拓扑学（下面主要说我1983年已请杨昌通老师帮我买到来攻读的世界名著《代数函数论》《拓扑学》和陈省身大师的《微分几何讲义》等，要知其后的1985年海南最高楼仍仅6层）：
当然之前多年已如这里最后段说的早在刚文革结束的第一年即1976年上三亚市家乡的某中学起就参加数学竟赛得全校第一名（以前文革中根本没有任何什么竞赛而突然有成就感）并其后的中学以及师范的所有数学竟赛我都参加并全都得第一名以使我经常感到要缓解压力危机保持第一的成就感就得更努力拚命（要知很多人就象我的师兄吴康先生般厉害如在这里见如他在农村初中时只用一个半月就自学完清华大学的微积分用书-而微积分是大学一年级再二年级才讲完的课-所以他这进度堪称天才级的--现在上学的机会好了而很多报道文革后第一届数学研究生的众多人初中人都没毕业就凭自学考上），因我总感到我的很多同学就很厉害等等因素迫使我1976年起就经常多攻读数学等课外书，以及其后包括也看这里指导出诺贝尔奖得主的斯米尔诺夫的五卷11册《高等数学教程》（这套书几乎包含大学的所有数学学科领域分支而且比我国各大学数学用书都更很多深广甚至有许多包含大多数大学的研究生基础内容。而孤悬海外的海南岛就是到1985年最高楼仍仅6层之落后荒芜就得多做以至压力极大,到了1983年我在五指山中学任教时就请同校的“海南大特区建设者”称号获得者杨昌通老师让他在大陆读书的弟弟帮我在1983年就买到了世界名著《拓扑学》《代数函数论》以及数学大师陈省身先生的《微分几何讲义》等。如此海南最高楼仅6层的1985年我报考研究生时虽身在广州但我的工作等所属关系仍在海南某县如此就如我的主页说该县主管统领3次世界冠军的体育局龙朝雄局长当时就把他为帮助我报考而他亲自去找县主管领导批准我1985年报考研究生的证明亲手寄给我使我得以能报考研究生--虽然这进考场考研证明有何等厚实深度的与忘得差不多仍轻松推荐免试的有极大的不同如必考的数学分析这门课苏联《吉米多维奇数学分析》4千多题仅是起码要求如此考生都会找很多更复杂刁难的习题模拟题集等来整天都必做到天昏地暗头晕脑胀（这也只有做的最难题往届试题备选题模拟题比别人多你才更有自信是否考哈佛大学最厉害诺贝尔奖得主的研究生-当然这也一般是基于你比别人付出更多）…关于这睿智风趣的龙朝雄兄做为琼中体育局长的最近2014年“第九届全国武林大会琼中举行”更特别是仅隔年2015年龙的琼中女足就夺得哥德堡杯冠军（即“小世界杯”所以龙说“见证海南人追求理想的勇气”-但不止于此虽龙不好说面对中国男足女足经常被欧美等几比0甚至十几比0大败即甚至都一直总无法打进1个球总让人对中国人体质泄气时给国人至少一些慰藉-当然好在科研不是身体对抗的事业但也一直仍有些泄气毕竟这世界不那么友好更中国一直来被外国践踏到伤痕累累而他的队让国人看到这个年龄段可以打遍全世界打遍天下那就趋此时成就事业吧）也如1985年年轻些时他使我得以报考研究生的导师是1945年日本投降后的第一年回到中国历史上的第一高校国立西南联合大学任教的权威大师，并我1985年报考他研究生时他已是校长/部长级领导的权威大师是我国这学科的先驱（如我报考的这先驱的研究生前他已出版2本书都是我国首创，并这先驱那里还有2个副导师中还有一个是北京大学数学系毕业文革前再研究生肄业文革后到美国斯坦福大学等做访问学者且这俩人那时也已出5本书当然他仨有合作的-如此我1985年考他们的研究生时也读了他仨编译的这6本书都是部分是高年级部分是研究生用的书，以前数学人能出版几本研究生用书的人很少算特厉害了如此听说另一人其后好象官位升很高）。
