这页说微分方程

第一、先说偏微分方程（其作用如这页第1、2段见化工之父就做偏微分方程并接着第3段这之父的族师弟和海南琼大同在诞生中国历史上第一个全大会报告的总结大会做全大会报告的也做化学；下面第二部分简述海南琼大师爷的中国先驱弟子的常微分方程):

这领域兼基础全面及重要专题深入的较好的第1本书：就是海南琼州大学杂志的编委Paul Garabedian院士（他是第一个数学诺贝尔奖得主的唯一最伟大的学生）独立撰写的16大开的672页世界知名巨著《偏微分方程》。与此书密切的是他的获得世界第一个数学诺贝尔奖的导师的世界名著《复分析》（如此Garabedian院士的这书用几章撰写与之相关并一般偏微分方程书籍所没有的“磁流体动力学”和“复域中的偏微分方程”等，这也是Garabedian最近给海南琼大来信说他们主持约1000亿元项目的主要基石，它的部分内容也是海洋动力学的基础等。如此，这应用数学名列美国所有大学中第一的领袖Garabedian院士的这《偏微分方程》半个多世纪以来一直就是欧美重要大学使用的世界著名教材或参考书--如这书在更多方面比下面柯朗希尔伯特的有深度如上面所说外还如第11章用Rayleigh's quotient òò_D (u²_x+v²_y)dx dy/òò_D u²dx dy来处理振荡的特征值问题等这都是一般PDE书所难讲到的[Rayleigh是英国首个物理诺贝尔奖得主和英国皇家学会会长、剑桥大学校长而我有的他的巨著《声学理论》就孕育孵化下面课题⑤-1的“有限元法”]，如此在出版之前由美国科学院首个数学女院士也是至今唯一美国数学会女主席Morawetz、维纳的博士Friedman、第3届阿贝尔奖得主Peter Lax、Jim Douglas、J. Berkowitz等7个大师着力阅读过这书稿的各部分。这书的独创程度如文献见Garabedian院士自引19篇，引柯朗9篇，其它人都不过5篇，也引下面Hörmander、彼得罗夫斯基校长和法国中科院外籍院士的导师的即我们研究生时读的《矩阵迭代分析》的这3本书）。其实，给海南琼州大学赵克文来信表达非常乐意担任琼州大学杂志编委的美国数学会正主席James Glimm院士也主要从事“偏微分方程”和“流体动力学”的研究并有许多相关著作。

第2本书：Richard Courant柯朗和David Hilbert大卫·希尔伯特的830页巨著《Methods of mathematical physics. Vol. II（副标题是“数学物理方法Ⅱ”》（也见熊振翔和杨应辰翻译1981年第2次印刷的第Ⅱ卷中文版）是一本相当全面的偏微分方程著作需要较多时间经常多磨（钱敏和郭敦仁翻译1958年出版的他俩的《数学物理方法 I.》就基础些）这第Ⅱ卷引用其文献达到5篇次的人有9个：他们是上面海南琼州大学杂志的编委Garabedian院士，Lipman Bers，柯朗自己，柯朗的3个博士Fritz John，Hans Lewy，Kurt Friedrichs，以及前者的博士Peter Lax，Lars Hörmander，I. Petrovsky；而海南琼大师爷叔Morrey和第2届即1979年沃尔夫奖得主Leray都4篇次，足见海南琼大编委是顶级大师；下面创建①-1粘性解的海南琼大导师的大学教授的博士L. C. Evans98年的《偏微分方程》也已是受重视的研究生教材.

我国在这领域较好的书籍有如我国解放后最先一批（文革后才开始允许去欧美）获得欧美博士的与我们海南省工业与应用数学学会几乎同时筹备却先成立的重庆市工业与应用数学学会主席祝家麟教授独撰1991年科学出版社出版的《椭圆边值问题的边界元分析》一书，当然我国这领域最有代表性书籍是复旦大学学派谷超豪院士、李大潜院士、陈恕行院士、洪家兴院士等60年代起到至今仍在写或再版的一系列偏微分方程/数学物理方程书籍-当然象吴新谋的《数学物理方程讲义》也受推崇、姜礼尚的也很受用；以及某些著作如周毓麟院士的文集《微分方程数值解》（周毓麟是莫斯科大学校长彼得罗夫斯基的博士O.A.奥列尼克院士的博士，我国数学界2个国家最高科技奖得主之一谷超豪院士也选读了奥列尼克的非线性偏微分方程的课-并谷超豪的导师Rashevskii少见介绍不如奥列尼克出名），林群院士的《微分方程数值解法》主要讲有限差分和有限元法等（这些书我都不同程度看过-身边仍留着它们）。偏微分方程/数学物理方程内容很广泛，不仅有各种方程算子的基本解、广义解、各种常用的经典解法（如傅立叶变换法、拉普拉斯变换法、球面平均法、分离变量法等）、各类具体方程和问题的解的性质（如各类解的唯一性及稳定性、正则性、初值问题、边值问题、Cauchy问题、能量不等式、极值原理、最大模与能量模估计、一定边值条件的本征值问题并表现为量子力学的分立能级问题等等），下面就先说偏微分方程相关的一些主要领域：

