拓扑学(特别是Homology theory):

就象这里最后段说到1976年上中学起就参加数学竟赛并总得全校第一名使我有时感到要保持第一的压力感危机感还真大,我1976起就经常攻读组合图论代数等课外相关书,其后也看一些大学基础书等等,当然也包括这页要说的拓扑学,即在看一些大学基础书后,偶尔有要专攻更高级的书的想法,于是到1983我就请海南大特区建设者称号获得者昌通老师让他在大陆读书的弟弟帮我在1983年买到了SeifertThrelfall合写的《拓扑学》(要知先于杨振宁等的中国第一个国际级大师陈省身院士1934年成为中国自己培养的第一名数学研究生,193510在德国汉堡大学完成博士论文---可见中国第一个国际级大师陈省身去德国一年就完成博士工作且这就主要归功于陈省身大师1934年去到德国就开始攻读SeifertThrelfall合写的《拓扑学》。而我因此就如我的主页说主管3次世界冠军的体育局龙局长亲手把他使县里主管批准我1985年考研究生的证明寄给我--使我得以报考1945年日本投降后的第一年回到中国历史上的第一高校国立西南联合大学任教的权威大师的研究生(不过这一年西南联大也解体复校,而复校几年后不久他也调来中国首都的亚洲第一大学-中央大学任教,这也许是因蒋介石较专制如象1946年院士选举制度会议和1948年中国第一届院士产生等都要在蒋的中国这首都举行-这中国第一届院士省身是最年轻的,且陈省身大师读博士仅花一年并就专攻读SeifertThrelfall合写的《拓扑学》--可见这书很关键-如此我1983年得到的确实正是SeifertThrelfall合写的《拓扑学》来攻读,因读啥去跟哪个大师读之关键就如这里的海南历史上第一个获得国家基金的海南最伟大科学家、最伟大后备省长虽专科毕业并也已进修一次-但我1983年攻读这《拓扑学》后他在1984年仍才再去进修-而这海南第一个获国家基金的科学家也是在这之后才开始起发表论文)。就象下面说“代数拓扑到1940年之后就变得越来越抽象”而上面说的我1985年投考他研究生的这省政协主席当时就已教代数拓扑-这在中国是很超前的-他现在90多岁了仍在做的数学就象最下面结合代数拓扑发展的算法以补偿反思所经历的官政体制--除了普通人的权利更不享做为人才等荒芜落后时代拓荒者的省主席的利禄得主(这省政协主席确实在1950年左右已讲“代数拓扑”-但他的主要研究方向有好几个)

关于SeifertThrelfall这本书,也如这里第2封信见海南琼州大学促使中国出版的诺贝尔奖得主Sergey Novikov等合写的《调论引论》前言中说“在所有经典的拓扑学方面的书籍中,最好的的一本是SeifertThrelfall合著的《拓扑学》”(没有绝对性没人敢公开明确说如此得罪人的论断-N等的书写于80年代-也就是到了80年代S-T书仍是世界第一著作。Albert Tucker在美国BAMS给出它和另一拓扑学书籍的评论比较)并S-T的这书的同调论也占了很大的篇幅,更即这本书就是很短的简概性的第一章就介绍同调及同伦等-这为其后以同调论为主的这书打下基调,拓扑学的最基础的部分-点集拓扑”大多都免去讲,显然它主要是为研究人员和博士研究生写的书-当时的大多数新文献难度可比这书的大多数内容简单,其它拓扑学书籍如下面列举的几本在它前后的世界名著都应比它稍为好理解且所有这些书的内容也比S-T的更少些。这也许是因以前连续地在我参加的所有数学竟赛都是第一名(不只是一等奖)就年轻气盛而不太在意,所以读SeifertThrelfall合写的《拓扑学》读得非常艰苦