关于斯米尔诺夫的五卷11册《高等数学教程》（这套苏联世界名著范围之广内容之深使压力之大就如以致一直没时间心情找女朋友更没妻儿-这套书等才能一直抢占我的床头日夜相看两生厌至头痛也得钻研--一般来说应极少有人能全看--这套书由北大清华复旦南大的名师翻译:如我导师是主席的委员北大聂灵沼丁石孙清华孙念增复旦谷超豪陈传璋南大叶彦谦等翻译）。当然也学其它很多书并其后就如上面说的这页要说的拓扑学,即到了1983年我在五指山中学任教时就请同校的“海南大特区建设者”称号获得者杨昌通老师让他在大陆读书的弟弟帮我在1983年就买到了Seifert和Threlfall合写的《拓扑学》以及数学大师陈省身先生的《微分几何讲义》等（这杨昌通老师当时是全校知识最丰富的并极富正义感如从仅有3人获得“海南大特区建设者”且陈永萍是法院院长就可知道杨昌通老师不简单不过尚没来得及深交的隔年我就去广州其后就再没有过联系已不太清楚他之后情况只听说他已调来三亚市某中学任教还多次获得海南省级教学科研奖为三亚市最高教育事业做出极大贡献赢得荣誉-那时三亚还没有大学而老杨的学校可算三亚最高学府（他也仅稍大于我们但我和已去海口但总不见升官的帅哥曾绳浩常这样称其为“老杨”或打趣为“杨老”因他的老成总彷如隔几代）-忙碌这样久的老杨就仅为弄到上面这些廉价纸片-老实人该消停了退休了-彻底出来三亚在为吃喝所迫的骗抢夺之下才感到钱才是好东西没它没动力啥也做不了办不行啥。关于重视攻读这2书是在杨振宁李政道等之前的“中国历史上第一个占领世界近代科学重要位置的人”世界大师陈省身院士就如1934年成为中国自己培养的第一名数学硕士研究生，并1935年10月就已在德国汉堡大学完成博士论文，而这中国历史上第一个世界级大师陈省身去到德国约一年就完成博士论文工作就如这里哈佛大学丘成桐院士等说陈省身大师1934年去德国读博士正是只攻读上面我1983年买到的Seifert和Threlfall合写的这《拓扑学》书-而如下面所述这书很深广知其何其厉害，还有陈省身大师的《微分几何讲义》在当时也是很深广的著作。这也是因斯米尔诺夫的上面五卷11册虽总体上比我国数学系的教学用书都深广-特别是偏微分方程、常微分方程、泛函分析等书籍超出我国本科要求甚至达到翻一倍-但在微分几何和拓扑学却并非如此而才重点补充这2个学科领域）。其不易还如这进考场考研与推荐免试的非常不同如必考的数学分析这门课除教材上的习题是自然的以及很多考生都会做完《吉米多维奇数学分析》4462题外多数考生都会找很多复杂艰难的习题模拟题集等来整天做到天昏地暗-那时研究生非常珍稀到有点神秘感使考生们都非常珍惜极为向往就都刻骨铭心的记得很多人可能比现在上一年级就开始备战的一些人还要全身心忘我的投入拚博那可是历经日夜长年的千难万阻极其艰辛的战斗拚博-而打下的基础等应和免试读研的很不同并一些人深入的难度和拓展的范围也已超过研究生部分专业课可说已不只等于半个研究生…如我一进入大学读研究生就受到我的导师拿着我的一堆论文整个上午就训导其后仅毕业几年就已成为我国历史最悠久大学博士生导师的等等师兄们 (关于助我考研的这该县第一大才子龙局-就如在这里见他是县委头号部委的组织部常务部长[看上面见兼职的组织部部长林海云已是县委第2常委]兼县政府有4个副局的第一大局人事劳动保障局局长且是除了县领导外-龙是全县唯一在县委和县政府都任职的--作为该县大才子的他看来是一直有些不屑不愿拍这些“大老粗”马屁才一直总是不升而有些为其不平--或还因该县领导位子似多总是由从省里上面下来的占居如该县委书记孙喆2007年37岁成海南省最年轻的正厅级5年后2012年别人升副省长她却空降来这个县--这县虽没有海南其它县市条件却在大才子龙局统领的体育领域如有成立才3年的2010年的一、二线球员已全部转会外省队并在这中国男足女足都在国际足坛被打得落花流水屁滚尿流销声匿迹时代龙坐镇统领的女足却不断夺得各类世界冠军把一批又一批孩子从乡下深山沟里带到足球场又送上外省多个省级队国家队甚至国外世界级绿茵场-而作为该县大才子的龙仍继续隐身埋头扎根在该县山区里且官也总是一直不见再升半级-甚是唏嘘)…关于他使我得以报考研究生的导师是1945年日本投降后的第一年