①-1：粘性解，它由海南琼州大学的导师柳柏濂教授去合作几年的威斯康星大学的教授Michael Crandall作为第一作者和1994年菲尔茨奖得主Pierre-Louis Lions在他俩1983年的论文中作为对偏微分方程经典解的扩展而引入（这篇威斯康星大学1983年的博士论文也做粘性解）-其实Michael Crandall1982年已独立发表1981年报告的同题论文，其作用如这篇文说“在偏微分方程及不等式中早已有粘性解的研究，并且也已用到非线性最优控制中，说明了其具有广泛…”；①-2：威大另一大师为主开创的无穷维哈密顿偏微分方程等…

②：关于反问题与不适定问题。A. N. Tikhonov 就写《不适定问题的解法》被Fritz John译为英文-其后王秉忱结合俄英文译出中文版。我国相近书籍有杨文采院士独撰的《地球物理反演和地震层析成象》和贺振华校长主编的《反射地震资料偏移处理与反演方法》，也可参考徐利治大师1989年的《关系映射反演方式》一书-虽建立于相近数学理论基础之上但许多内容方法有诸多相似共通之处（总之反演无处不在并国家一等奖得主都心仪的我们海南琼大攻读的中国第一室的很多领域就涉及如中国计算机学会正理事长支持的只收录海南琼大的导师柳柏濂教授等3人的中文文献的著作以及北大院士邀请我去做的反馈控制、密码设计之反馈移位寄存器、最正统的Gladwell的《振动中的反问题》中的振荡矩阵-它是海南琼大世界领先的本原矩阵和它们的关键基础最优化理论等；关于我的这导师柳柏濂教授-如《南方日报》等曾报导他在几百考生中唯一考上于光远副部长的研究生[那时贫穷没老板而官独尊]-其后1981年授予华中科技大学数学研究生学位时这个徐利治教授正是这校数学系主任[那时研究生少学位有些是联合授予]，经常来信指导海南琼州大学的钟集教授就和这徐利治一同担任全国学会第一届理事长--1993年邀请海南琼大去合作的徐利治还是中国数学教育三座学术高峰中之第一高峰）。国外反问题相近参考书还有维也纳大学校长Heinz Engl主编的包括他的在2005年前担任海南琼州大学的这杂志编委的他的导师M. Zuhair Nashed 等撰写的《Inverse and Ill-Posed Problems不适定和反问题》书也很好，其后这维也纳大学校长Heinz Engl校长1996年也出版《反问题的正则化》一书，再有海南琼大的导师钟集教授是主席的委员陈杰校长独立翻译1985年出版的《广义逆矩阵与正则化方法》等。下段再介绍国内为主的其它书籍）。我们海南琼州大学李壮同志也做反问题如他赶在2008年我国博士是世界最多泛滥成灾前夕的2007年在哈工大完成这博士学位论文--但还或因以前难如李壮这篇博士论文最后见攻读期间发表的第一作者论文只有4篇--其中前面2篇是这杂志的--即这杂志是这里说百发百中收费还不菲的第4个杂志-并见这杂志没有主编且我国当它编委的竟是外国人也没职称-有点乱似啥可能都有甚至是来中国读本科的如仅最后6人才注明是Dr(若此那没见过-象海南琼大的杂志编委都是美国数学会正副主席以及上面大师等-且前几卷多是大师们的论文并曾经一直花大力严格规范评审至2008年起人才论文泛滥…)—又至海南师大张校长发布的这里第4、第5篇论文也是李壮这杂志的促张校长为海南最伟大科学家(因张合作的第1、2、3篇不是张校长或海南的)-那他们这杂志的应是何等最伟大，不过这杂志的编辑部在泰国、而出版办公室却设立在我国青岛市人民路63号却都没有一个中国人当编委-这更应在其它国家设立-怪得很（从没见到编辑部和出版社分居2个国家的杂志，是中国的钱好骗而为就近捞中国人的钱吗-且现都是在线电子出版论文-已不需要什么出版办公室…）-李壮共4篇中另2篇是小工科的合肥工大主办的《大学数学》(也叫《工科数学》名怪怪的并见“栏目”有“教学”“建模”等)和省级的《黑龙江大学学报》各1篇（哈工大学报至今仅发表省政协主席等海南的4篇论文）李壮其它非第一作者论文共1篇即是第3作者的（数学系林越2008年硕士研究生毕业分来我们海南琼大时我给他合作第2作者的SCI论文约十篇之多他都一直说没用-多次要我给他发表第一作者SCI论文）-李壮的其它都是有待出版的其中只有一篇（即这篇）是这篇注明投去SCI杂志的[但至今仍不见它出版]，这足见以前难，如上面海南师大的张校长的杂志论文如此都成为海南省最伟大科学家，且不仅海南难如80年代初就已在李壮读博士的大学任教的12个教授就做海南琼州大学的导师的学科但至今这12个教授一共仅有22篇论文，而现在三本在校生一年都发表大量世界顶级论文。