这学科之不易,也如海南琼州大学评论他的最重要杂志论文的几乎证明世纪猜想-庞加莱猜想的Michael Freedman大师的八十年代毕业的博士Feng Luo罗锋教授就说“代数拓扑到1940年之后就变得越来越抽象,非深入研究者一碰到奇异同调总感到摸不着边际”(这2句话摘自武汉大学校长齐民友翻译的数学之王希尔伯特的《直观几何》下册中罗锋的序。百度见罗锋教授20岁就已毕业于北京大学数学-可见这也算是聪明的人总结或承认的现象。Michael Freedman的研究生都是一流的如Ian Agol

SeifertThrelfall合著的《拓扑学》的目录:第一章 直觉的讨论;第二章 单纯的复合形;第三章 同调群;第四章 单纯的逼近;第六章 在一点处的性质;第七章 基本群;第八章 复叠复合形;第九章 三维流形;第十章 n维流形;第十一章 连续变换;第十二章 群论中的定理。

到了最近,罗锋教授推荐的第一本代数拓扑参考书是James W. Vick的《Homology Theory- An Introduction to Algebraic Topology》。道客巴巴、另一下载,豆丁下载

这书还没翻译-目录是:第1 Singular Homology Theory奇异同调论;第2 Attaching Spaces with Maps基于映射的贴附空间;第3 The Eilenberg-Steenrod Axioms公理;第4 Covering Spaces覆盖空间;第5 Products积;第6 Manifolds and Poincaré Duality流形和Poincaré对偶;第7 Fixed-Point Theory不动点理论。

Allen Hatcher-个人主页Algebraic Topology,道客巴巴

William S. Massey,《Singular homology theory-奇异同调论-道客巴巴下载(上面VickBAMS评论),还写Homology and cohomology theory

Solomon LefschetzAlgebraic Topology,道客巴巴,另一下载IT下载    

Phillip GriffithsJoseph HarrisPrinciples of Algebraic Geometry,(代数几何

 

Peter OzsváthMIT个人主页,他的代数拓扑课程)

Michael Hutchings(伯克莱个人主页,代数拓扑

Jonathan Rosenberg(代数拓扑

Dror Bar-Natan(多伦多个人主页,代数拓扑

Allan Edmonds(代数拓扑

Nathan Dunfield(伊利诺伊大学个人主页,有各专题PDF的代数拓扑

洛杉矶拓扑学组

Michael Hopkins(哈佛代数拓扑权威,他的主页没见课程只见一些论文,但他的已成哈佛教授的学生Jacob Lurie有一些代数拓扑学习材料--Lurie获得诺贝尔奖2006年曾来信表达会支持帮助海南琼州大学的陶哲轩同获得300万美元首届数学突破奖

                                                                                                     

Singular homology

CW complex

Adjunction space or Attaching space

Eilenberg-Steenrod axioms

Poincaré duality

 

Mayer–Vietoris sequence

Vietoris–Rips complex

 

 

拓扑学对很多学科都已起重大的无可估量作用,在物理学科诺奖:由拓扑学开启的未知世界、又如拓扑学与物理学结合,量子计算机正在成为现实…;在化学世界第一杂志:拓扑化学理论为预测新材料点亮明灯! 

关于代数拓扑对其他学科的作用,可看顾险峰写的关于在计算机的应用,特别是最近深度学习因阿尔法狗而广受关注,顾险峰就在多地做“深度学习的几何观点”讲座或报告,更有“在中法人工智能合作论坛上顾险峰教授与法国政府签约,法国总统马克龙出席仪式!”(老顾还是能忽悠法国的可能结果更多是忽悠国人-若监督效差也将会把自己忽悠坏-这相片中马克龙总统面对着的坐着签约的是老顾)。 年轻的顾险峰教授是丘成桐的博士-他俩的著作《计算共形几何》的第23章讲同伦同调-此书广泛应用于“计算机图形学,计算机视觉,可视化,几何建模,网络和医学图像等领域”;还有《麻省理工科技评论》代数拓扑方法正在变革脑科学”,等

                                                                                                                                               

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