回到中国历史上的第一高校国立西南联合大学任教的权威大师-这大师的学科之受重视如其后评选的中国第一届院士中上面拓扑学博士陈省身是全国最年轻的且陈省身大师读博士仅花一年并就专攻读Seifert等的《拓扑学》--可见这书之关键，而正如上面所说我1983年从老杨的在大陆的弟弟得到的确实正是Seifert和Threlfall合写的这《拓扑学》以及陈省身先生讲授陈维桓整理的《微分几何讲义》来攻读-当时就特重视陈省身大师的这2书-当然同时还读其它一些其后更是应更多些切合导师们的书以及考试的各个领域的。下面主要说拓扑学：当然这书出版较早而那时代数拓扑仍在发展如此代数拓扑内容还是相对少一些-它与稍后几年由培养了非常多世界顶级大师的Solomon Lefschetz所罗门·莱夫谢茨独撰的《代数拓扑》以及北大用的这拓扑学书程度差不多-而更现代一些的拓扑学可参考哈佛大学丘成桐大师最先说:我修了Edwin
Spanier的代数拓朴的[大师Edwin H.
Spanier撰写]的包含了更多现代代数拓扑材料之书-它的前部分由我讨教的这里左再思教授翻译廖山涛校对并1987年出版为《代数拓朴学》【丘成桐其后再说;我修了Blaine Lawson的黎曼几何、Charles Morrey的偏微分方程-其中Blaine Lawson于1969年才获得Robert Osserman的博士[Robert
Osserman是海南琼州大学编委Paul
Garabedian的师弟]但Lawson很快就成为1971年毕业的丘成桐的2个导师之一并这Lawson的博士虽多但似仅有丘成桐成为顶级权威[他当丘的导师是因如杨乐院士说:“丘成桐先生在加州大学伯克利分校仅用了一年时间就完成了博士阶段的学习和主要的研究工作。他的导师陈省身先生当时在外休学术年假。”]、而教丘成桐偏微分方程的Charles Morrey虽是前辈但四个有徒孙的博士都仅分去三流大学--所以丘成桐大师学习的这仨授课老师中还是我讨教的左再思教授翻译的S资深厉害些并唯一得N.AMS公报--S的博士Morris Hirsch的博士William Thurston也和丘成桐、Alan Connes等3人共获1982年菲尔兹奖】,当然-这2个专家的黎曼几何以及偏微分方程我也攻读）。虽然这学科就象诺贝尔奖得主Freedman的高徒博士罗锋教授下面说“代数拓扑到1940年之后就变得越来越抽象…”，而上面说的我1985年报考他研究生时他已是校长/部长级领导的权威大师就在这学科“变得越来越抽象”的早期已教授“代数拓扑”--也就是他在中国算是超前推动开拓这学科的先驱（我报考的这先驱的研究生前他已出版2本书，而这先驱那里还有2个副导师一个是北京大学数学系毕业的权威一个也是文革前研究生肄业文革后到美国斯坦福大学等做访问学者并他俩那时也已出5本书有合作的[以前不得多招研究生即只能按学科招一二个人不象现在可以按导师招生]，也如在当时美国评定的世界大学排名中曾多年排名亚洲第一大学的该校第一届科学研讨会做报告的数学科4个人是我投考的大师、1928年芝大博士Dan
Sun、Paul Bernays贝尔奈斯的博士和另一留美博士（当然我1985年考研前除了读1934年去到德国读博士时攻读的Seifert等的《拓扑学》和陈省身大师的《微分几何讲义》外，我也读与这2个领域相近的日本数学会正主席说很难读不下去的这西南联大名师执笔之书--不过以前研究生名额极少这正校长又是省政协主席等工作多而至多仅招一名研究生甚至负担繁重有变又不招生且有北大清华考生分数低些也可能优先）。
这学科之不易，也如海南琼州大学评论他的最重要杂志论文的Michael