可惜现在三本在校学生都如此伟大泛滥不值钱了而我们海南琼州大学的校长们位子都是仍被享受尽了好条件的海口等的来夺去使扎根深山几十年的干瞪眼否则李壮早就是我们海南琼大最伟大最具资格的校长-而这将使李壮很快就发表了大量世界顶级论文成果-否则就如在重灾区的五指山时之我刚来时特别茫然特别困惑到什么都做不了这特烦就曾使1993年末各省状元都竞争去读的大学的陈院士邀我去做已成首富的、1993年北大计算机系邀我去做当时很热的P网、北大做控制论的黄院士那时也邀我去、1995年复旦大师去澳洲时也邀我去做集成电路、1993年清华计算机系也邀我去做人工智能其后芯片商业化时清华计算机系邀请去做使民族复兴的芯片以及我从没联系过的美国前十名大学的校学术委员会主席等也打电话到五指山几个系办公室等等当然也还有数学的如这里第1段说1993年全国人大副委员长、北京大学校长丁石孙先生亲笔来信欢迎我去跟他做数学…这因以前一直没有分文经费等…虽李壮条件好一些如很多次申请省重点项目大获全胜金钵满盆-省重点是每次都得约50万元经费远居全校第一并那时至今工资经费等增长约十倍则50万是现约500万元，但在重灾区的五指山这远远不够什么都仍做不了难有好改变--每每想其艰难就怀疑人生（使比李壮条件差得多的我们琼州大学等许多人的论文成果就更差即更少档次更低-那他们的博士论文等从基本要求上来说就很难过关应不能毕业-（象中纪委网说“骗取博士学位、结交政治掮客的工行原副行长张红力被开除党籍”-可他读博时投这篇论文的2010年的《经济管理》居全国第一并其时是最具国际影响力期刊--这样仍是“骗取”-那象我们海南省“骗取”而要被取消的人多了）-可现在三本在校生都发表大量世界顶级SCI论文泛滥成灾许多稍做一下就已300多篇成河如山而想想以前荒芜时代开拓海南之困难重重至气闷头痛胸塞心烦神疲！即竟象我们海南琼州大学在里面攻读了3年多的中国第一个由“诺贝尔奖”得主担任领导的机构-以及攻之前任领导撰著的中国“第一本”数学研究生用书等的都变得糊涂难解深感麻木困惑迷失感似走错道入错门才在上面1993年末起要做上面已成首富以及和美国合作创建中国第一个国际芯片中心的清华大学计算机系唯一国际院士邀去做使中华民族伟大复兴的等，就如因我1994年前被录用的一些论文需要交出版费而申请几百元都一直从没有得到分文处理以致如极简单解决人类史上世界十大天才Erdös的猜想却都因这杂志每期仅出约8篇每年4期全年约30篇而难发表就请北大张恭庆院士等审阅都一直难得发表（海南琼大的这论文最终由首届国家最高奖得主吴文俊院士审阅推荐才得发表；关于北大张恭庆院士这里见他的1979年的书等就已很有影响如此在拍卖网见海南琼大以前一直无法发表的困境下就请张院士审阅的信竟见它被拍卖还不知从哪抄来我是什么美国纽约科学院院士等一堆旧名堂而拍卖260元至无聊之极之怪事使困境中的我更不知所以--就附说这乱七八糟的拍卖如上海医科大学党委书记上海市教育工委党委书记的这个信札、北京大学社长兼全国大学出版社协会理事长的这个信札、南京大学党委委员中国高校学报理事长的这个、《西安交大学报》主编致朱总司令保健医生的这个、兰州大学纪委书记的这个等等全都是仅卖160元；而全国老将军书画博物馆馆长王金育致建国功臣开国将军的这个、商务印书馆总经理于殿利的这个、宣传部长《沈阳日报》总编的这个、军分区副政委武汉警备区顾问的这个、1935年由他作为辅仁大学支部书记参与领导的一二九学生运动的刘国瑞给鲁中军区副政委建国功臣驻外大使的信却更都仅只卖约60元；还有这个分校董事会为展示分校办学15年成果向书画总校大学校长呈送的几页堪称上乘书法作品全都是写我们海南岛的怎才仅卖20元，但把上面首届国家最高奖得主吴文俊院士的这信给它拍卖可能会定个高价？可这使人类史上世界十大天才之一的Erdös的论文中唯一有趣问题发表用啥衡量似有些别扭无聊）

