拓扑学（下面主要说我1983年已请杨昌通老师帮我买到来攻读的世界名著《拓扑学》和陈省身大师的《微分几何讲义》等，要知其后的1985年海南最高楼仍仅6层）：

当然之前多年已如这里最后段说的早在1976年上三亚市家乡的某中学起就参加数学竟赛得全校第一名并其后的中学以及师范的所有数学竟赛我都参加并全得第一名而其实与第二名的分数几乎没有差距使我经常感到要缓解保持第一的压力感危机感就得更努力（我的师兄吴康先生在这里见更厉害如他在农村初中时只用一个月就自学完清华大学的微积分用书-而大学一般要教一年半-所以这进度是天才级的--现在上学的机会好了而很多报道文革后首届数学研究生很多初中都没毕业），迫使我1976年起就经常多攻读数学课外书，以及其后包括也看这里指导出诺贝尔奖得主的斯米尔诺夫的五卷11册《高等数学教程》（这套书几乎包含大学的所有数学学科而且比我国各大学数学用书都更深广甚至有些不逊大多数大学的研究生基础甚至专业用书且不屑包含相对浅显些基础课--所以应很少有人能全看（而孤悬海外的海南岛最高楼仅6层就要多做使压力大以致一直没时间心情找女朋友更没妻儿这套书等才能一直抢占我的床头日夜相看两生厌至头痛也得钻研-这套书由北大清华复旦南大的名师:我导师是主席的委员北大聂灵沼丁石孙清华孙念增复旦谷超豪陈传璋南大叶彦谦等翻译）。当然也学其它很多书并其后就如上面说的这页要说的拓扑学,即到了1983年我在五指山中学任教时就请同校的“海南大特区建设者”称号获得者杨昌通老师让他在大陆读书的弟弟帮我在1983年就买到了Seifert和Threlfall合写的《拓扑学》以及数学大师陈省身先生的《微分几何讲义》等（这杨昌通老师当时是全校知识最丰富的并极富正义感如从仅有3人获得“海南大特区建设者”且陈永萍是法院院长就可知道杨昌通老师不简单不过尚没来得及深交的隔年我就去广州其后就再没有过联系已不太清楚他之后情况只听说他已调来三亚市某中学任教也多次获得海南省级教学科研奖为三亚市最高教育事业做出极大贡献赢得荣誉-那时三亚还没有大学而老杨的学校可算三亚最高学府（他也仅稍大于我们但我和已去海口但总不见升官的帅哥曾绳浩常这样称为“老杨”因他的老成总感如隔几代）-忙碌这样久的老杨就弄到这些纸片的老实人该消停了退休了-彻底出来后在骗抢夺之下才感到钱才是好东西没它没动力啥也做不了办不行。关于重视攻读这2书是在杨振宁李政道等之前的中国第一个世界大师陈省身院士1934年成为中国自己培养的第一名数学硕士研究生，并1935年10月就已在德国汉堡大学完成博士论文，而这中国历史上第一个世界级大师陈省身去到德国约一年就完成博士论文工作就如这里哈佛大学丘成桐院士等说陈省身大师1934年去德国读博士正是只攻读上面我1983年买到的Seifert和Threlfall合写的这《拓扑学》书-确实就如下面所述这书很深广，还有陈省身大师的《微分几何讲义》在当时也是很深广的著作。这也是因斯米尔诺夫的上面五卷11册虽总体上比我国数学系的教学用书都深广-特别是偏微分方程、常微分方程、泛函分析等书籍超出我国本科要求甚至达到翻一倍-但在微分几何和拓扑学却并非如此而才重点补充这2个学科领域）。如此海南最高楼仅6层的1985年我考研究生时虽身在广州但我的工作关系还在海南某县如此就如我的主页说主管统领3次世界冠军的体育局龙局长亲手把他亲自使县里主管批准我1985年考研究生的证明寄给我使我得以能够报考研究生--这进考场考研与推荐免试的非常不同如必考的数学分析这门课除教材上的习题是自然的外不少考生都会做完《吉米多维奇数学分析》4462题而我相信多数考生还做很多书上的题和习题集模拟题集等-那时研究生非常珍稀有些神秘使考生们都非常珍惜向往就都刻骨铭心的记得很多人可能比现在上一年级就开始备战的一些人还要全身心忘我的投入拚博那是历经日夜长年的千难万阻极其艰辛的战斗拚博-而打下的基础等应和免试读研的很不同并一些人深入的难度和拓展的范围也已超过研究生部分专业课可说已等于半个研究生…如我一进入大学读研究生就受到我的导师拿着我的一堆论文整个上午就训导毕业几年就已成为我国历史最悠久大学博士生导师的等等师兄们 (关于助我考研的这该县第一大才子龙局-就如在这里见他是县委头号部委的组织部常务部长[看上面见兼职的组织部部长林海云已是县委第2常委]兼县政府有4个副局的第一大局人事劳动保障局局长且是除了县领导外-龙是全县唯一在县委和县政府都任职的--作为该县大才子的他看来是一直有些不屑不愿拍这些“大老粗”马屁才一直总是不升--或还因该县领导位子似多是从省里上面来占居如该县委书记孙喆2007年37岁成海南省最年轻的正厅级5年后2012年别人升副省长她却空降来这个县--这县虽没有海南其它县市条件却在大才子龙局统领的领域如有成立才3年的2010年的一、二线球员已全部转会外省队并在这中国男足女足都在国际足坛被打得落花流水屁滚尿流销声匿迹时代龙坐镇统领的女足却不断夺得各类世界冠军把一批又一批孩子从乡下深山沟里带到足球场又送上外省多个省级队国家队甚至国外世界级绿茵场-而作为该县大才子的龙仍继续隐身扎根埋身在该县山区里且官也总是一直不升)…关于他使我得以报考研究生的导师是1945年日本投降后的第一年回到中国历史上的第一高校国立西南联合大学任教的权威大师-此大师的学科之受重视如其后评选的中国第一届院士中拓扑学博士陈省身是全国最年轻的，且陈省身大师读博士仅花一年并就专攻读Seifert和W. Threlfall合写的《拓扑学》--可见这书之关键，而正如上面所说我1983年得到的确实正是Seifert和Threlfall合写的这《拓扑学》以及陈省身先生讲授陈维桓整理的《微分几何讲义》来攻读。下面主要说拓扑学：当然这书出版较早如此代数拓扑内容还是相对少一些-它与稍后几年由培养了非常多世界顶级大师的Solomon Lefschetz所罗门·莱夫谢茨独撰的《代数拓扑》以及北大用的这拓扑学书程度差不多-而更现代一些的拓扑学可参考哈佛大学丘成桐大师最先说:我修了Edwin Spanier的代数拓朴的大师Edwin H. Spanier撰写的包含了更多现代代数拓扑材料之书-它的前部分由我讨教的左再思教授翻译廖山涛校1987年出版为《代数拓朴学》【丘成桐其后再说;我修了Blaine Lawson的黎曼几何、Charles Morrey的偏微分方程-其中Blaine Lawson于1969年才获得Robert Osserman的博士[Robert Osserman是海南琼州大学编委Paul Garabedian的师弟]但Lawson很快就成为1971年毕业的丘成桐的2个导师之一并这Lawson的博士虽多但似仅有丘成桐成为权威[他当丘的导师是因如杨乐院士说:“丘成桐先生在加州大学伯克利分校仅用了一年时间就完成了博士阶段的学习和主要的研究工作。他的导师陈省身先生当时在外休学术年假。”]、而教丘成桐偏微分方程的Charles Morrey虽是前辈但四个有徒孙的博士都仅分去三流大学--所以丘成桐大师学习的这仨授课老师中还是我讨教的左再思教授翻译的S资深厉害并唯一得N.AMS公报--S的博士Morris Hirsch的博士William Thurston也和丘成桐、Alan Connes等3人共获1982年菲尔兹奖】,当然-这2个专家的黎曼几何以及偏微分方程我也攻读）。虽然这学科就象诺贝尔奖得主Freedman的高徒博士罗锋教授下面说“代数拓扑到1940年之后就变得越来越抽象…”，而上面说的我1985年报考他研究生时已是正校长/省政协主席的大师就在这学科“变得越来越抽象”的早期已教授“代数拓扑”--也就是他在中国是超前推动开拓这学科的先驱，也如在当时美国评定的世界大学排名中曾多年排名亚洲第一大学的该校第一届科学研讨会做报告的数学科4个人是我投考的大师、1928年芝大博士Dan Sun、Paul Bernays贝尔奈斯的博士和另一留美博士（当然我1985年考研前除了读1934年去到德国读博士时攻读的Seifert等的《拓扑学》和陈省身大师的《微分几何讲义》外，我也读与这2个领域相近的日本数学会正主席说很难读不下去的这西南联大名师执笔之书--不过以前研究生名额极少这正校长又是省政协主席等工作多而至多仅招一名研究生甚至负担繁重有变又不招生且有北大清华考生分数低些也可能优先）。