Freedman大师（就是几乎证明数学最重要猜想庞加莱猜想而获得诺贝尔奖的Michael Freedman大师）-而这诺贝尔奖获得者的本科毕业于北京大学的他的博士Feng Luo罗锋教授就说“代数拓扑到1940年之后就变得越来越抽象，非深入研究者一碰到奇异同调总感到摸不着边际”--罗锋教授对同调论的这2句评论出自武汉大学校长齐民友翻译的希尔伯特的《直观几何》下册中罗锋写的序。在百度见罗锋教授20岁就已毕业于北京大学-算是一直很优秀的人的观点，罗锋及师兄弟即数学诺贝尔奖得主Freedman的研究生们还更都是一流见识的如罗锋的师弟Ian
Agol独立获得第2个300万元，而第1个5个人分享300万元。
关于上面所说的‘非深入研究者一碰到总感到摸不着边际的奇异同调’-参考这里开头说我半天就弄通全部的“同调论”--也可参考相关领域 “同伦论”，以及我也攻读的“微分拓扑”，“拓扑动力学”，“组合拓扑学”，“模糊拓扑学”等等还有单在代数领域就有以拓扑的一些领域为主要推动工具发展的领域如拓扑代数、同调代数等（拓扑代数和代数拓扑不同-这看谁居于主角）。
关于Seifert和Threlfall的这本书，也如这里第2封信见海南琼州大学促使中国出版的诺贝尔奖得主Sergey Novikov等合写的《同调论引论》前言中说“在所有经典的拓扑学方面的书籍中，最好的的一本是Seifert和Threlfall合著的《拓扑学》”（Novikov等的书写于80年代-也就是到了80年代Seifert和Threlfall的书仍是世界第一著作，后来我也购买2个并称世界第一名师的Solomon Lefschetz、Oswald Veblen和 Samuel Eilenberg等的几本拓扑学专著来攻读）。2个诺贝尔经济学奖得主纳什和Shapley以及人工智能之父Minsky的博士导师Albert
Tucker阿尔伯特·塔克在美国BAMS给出它和另一拓扑学书籍的评论比较）。我或是因以前连续地在我参加的所有数学竟赛都是第一名（不只是一等奖）就年轻气盛而不太在意，所以读Seifert和Threlfall合写的《拓扑学》读得还是非常艰苦的
关于Seifert和Threlfall合著的《拓扑学》内容还是较多的即有12章并各章讨论的课题也算多：第一章 直觉的讨论（说明拓扑学所要做的以及从直觉上认识主要的基本概念等）；第二章 单纯的复合形（内容较多但单纯剖分是关键包括对单纯的复合形等的构建）；第三章 同调群（一些复合形的同调群的计算及其复合形的分类与它们的性质等）；第四章 单纯的逼近（单纯的逼近是从复合形的一个连续变换到一个“单纯”变换的普遍历程而逼近定理是k维链的边链若是单纯链那它就有同调单纯链等）；第五章 在一点处的性质（全局上考虑的同调的复合形未必同胚因此有必要讨论局部的性质）；第六章曲面的拓扑学（前面讨论的二维空间的同胚处理方法不适合高维空间进而另讲曲面的拓扑学）；第七章 基本群（类似前面所述同调群不能保证高维复合形或流形同胚因此就需要讨论起决定作用的新工具基本群等）；第八章 复叠复合形（讨论复叠复合形的基本群与底复合形的基本群的关系等）；第九章 三维流形（三维流形可用匀齐的来描述而高维流形不能因此在很多方面需分2章讨论并其内容就象前面说的起决定的工具不同而也有所不同等等）；第十章 n维流形；第十一章 连续变换（主要讲变换度和不变点公式）；第十二章 群论中的定理（这里讲的与代数学和几何学中通常的群有些不同）-可见这书是拓扑学内容较全面丰富的世界经典。
到了最近，罗锋教授推荐的第一本代数拓扑参考书是James W. Vick的《Homology
Theory- An Introduction to Algebraic Topology》。这书还没翻译-目录是：第1章 Singular Homology
Theory奇异同调论；第2章 Attaching
Spaces with Maps基于映射的贴附空间；第3章 The Eilenberg-Steenrod Axioms公理；第4章 Covering Spaces覆盖空间；第5章 Products积；第6章 Manifolds and Poincaré