（再对上一段反问题的参考书籍作些补充即还可参考Tarantola的《反演理论》，其它偏于各方面的如我为它花不少时间的北大王大钧教授1991年翻译出版Graham Gladwell的《振动中的反问题》并见这书以属于海南琼州大学世界领先的本原矩阵的振荡矩阵来表征振荡、以及发表我们图论重要论文的陈继承和黎罗罗1987年出版《代数特征值反问题》/周树荃和戴华的《代数特征值反问题》/金亚秋的《矢量辐射传输理论和参数反演》/刘天佑的《重磁异常反演理论与方法》/黄光远和刘小军的《数学物理反问题》/谢靖的《地球物理场正反演问题近代数学方法》/栾文贵的《地球物理中的反问题》/何宝侃周熙襄钟本善合撰的《地球物理反问题中的最优化方法》/还有Menke为哥伦比亚大学低年级研究生及高年级本科生写的反演理论书籍等几本国外书也可参考--这些书都是约1993年前出版的书，刚见和海南琼州大学以及香港数学会会长共3个华人一同任职编委的这里33的某被他说是SCI杂志的重点实验室主任王彦飞教授在上段李壮博士毕业的当年出版的专著《反演问题的计算方法及其应用》。此外，就因如杨文采的上面书所说“最常用的正则化方法有Miller正则化及Tikhonov正则化两大类，其中后者已发展成为一种理论和应用上都比较完整的体系”，当然就如上面刘天佑的书等以及这网页最后都说“现代地球物理线性反演理论的基础是由Backus和Gilbert的一系列重要文章所奠定的”其中基石性的Backus-Gilbert方法最近也被证明是正则化方法，但吉洪诺夫等提出的求解不适定问题的吉洪诺夫正则化方法,为反问题的求解提供了一种基本而有效的方法，受到世界各国推崇，如此我也有国际数学联盟副主席传奇数学大师庞特里亚金的师兄Andrei N.Tikhonov吉洪诺夫和他的博士Alexander A. Samarskii萨马尔斯基合撰的《数学物理方程》这套书等）

关于偏微分方程较受欢迎的书籍还有不少如Lawrence C. Evans在我们毕业后不久出版的《Partial differential equations》-是研究生入门的基础教材-程度适中并最近在欧美都已很受推崇据说达到“风靡”的状况。在此说一些更深入的专题：第3-1，线性偏微分方程和一般线性偏微分算子：前者我有Louis Nirenberg路易斯·尼伦伯格大师独撰的世界名著《线性偏微分方程讲义》-这领域国内外著作都不少易找到合适的就不举出了；后者我有1962年Fields奖和其后Wolf奖得主、1987年担任国际数学联盟副主席的Lars Hörmander大师的《线性偏微分算子》由陈庆益译并似还有好几本尚没有翻译（关于这书这领域，学完偏微分方程或数学物理方法也和它尚缺许多交集，需要进一步学它以提高加深对偏微分方程的多方面理解，陈庆益教授翻译为370页的这书共3部分的第一部分 泛函分析--要讲算子当然要先讲一定相关的泛函分析；第二部分 常系数微分算子--各章分别讲微分方程解的存在性及逼近、解的内部正则性和Cauchy问题；第三部分 变系数微分算子--分别讲定强微分算子和具单特征微分算子、Cauchy问题和椭圆型边界问题及无界的微分方程。因没时间细看就对看过的做些记录以免找起来不便：只记我要用到的泛函分析一些基本记号：W为n维空间R_n中的一个开集[3页]；W的一个分布u是C₀^¥(W)上;的一个线性形式，使得对于每个紧集KÌW，存在常数C及k致|u(j)|£Cå_|a|£ksup|D^aj|, jΠC₀^¥(K)，其中D见同页、C₀^¥(W)的定义也见3页。W中所有分布得集记作x¢(W)[7页-记号可与书不同]；关于第二部分的基本解的定义：分布E称为常系数微分算子P(D)的基本解，若对在点0的Dirac测度d有P(D)E=d。Dirac测度的定义见11页；若P(D)和Q(D)是微分算子而使Q^～(x)/P^～(x), xÎR_n，则称Q弱于P并记作Q--<P。P^～(x)初于47页。定理3.6.4 微分方程P(D)E=f对每个fÎx¢(W)有解当且仅当W为强P凸的[强P凸的见定义3.6.1]，等等…；第三部分的开头就说：在第三章我们已经证明，常系数微分方程对任意右端f都能解出，至少对f所在定义的开集的相对紧开子集上是如此。最近Hans lewy[1]发现，当系数是变量时，情况就大不相同，从而展开有解和无解情况的各类更具体的及相关课题的研究…。他还有这个系列-不说了看书就行-具有了大学高年级的程度再了解其领域一些前沿的基本入门知识就可以看相应领域的研究生前沿课程）。