这学科之不易，也如海南琼州大学评论他的最重要杂志论文的Michael Freedman大师（就是几乎证明数学最重要猜想庞加莱猜想而获得诺贝尔奖的Michael Freedman大师）-而这诺贝尔奖获得者的本科毕业于北京大学的他的博士Feng Luo罗锋教授就说“代数拓扑到1940年之后就变得越来越抽象，非深入研究者一碰到奇异同调总感到摸不着边际”--罗锋教授对同调论的这2句评论出自武汉大学校长齐民友翻译的希尔伯特的《直观几何》下册中罗锋写的序。在百度见罗锋教授20岁就已毕业于北京大学-算是一直很优秀的人的观点，罗锋及师兄弟即数学诺贝尔奖得主Freedman的研究生们还更都是一流见识的如罗锋的师弟Ian Agol独立获得第2个300万元，而第1个5个人分享300万元。

关于上面所说的‘非深入研究者一碰到总感到摸不着边际的奇异同调’-参考这里开头说我半天就弄通全部的“同调论”--也可参考相关领域 “同伦论”，以及我也攻读的“微分拓扑”，“拓扑动力学”，“组合拓扑学”，“模糊拓扑学”等等还有单在代数领域就有以拓扑的一些领域为主要推动工具发展的领域如拓扑代数、同调代数等（拓扑代数和代数拓扑不同-这看谁居于主角）。

关于Seifert和Threlfall的这本书，也如这里第2封信见海南琼州大学促使中国出版的诺贝尔奖得主Sergey Novikov等合写的《同调论引论》前言中说“在所有经典的拓扑学方面的书籍中，最好的的一本是Seifert和Threlfall合著的《拓扑学》”（Novikov等的书写于80年代-也就是到了80年代Seifert和Threlfall的书仍是世界第一著作，后来我也购买2个并称世界第一名师的Solomon Lefschetz、Oswald Veblen和 Samuel Eilenberg等的几本拓扑学专著来攻读）。2个诺贝尔经济学奖得主纳什和Shapley以及人工智能之父Minsky的博士导师Albert Tucker阿尔伯特·塔克在美国BAMS给出它和另一拓扑学书籍的评论比较）。我或是因以前连续地在我参加的所有数学竟赛都是第一名（不只是一等奖）就年轻气盛而不太在意，所以读Seifert和Threlfall合写的《拓扑学》读得还是非常艰苦的