Duality流形和Poincaré对偶；第7章 Fixed-Point Theory不动点理论。顺附一些代数拓扑学家及其著作供参考:
Solomon
Lefschetz所罗门·莱夫谢茨的Algebraic Topology并写了《Applications of algebraic topology. Graphs and networks, the Picard-Lefschetz theory and
Feynman integrals》；沃尔夫奖得主Samuel Eilenberg和莱夫谢茨的博士Norman Steenrod合撰的《Foundations of algebraic
topology》（北大主要用这书-不过它主要讲同调论几乎不讲同伦论）；海南琼州大学评论其论文的Béla
Bollobás的第2个博士学位导师John F. Adams独撰的《Algebraic topology—a
student's guide》； Edwin H. Spanier的Algebraic Topology； 前者的师弟William S. Massey，写了几本代数拓扑并在同调论有《Singular
homology theory-奇异同调论》-（上面Vick在BAMS评论），还写Homology
and cohomology theory等；上面Herbert Seifert的博士Albrecht Dold也撰写《Lectures on algebraic
topology》； Allen Hatcher-个人主页，Algebraic Topology； Peter Ozsváth（MIT个人主页，他的代数拓扑课程）； Michael
Hutchings（伯克莱个人主页，代数拓扑）； Jonathan
Rosenberg（代数拓扑）； Dror Bar-Natan（多伦多个人主页，代数拓扑）； Allan
Edmonds（代数拓扑）； Nathan
Dunfield（伊利诺伊大学个人主页，有各专题PDF的代数拓扑）； 洛杉矶拓扑学组 ；Michael Hopkins（哈佛代数拓扑权威，他的主页没见课程只见一些论文，但他的已成哈佛教授的学生Jacob
Lurie有一些代数拓扑学习材料--这Lurie和获得诺贝尔奖的2006年曾来信表达会支持帮助海南琼州大学的陶哲轩同获得300万美元首届数学突破奖）
…
而现在,拓扑学对很多学科和产业都已起到不可估量作用：⑴在物理学科如最近的诺贝尔奖:由拓扑学开启的未知世界、又如拓扑学与物理学结合,量子计算机正在成为现实…；⑵在化学如世界第一杂志:拓扑化学理论为预测新材料点亮明灯!；⑶在人工智能如使用了新的拓扑学方法,最终,神经网络的进化成功解决了多个领域棘手问题；⑷还有《MIT科技评论》说“代数拓扑方法正在变革脑科学”；⑸顾险峰在这里第3段说他“经历一些计算机科学方面的研究项目，这些项目的关键思想来自代数拓扑”(这个顾险峰“在中法人工智能合作论坛上顾险峰与法国政府签约,法国总统马克龙出席仪式!”--并法国马克龙总统面对着唯一看着作为中方代表和法国政府签订合作协议的就是顾险峰),等等………
Blum, A.L and Furst, M. L., Fast Planning Through Planning Graph Analysis. In
Proceeding of the International Joint Conference on Artificial Intelligence,
1995, 1636-1642