第3-2，拟微分算子和Fourier积分算子：数学皇帝Grothendieck的低几届的师弟Jean-Francois Treves的《伪微分算子和傅里叶积分算子引论》。上面第3-1译者陈庆益教授也独撰1985年出版《流形、分布与拟微分算子》；正如我也有的仇庆久、陈怒行院士等1985年出版的《傅里叶积分算子理论及其应用》一书第一章开头说“随着偏微分方程的发展，出现了拟微分算子和Fourier积分算子，它们为研究线性偏微分方程中许多经典问题，以及进而研究一般线性偏微分算子…”。

虽然各类型方程和方法的基本的都要了解，但进一步的各自应有所侧重如椭圆方程方面的基础书籍有很著名的David Gilbarg和其博士Neil S. Trudinger合写的《二阶椭圆型偏微分方程》（1981年出中文版）：

第4：历史上第一个数学诺贝尔奖-Wolf奖获得者Gelfand盖尔范特的《广义函数(Ⅲ)》-在偏微分方程的应用（它主要叙述用广义函数来建立偏微分方程Cauchy问题解的各类唯一性和适定性，以及依微分算子的特征函数展开得理论等，我有Gelfand的前三卷，我也有第2届Fields奖得主Laurent Schwartz洛朗·施瓦茨的《广义函数论》和Avner Friedman院士的《广义函数与偏微分方程》、M. J. Lighthill莱特希尔的《富里叶分析与广义函数引论》、以及冯·诺依曼的5个博士中较有成就的Halperin的《广义函数论导引》-蔡文端院士获1980年Halperin奖）

第5：《自然》评价很高的Wolf奖得主A. P. Calderon的《奇异积分算子及其在双曲微分方程上的应用》（伍校长译）。因奇异积分算子生成的交换子可看作这里的Toeplitz型算子，可参考相关论文；北京师大校长陆善镇等基于这书作者的“与强奇异Calderon-Zygmund算子相关的Toeplitz型算子”,中国科学(A)；杨润生,刘岚喆的“一类奇异积分算子的Toeplitz型算子的有界性”,数学学报；陈冬香等的“与强奇异Calderon-Zygmund算子相关的Toeplitz算子的双权估计”,数学年刊，等等（也可参考A. P. Calderon的师弟兼陶哲轩的导师E. M. Stein的《奇异积分与函数的可微性》由程民德院士主译和陆善镇校长的《奇异积分和相关论题》，我也有Yves F. Meyer梅耶尔的《小波与算子》第2Calderon-Zygmund算子和第3卷多重线性算子合编为中文版的第二卷并就如这里说我也有第一卷）

第6-1：最近获得ICIAM麦克斯韦奖的非线性偏微分方程的非线性控制、非线性偏微分方程的变分方法。 不过，虽然非线性偏微分方程微分方程是偏微分方程研究的主体，但不知这方面的书少还是董光昌教授的浙江大学王斯雷和我的导师钟集教授是一九八五年经教育部批准成立的全国高等教育自学考试指导委员会数学专业委员会的三个正副主任，使除了有我读研究生前论文全国最多的浙大王斯雷的书外-我也有浙大二号人物即这董光昌教授独撰1988年出版的《非线性二阶偏微分方程》。

