可参考苏联科学院院长Guri I. Marchuk马尔丘奇院士独撰1959年由科学出版社出中文版的《核反应堆的数值计算法》第八章标题是“有限差分法扩散方程”、第九章是“有限差分法扩散方程的解”等。

就如众所周知通过非线性反应扩散方程来描述波的传播首先是被苏联数学家A. Kolmogorov、Ivan Petrovsky等人在1937年考虑的（被收入1988年的这书），这些数学探索是为了考察一个优良基因的传播问题。当Kolmogorov等人的文章在1937年出现时，行波不仅能够被双曲方程描述，也能够被抛物型方程描述的事实并没有引起数学家的足够重视。直到上世纪七十年代，在大量来源于物理、化学、生物、生态和流行病学等科学领域的问题的影响下，通过抛物型方程描述行波这一主题才得以充分的发展…。

可参考：叶其孝的“反应扩散方程简介”，数学的实践与认识1984年02期；

北大林源渠教授的“反应扩散方程的非常数平衡解”，应用数学学报1986年01期；

辛周平，反应扩散方程Fife引理的一点注记及其应用，数学学报1988年02期；

何猛省，一类含时滞的反应扩散方程的周期解和概周期解，数学学报1989年01期；

周笠，比较方法在反应扩散方程中的应用，华中科技大学学报1985年02期；

谢春红，关于拟线性反应扩散方程和方程组的一种单调方法，数学物理学报1988年02期；

等等

在现实世界中许多现象都是与过去有联系的，用时滞反应扩散方程来刻划显得更真实，更接近实际，如此这领域需要解决的课题还有时滞反应扩散方程的周期解

(¶/¶t-¶²/¶x²)u=f(u,u_t) tÎR, xÎ(0,l)

u|_x=0=g(t), u|_x=l=h(t) tÎR,

以及时滞反应扩散方程的边值问题

¶u/¶t＋Lu=f(x,t,u,u_t) (x t)ÎW´R,

Bu(x t)=g(x t), (x t)Î ¶W´R,

非局部时滞反应扩散系统的波前解，非局部时滞单稳型反应扩散方程的波前解，非局部时滞双稳型反应扩散方程的波前解，非局部时滞双稳型反应扩散方程的整体解，非局部时滞单稳型反应扩散方程的整体解，等等

其后，上面孙树本叶其孝的博士王明新1993年出版《非线性抛物型方程》科学出版社1993，以及1996年伍卓群校长等的吉林大学出版社1996年的《非线性扩散方程》目录第一章Newton渗流方程第二章非Newton渗流方程第三章一般二阶拟线性方程等（曾给海南琼州大学回信的伍卓群教授在1986年担任吉林大学校长并他在前言说“已有文献浩如烟海，然而比较系统、比较广泛地论述这类方程的专著却很少，部分涉及这方面内容的有Avner Friedman的《抛物型偏微分方程》和董光昌的《非线性二阶偏微分方程》，再有就是新近的Emmanuele DiBenedetto的DPE”，就伍卓群教授只说这3本书，不过，这书的参考文献也有上面叶其孝和李正元的书）；

也应参考国外的如：上面刘太平教授的导师Joel Smoller在1983年出版581页的《Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations》，

Paul Fife在1979年出版仅185页的《Mathematical aspects of reacting and diffusing systems》，

Richard Courant大师和他的博士Kurt O. Friedrichs在1948年出版的《Supersonic Flow and Shock Waves超音速流和冲击波》（李维新,徐华生,管楚诠合译它名为《超声速流与冲击波》科学出版社1986年），等等；

最近叶其孝等的《反应扩散方程引论》第二版目录：第1章行波解的存在唯一性、第2章基于最大值原理的比较方法及其应用、第3章平衡解的稳定性、第4章抛物型方程组和椭圆型方程组的比较方法及其应用、第5章不变区域及其应用、第6章平衡解的存在性与分叉问题——度理论的应用、第7章平衡解的存在性与分叉问题——相图法、第8章非线性方程初值问题——半群理论及应用、第9章平衡解的稳定性——动力系统的理论及应用、第10章行波解的稳定性基本理论及谱方法的应用、附录常微分方程准备知识

最近在海南琼州大学是第一主编的《世界应用科学杂志》发表论文的王长有教授再主编《时滞反应扩散方程与上下解方法》目录：第1章上下解方法的理论基础、第2章行波解的存在唯一性、第3章平衡解的存在稳定性、第4章周期解与概周期解的存在唯一性及稳定性、第5章平衡解的振动性及解的动力学行为、第6章具放牧率的多种群反应扩散模型的概周期解、第7章奇异摄动问题的渐近性态。

关于现代科学技术，其实很多数学领域都不甘人后说它们的作用很大。