规划问题是人工智能研究领域经典问题之一，通常意义上讲，规划（planning）是指在给定的初始条件下，求得一个动作序列（串行、并行或串并行混合）的过程，而依次执行此动作序列可以完成某一特定的具体任务，最终达到一个特定目标[1]。事实上,即使在日常生活中,这种在行动之前就拟定出行动步骤的行为也是随处可见的: 即使简单如泡茶这样的工作, 我们也需要拟定好诸如放好茶杯,放茶叶,烧水这些动作的顺序,否则在茶杯没有放好之前就冒失的倒水,其结果可想而知。
而智能规划（intelligent planning）就是利用计算机模拟人脑进行规划的过程。图 1 是一个智能规划 agent 的抽象模型，在图中该 agent 希望通过对环境的操作以达到其目标。它能够感知当前的外部环境并能通过执行动作来改变外部环境，因此一个规划即是由一个能够改变环境以达到期望目标的动作序列构成。
由于在复杂环境下执行复杂任务的系统（智能体）往往需要海量（甚至无法计算）的存储，同时要求设计者需要有超人类的预见能力，需要为机器遇到的所有情况预期合适的反应。而与之相对的，利用智能规划技术和规划识别技术，采取以适应性代替显示设计的方法，通过对系统（智能体）所处环境和结果状态建构模型，使得预期计算的结果能够自动的学习和演化，因而即使在设计者本人也无法预见的情况下，系统（智能体）依然可以自主的选择合适的动作来执行，从而提高了系统的效率，减轻了设计者的负担。因此，智能规划被广泛运用于问题规模较大，复杂性较高这类问题上：如自动数据处理[2]，电子游戏角色设计[3]，大规模后勤调度[4]。
也正因为如此，智能规划越来多的受到各国的重视，各顶尖大学和研究机构均围绕智能规划，实施了多个项目，如美国 DAPRA和 Rome 实验室的 ARPI 计划[5], 英国的国家航空和宇宙航空局赞助的 EUMETSAT 项目,美国国家航空和宇宙宇航局也投入大量的人力、物力，开展关于规划理论的研究，运用在航空器上，这些项目有力的推动了规划理论的研究。而智能规划的相关文献也经常出现在人工智能领域的相关顶级期刊和顶级会议中，如AAAI-99 和 IJCAI-99 中就有约 20％的智能规划方面的文章。而Artificial Intelligent 杂志也分别于 1994 年和 2003 年分别对智能规划技术开了两期专刊。
在这些文献中，Blum 和
Furst 的文献“Fast Planning Through Planning Graph
Analysis”[8]无疑是具有重要意义的一篇文献。正是由于 Graphplan 的提出，使得规划领域不在仅仅着眼于单纯的偏序规划，因而被 Weld 等在[6]中称作为革命性的算法。而在Graph plan 的基础上，Hoffman 等人设计出了 Fast Forward，LPG等灵活快速的规划器，而这些规划器几乎包揽了近几届来的规划比赛的所有冠军（参见附录 A， B， C）。
但是上述的规划器大多是被运用于经典规划领域中，而经典规划通常是建立在如下的假设的基础上的[7]：
z 原子时间(atomic time)：规划的执行被认为是从一个世界状态到另一个时间状态的原子转移（ atomic transformation）。因此，规划器在动作执行时不需要考虑环境的变化。
z 确定性效果(Deterministic effects)：任何动作的执行都被看作从动作到动作结果的一个确定性函数，换言之，给定世界状态和相关动作，动作的执行结果总是相同的。 z 万能、全知(Omniscience): agent 对所处环境的初始状态有完全知识，并且对动作的本质的认识是已知的。
z 变化的单调性(Sole cause of change)：环境是静态的，引起环境的变化的原因只是由 agent 的动作造成的。