第6-2：这里第6的泛函分析特别是索伯列夫空间在偏微分方程中的应用 （偏微分方程等在很多数学领域都有应用或说是解决其问题的重要工具如在计算数学，此外，我在1999年邀请来我们海南琼州大学做讲座的我们世界知名的组合数学大师刘彦佩教授的这里的《组合泛函方程》的第5、6、7章就分别是差分函数方程、常微分方程、偏微分方程，其后是介子方程）

除了上面这几本适合研究生不同程度的世界著名用书外，适合高年级用的著名书籍也很多，如苏联的世界著名数学家Ivan Petrovsky伊凡.彼得罗夫斯基[1951年-1973年长期担任莫斯科大学校长，并如周恩来总理也曾和彼得罗夫斯基校长交谈]独撰的1956年译为中文版的《偏微分方程讲义》（似乎以前中国编写的几乎所有偏微分方程教学用书参考书都是以这书为主的苏联模式的内容及体裁组织框架为蓝本-几乎是大同小异-也如《1917-57年的苏联偏微分方程》的内容就是椭圆型双曲型抛物型方程这3方面-所以差异主要在体裁组织框架，国内我比较喜欢北京大学姜礼尚教授和陈亚浙教授1986年出版的《数学物理方程讲义》获国家教委一等奖-它和上面莫斯科大学校长的书也许是大学生用书比上面的简单我以前已看了--听说它后来1996年出第二版时添加2作者：在第一版已有付出的该北京大学数学系主任刘西垣教授和我的母校华南师大易法槐教授--易是浙江大学博士而母校丁时进院长是他的博士却这“一等奖”都不邀请合写-是有趣的事。刚见国际数学家大会将颁发以其命名的拉德任斯卡娅奖(Ladyzhenskaya Medal)以及谷歌纪念的 Ladyzhenskaya就是这莫大校长的女博士-并此女人的博士L.D. Faddeev法捷耶夫是苏联至今唯一担任国际数学联盟主席的并虽MGP有这Petrovsky校长和其女博士Ladyzhenskaya的介绍而没有他Faddeev法捷耶夫的介绍-应是误认不够格但“外媒:俄科学巨匠法捷耶夫逝世 系全球数学物理学奠基人”-并他写了“规范场”纤维丛--总之,杨振宁大师对这数学的不谋而合感到震惊和迷惑；关于这校长-2个数学泰斗:A. N. Kolmogorov就写文章纪念这校长和P. S. Aleksandrov等写文章纪念他，这P. S. Aleksandrov校长的博士中也有下面要说的“反问题与不适定问题”主要开创人A. N. Tikhonov (A. N.吉洪诺夫)并我国50年代出吉洪诺夫的中文《数学物理方程》上下册。1993年获沃尔夫奖的来自前苏联的Mikhael Gromov独著的《Partial Differential Relations》；大师中的大师Arnold Sommerfeld独著的《Partial Differential Equations In Physics物理学中的偏微分方程》能看看更好。

上面柯朗的博士Fritz John的《Partial Differential Equations偏微分方程》也被各国广泛使用（它都引用海南琼州大学的杂志编委Paul Garabedian院士，Hörmander，柯朗和希尔伯特的书）

偏微分方程与序多数学领域相关的应用专题：数值解法（这常属于偏微分方程的定解问题，但若很难求得这些定解问题的解析解，人们就转向求解它们的数值近似解即主要是在计算机上对偏微分方程的近似求解，这类就属于计算数学范畴）：

③，我们海南琼州大学推进的Varga大师的《矩阵迭代分析》，以及他的博士高徒的《实用迭代法》这2本80年代以前就被中文等多国语言翻译的称得世界名著就都主要是为使迭代分析或迭代方法用于处理偏微分方程。

④，关于这里倒数第2段的非线性发展方程、演化方程或进化方程。参看李大潜院士1989年出版的《非线性发展方程》和其后郭柏灵院士1995年出版《非线性演化方程》（发展方程也叫演化方程或进化方程，它是包含时间变数t的许多重要的数学物理偏微分方程的统称），还有一个紧密相关的领域是如这里倒数第2段见谷超豪,郭柏灵,李翊神,曹策问,田畴,屠规彰,胡和生,郭本瑜,葛墨林合作1990年出版的《孤立子理论与应用》前言说“孤立子是一大类非线性偏微分方程的许多居有特殊性质的解，以及与之相应的物理现象”，就如郭柏灵院士和庞小峰1987年出版的《孤立子》一书序言说“一大批非线性进化方程都存在孤立子，…”。