关于Seifert和Threlfall合著的《拓扑学》内容还是较多的即有12章并各章讨论的课题也算多：第一章 直觉的讨论（说明拓扑学所要做的以及从直觉上认识主要的基本概念等）；第二章 单纯的复合形（内容较多但单纯剖分是关键包括对单纯的复合形等的构建）；第三章 同调群（一些复合形的同调群的计算及其复合形的分类与它们的性质等）；第四章 单纯的逼近（单纯的逼近是从复合形的一个连续变换到一个“单纯”变换的普遍历程而逼近定理是k维链的边链若是单纯链那它就有同调单纯链等）；第五章 在一点处的性质（全局上考虑的同调的复合形未必同胚因此有必要讨论局部的性质）；第六章曲面的拓扑学（前面讨论的二维空间的同胚处理方法不适合高维空间进而另讲曲面的拓扑学）；第七章 基本群（类似前面所述同调群不能保证高维复合形或流形同胚因此就需要讨论起决定作用的新工具基本群等）；第八章 复叠复合形（讨论复叠复合形的基本群与底复合形的基本群的关系等）；第九章 三维流形（三维流形可用匀齐的来描述而高维流形不能因此在很多方面需分2章讨论并其内容就象前面说的起决定的工具不同而也有所不同等等）；第十章 n维流形；第十一章 连续变换（主要讲变换度和不变点公式）；第十二章 群论中的定理（这里讲的与代数学和几何学中通常的群有些不同）-可见这书是拓扑学内容较全面丰富的世界经典。

到了最近，罗锋教授推荐的第一本代数拓扑参考书是James W. Vick的《Homology Theory- An Introduction to Algebraic Topology》。这书还没翻译-目录是：第1章 Singular Homology Theory奇异同调论；第2章 Attaching Spaces with Maps基于映射的贴附空间；第3章 The Eilenberg-Steenrod Axioms公理；第4章 Covering Spaces覆盖空间；第5章 Products积；第6章 Manifolds and Poincaré Duality流形和Poincaré对偶；第7章 Fixed-Point Theory不动点理论。顺附一些代数拓扑学家及其著作供参考:

Solomon Lefschetz所罗门·莱夫谢茨的Algebraic Topology并写了《Applications of algebraic topology. Graphs and networks, the Picard-Lefschetz theory and Feynman integrals》；沃尔夫奖得主Samuel Eilenberg和莱夫谢茨的博士Norman Steenrod合撰的《Foundations of algebraic topology》（北大主要用这书-不过它主要讲同调论几乎不讲同伦论）；海南琼州大学评论其论文的Béla Bollobás的第2个博士学位导师John F. Adams独撰的《Algebraic topology—a student's guide》； Edwin H. Spanier的Algebraic Topology； 前者的师弟William S. Massey，写了几本代数拓扑并在同调论有《Singular homology theory-奇异同调论》-（上面Vick在BAMS评论），还写Homology and cohomology theory等；上面Herbert Seifert的博士Albrecht Dold也撰写《Lectures on algebraic topology》； Allen Hatcher-个人主页，Algebraic Topology； Peter Ozsváth（MIT个人主页，他的代数拓扑课程）； Michael Hutchings（伯克莱个人主页，代数拓扑）； Jonathan Rosenberg（代数拓扑）； Dror Bar-Natan（多伦多个人主页，代数拓扑）； Allan Edmonds（代数拓扑）； Nathan Dunfield（伊利诺伊大学个人主页，有各专题PDF的代数拓扑）； 洛杉矶拓扑学组 ；Michael Hopkins（哈佛代数拓扑权威，他的主页没见课程只见一些论文，但他的已成哈佛教授的学生Jacob Lurie有一些代数拓扑学习材料--这Lurie和获得诺贝尔奖的2006年曾来信表达会支持帮助海南琼州大学的陶哲轩同获得300万美元首届数学突破奖）

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而现在,拓扑学对很多学科和产业都已起到不可估量作用：⑴在物理学科如最近的诺贝尔奖:由拓扑学开启的未知世界、又如拓扑学与物理学结合,量子计算机正在成为现实…；⑵在化学如世界第一杂志:拓扑化学理论为预测新材料点亮明灯!；⑶在人工智能如使用了新的拓扑学方法,最终,神经网络的进化成功解决了多个领域棘手问题；⑷还有《MIT科技评论》说“代数拓扑方法正在变革脑科学”；⑸顾险峰在这里第3段说他“经历一些计算机科学方面的研究项目，这些项目的关键思想来自代数拓扑”(这个顾险峰“在中法人工智能合作论坛上顾险峰与法国政府签约,法国总统马克龙出席仪式!”--并法国马克龙总统面对着唯一看着作为中方代表和法国政府签订合作协议的就是顾险峰),等等………