正因为如此，虽然这些规划器在规划速度和规划规模上取得了巨大的成就，但是实际上依然只是局限在例如积木问题等小的抽象世界中，大而且复杂的规划问题仍然没有得到很好的解决。为了解决实际问题，必须寻求规划表达能力更强的知识表达方式以及更有效的挖掘蕴涵知识。为此，国内外学者对此作出了相当多的尝试和努力，Graphplan 的设计者之一 Blum 就考虑到扩展图规划的知识表示到 Probabilistic Planning 中[9]，Weld 等也认为经典规划主观上臆断初始世界状态是完全已知的根本就是不现实的推测，并因此将规划图算法扩展以处理非确定性动作。
事实上，自从非经典规划提出以来，概率规划模型作为不确定规划的一种，其发展尤为迅速[10],
[11], [12], [13],[14]。而令人惊奇和不解的是，同为解决不确定性的重要方法之一，模糊性或者可能性在规划建模中一直得到没有相应的利用。而智能规划系统其本质是适用于复杂系统的，这种复杂性的产生也并非偶然，这是由规划系统设计的目的即完成所需要完成的任务的复杂性决定的。这种复杂性导致了规划的客体的模糊性或者可能性的必然所在。虽然历史上已经有了对将模糊理论运用到规划问题中的尝试，但是这些问题多集中在数学规划理论和模糊优化上，在问题求解方面依然停留于 1991 年前的定理证明方法，也很少运用非线性规划手段采用目标导向方法求取规划解。
为此本文的目的就在于将基于模糊集合表示的可能性理论构造可能性规划模型，设计出基于可能性理论的规划图算法。本文的组织如下，在第一章中我们主要介绍可能性理论相关知识以及可能性理论和概率理论的比较；第二章中，我们回顾规划图模型；在第三章中我们探讨可能性规划以及其基本表示方式，提出POPDDL（可能性规划定义语言）；在第四章中我们讨论基于规划图框架的可能性规划算法；在第五章我们给出总结并探讨将来的相关工作。
第2章 规划图算法
在规划图算法提出以前，人工智能规划研究主要集中于所谓的非线性规划或者偏序规划上[15].
规划图算法至少从两个方面扩展了规划研究方向：
（1） 搜索一条有固定长度的规划（根据规划图扩张的过程可以看出）
（2） 使用互斥信息用于搜索树的剪枝。
正是这些不同点使得规划图算法的性能远远超越了早期的规划算法。而规划图的成功反过来又使得整个规划研究领域寻找传统规划方法以外的策略。在规划图算法之后 Kautz 等又进一步使用一种通用的 SAT
算法并将之与规划图相结合，这就是第一届规划器比赛冠军 Blackbox 的理论原型[16]。而 Kautz 的方法又激励了研究者们寻找将规划算法翻译为其他可计算问题。另一方面，Bonet 等将规划转换为状态空间中启发式搜索的方法，而
Hoffman等又将此方法和规划图方法相结合，并构造出 FF 系统，该系统
图 2 一个简单的 STRIPS 规划问题
在第二届和第三届规划比赛中也取得了不俗的成绩[17]。事实上当前效率较高，求解能力较强的规划器大部分是建立在规划图算法的基础上或者和规划图算法有着密不可分的联系。
规划图算法延续了早期规划研究领域的传统，即采用STRIPS 域来作为规划描述语言。一个 STRIPS 域包括
z 规划目标集合（由命题的与构成）
z 动作集合，每个动作由“与”前提，“与”效果构成，并且定义了一个从一个状态到另一个状态的转移函数。动作只有在前提条件满足的情况下可以执行。
图 2 中，我们给出了一个基于 STRIPS 域规划的例子，在图中，ci 表示的是三座城市，ri 表示的三条道路，图中的操作则表明如何将包装载到卡车上去。其前提为卡车和包在同一位置，且要求有一个保卫在车上。其效果是将包裹放到车上。
图 3 运载问题的部分规划图
规划图通过构造和分析一个紧凑的结构（即 planning graph）来获得规划解。它包括两个步骤：一个向前的阶段，在此阶段中，规划图不断扩张知道目标出现；一个向后的阶段，在此过程中，规划解通过分析规划图来获得。图 3 给出了一个规划图的模型。我们可以看出规划图实际是一个有向的分层的图结构，它包含两种节点：命题节点和动作节点，并由此分成动作层（由动作节点构成）和命题层（由命题节点构成）。初始层是一个特殊的层次，因为它是由初始命题构成，描述了初始的世界状态。