⑤-1，有限元法：海南琼州大学推广其开拓基奠的这里最后Richard S Varga大师其博士-中科院外籍院士Philippe G. Ciarlet的《有限元素法的数值分析》；我也有与诺奖得主高锟等创立香港工程科学院并在诺奖得主高锟之后担任院长的读了3个博士学位的香港大学常务校长代理校长张佑启院士的《结构分析的有限条法》和《有限单元法实用导论》此书由另一组人译为《实用有限单元分析导论》并合写世界上第一本有限元方法的著作《The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics》和有这书合作者Zienkiewicz的2本80年代译为中文的有限元方法书（我也读这诺贝尔奖获得者高锟教授《光纤系统：工艺 设计与应用》。关于他俩为第2、3届院长的香港工程科学院-象2010年才当选院士的华云生的博士生李国杰早就已是中国计算机学会唯一名誉理事长）；关于有限元法正如崔俊芝院士翻译的W. G. Strang和G. J. Fix合著的《有限元法分析》的序言和正文第一段都说“有限元法是Rayleigh-Ritz-Galerkin方法的推广”。而‘Rayleigh-Ritz-Galerkin方法是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法，由上面英国第一个物理诺贝尔奖得主并当上英国皇家学会会长兼剑桥大学校长的Rayleigh（瑞利）于1877年的他的《声学理论》一书中首先采用’。这《有限元法分析》作者W. G. Strang有许多课程视频可参考；复旦大学的298页的《有限元素法选讲》；清华大学就有龙驭球院士的《有限元法概论》、王勖成教授的《有限单元法》、蒋孝煜教授的《有限元法基础》等；此外，我国有限元法开拓者冯康院士以及张建中、张绮霞、杨自强、曹维潞等合编的《数值计算方法》最后章是“有限元方法”；应隆安教授的《有限元方法讲义》；复旦大学数学系1975年的《微分方程及其数值解》最后章是“有限元素法”（这书虽写得简练但内容还是较多的--第1-6章是常微分方程的、第7-11章是偏常微分方程的）。林群院士的《高效有限元构造与分析》以及李荣华、冯果忱同年修订出版的《微分方程数值解法》第二、三章都是“有限元法”-并第四、五、六章是下面“有限差分法”。我国计算数学事业的主要奠基人和开拓者冯康院士主编国防工业出版社1978年出版的《数值计算方法》最后章是有限元方法并它的前2章是偏微分方程初值问题数值解法和边值问题数值解法。

⑤-2，有限差分法，下面略述之，也参考这里苏联科学院院长的书的绪言只指出的3本书之首-George E. Forsythe和Wolfgang R. Wasow合写的《偏微分方程的有限差分方法》等等。

⑤-3，多重网格法和区域分解算法：可参考吕涛、石济民、林振宝合撰的《区域分解算法--偏微分方程数值解新技术》科学出版社1992年出版等这些领域专著（主持银河-I、银河-II巨型计算机应用软件的研制与开发的李晓梅教授等的同是1992年出版的786页著作《并行算法》等很多并行计算书籍也给予一定篇幅讲有限元法、有限差分法、多重网格法和区域分解算法等数值解法，也就是这些方法或稍作改进就是很适合于并行计算的方法）

当然上面这些领域多是互相交叉渗透，不过上面这些领域书籍很少涉及复偏微分方程，而我以前也因好奇北京大学在偏微分竟然怎么远不如上面有几个院士的复旦也即和复旦比可说默默无闻-但总感到应并非如此就买北大人的《线性与非线性椭圆型复方程》等，他们主要跟着L. Bers、И.Н.BeKya、A. V. Bitsadze、H. G. W. Begehr以及L. Nirenberg等做（当然，复分析不少领域也涉及偏微分方程如此就也可归属这学科）。

特别还有：大气海洋动力学等方面的偏微分方程建模和处理。任何物质的运动都受到一定的自然规律的制约，我们常见的一些数学物理方程，它们作为描述物质运动的数学模型，是从数量形式上刻画了相应的这些物理定律所确定的某些量之间的制约关系。与建立数学物理方程关系最密切的物理定律大致可以归结为两大类：守恒律和变分原理。其中质量守恒、动量守恒和能量守恒是自然界一切运动都必须遵循的基本规律。对于自然界的某一个特定问题，如果把相应的守恒律数量化，就导出刻画这个问题的微分方程，因此，从这个意义上说，微分方程实质上就是自然界守恒律的数量形式。数学物理的三个最基本的方程-波动方程、位势方程和热传导方程就由守恒律数量化而得出的