2.1 规划图扩张过程
在规划图的扩张中，动作层的扩张是指扩张那些所有的前提条件存在于前一命题层且前提条件不互斥的动作，而命题层的扩张是将前一动作层的动作效果添加到该层中，值得一提的是，在规划图中还采用了一种伪动作－noop，用以保证命题的延续。
规划图的另一个特性在于它在扩张过程中利用了节点间的互斥关系，下面是有关互斥的相关定义。
对于两个不同的动作节点，若它们不一致，则存在下述情况： 不一致效果（Inconsistent Effects）：一动作的结果之一是另一个动作结果之一的反，例如：开车从城市 c1 到城市 c2 使得“卡车在 c2”命题为真，而开车从 c2 到 c3 使得“卡车在 c2”为假，因而这两个动作互斥。
推理困难（Interference difficulty）：动作 1 的效果之一是另一个动作发生的必要条件之一的反。例如：开车从 c2 到 c1 使得“卡车在 c2”命题为假，而开车从 c2 到 c3 的一个必要前提就是“卡车在 c2”。
竞争需要（Competing Needs）：两个动作的前提示相互排斥的。比如：开车从 c1 到 c2 需要卡车在 c1，而士兵在 c2 上车要求卡车在 c2。
由动作间互斥关系可以推导出命题的互斥，即：
互反（Negation）：两个命题之间是互反的。
非一致支持（Inconsistent Support）:所有可以产生此命题 1的动作和所有可以产生命题 2 的动作都互斥。比如，所有使得卡车在 c1 的动作都和所有使得卡车在 c2 的动作互斥。
2.2 规划图求解过程
规划图的扩张过程持续到所有目标都出现在图中，且目标命题之间不互斥。在此之后，规划图求解过程被调用。求解过程是一个递归调用的过程，给定目标，求解过程不断寻找连接该目标的不互斥的子图，一直回溯到初始状态。求解的基本过程如下： （1） 扩张规划图知道所有目标均出现在当前层，且目标之间不互斥。
（2） 对于每个支持目标（即结果含有目标）的一致的动作集合，将这一动作集合的前提构成的命题集合看成是子目标。
（3） 对于每个子目标集合：
若没有一致的动作集合支持此目标在回溯到上一层寻找另一个动作集合。
Avrim Blum,
Merrick L. Furst合作的“规划图”论文., Fast
Planning Through Planning Graph Analysis. In Proceeding of the
International Joint Conference
on Artificial Intelligence, 1995, 1636-1642被引3千多次
https://dl.acm.org/action/ajaxShowCitedBy?doi=10.5555/1643031.1643111
（Merrick L Furst还和Jonathan
L Gross,Richard Statman合写Genus distributions for two classes of graphs一类项链图在Klein瓶上的嵌入.Journal of
Combinatorial Theory, Series B.1989,46(1).22-36）；
Malik Ghallab马利克•加拉卜、Dana S. Nau达纳•诺、Paolo Traverso保罗•特拉韦尔索合著《自动规划：理论和实践》，姜云飞、杨强、凌应标等翻译，清华大学出版社2008年；
姜云飞等的“规划图”论文
北京大学计算机叶志远教授等的“基于动态贝耶斯规划图的状态安全报警关联”-参考上文。
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