关于方程的导出部分，数学家的导出模型总是较理想化或说抽象化而舍弃或理想化很多物理实际背景。那为了更接近实际，这里我就暂不用数学家的导出，而是借用对“波音767飞机的成功设计”做出重大贡献的Paul Garabedian院士的书中的阐述，以更感性体会其波动方程的导出：

空气由大量分子组成，与一般气体相同，每摩尔（Mole，即克分子量，如过去所称）所占体积在标准温度（0°C）和压强（0.76m汞柱）下为22.4´10^-3m³，共有分子数为阿伏加德罗常数6.02´10²³，大约是每毫升（cm³）27´10¹⁸个，非常庞大。但分子很小，直径大约是10^-10m，分子间距离为其10倍，而且分子以很大速度（接近声速340ms^-1）做随机运动，在运动中互相碰撞。所以根本不可能跟踪每个分子的运动。提到空气中的运动，或质点运动，不是谈个别分子的运动，而是指若干分子的平均运动。声学中讲质点就是讲这个“集体”。“质点”尺寸比分子间距离大得多（高几个数量级），但是比实验室中遇到的物体又小得多（低几个数量级）。每个“质点”包括大量分子，在分子无规运动中，有进有出，基本可以看作没有变化的，静止的。这是物理中的点（有尺度）而不是数学中的点（尺度为零），但在数学处理中可以当作数学中的点。而整个气体则看成连续流体，和水一样，忽略分子中的空当。质点就是连续流体中的一个点，静止，在受力时可以移动。质点运动和流体运动制约于物质守恒定律和牛顿运动定律，这也是海洋动力学的基础。如此下面先列举几个基于它们的海洋动力学的方程做为开头以窥其在这领域的应用，其后，再说一些其它相关方程和它们的某些主要解法等

大气学家国家最高科学技术奖获得者叶笃正和中国科协副主席曾庆存院士以及丑纪范、苏纪兰、文圣常、巢纪平、袁业立、陈联寿、冯士筰、丁一汇、方国洪、穆穆、徐祥德等资深准资深院士对海流/气流等动力学状态结构等的研究主要是通过相关微分方程而做为探求实际现象的他们更要重在研究其数值解问题(我前面提及的全部海洋大气院士的著作和某些相关论文我以前都读过且读得很苦不过科学荒芜的以前感到值得苦读-他们的著作都还在我身边)还有许多象出身于承继重普查等的胡敦欣院士也不断转化方法论-胡的导师毛汉礼院士独立翻译的《动力海洋学》准大部头著作我就曾经一直爱不释手（我们都知道别小看各类方程，以至各个方程，其学问大着呢!）:

波浪场的一维Boussinesq控制方程（当然，不只偏微分方程，其它好几个数学学科对海洋动力学也需要起促进的关键作用，如参看Andrew Majda最近2003年出版的《Introduction to PDEs and waves for the atmosphere and ocean大气海洋中的偏微分方程组与波动学引论》）

z_t +(du)_x=0

u_t+uu_x+gzx+h²u_xxt/6-(1/2+B)h(hu)_xxt-Bgh(hz_xxx+2h_xz_xx+h_xxz_x)=0

式中的B=1/21，h是水深

3个色散项也称Boussinesq项

u_xxt=(uⁿ⁺¹_i+1-2uⁿ⁺¹_i+uⁿ⁺¹_i-1)- (uⁿ_i+1-2uⁿ_i+uⁿ_i-1)/(Dx)²Dt，(hu)_xxt，z_xx

近岸风浪SWAN模型

模型的自变量为相对角频率s和波向q，它用二维动谱密度N(s,q)来描述随机波浪场。动谱密度N(s,q)和能谱密度E(s,q)的关系为

N(s,q)=E(s,q)/s

波浪引起的应力t_w可表示为：

t_w=r _wò^2p₀ò^¥₀sBE(s,q)k^-/kdsdq

其中，平均波数k^-定义为(E^-1_wtò^2p₀ò^¥₀sBE(s,q)/Ökdsdq)^-2

二维潮流场数学模型控制方程

连续方程

¶z/¶t+¶[(h+z)u]/¶x+¶[(h+z)v]/¶y=0

抛物型缓坡控制方程

2icc_gA_x+2k(k-k₀)cc_gA+i(kcc_g)_xA+(cc_gA_y)_y-k(cc_g)K|A|²A=0

C和c_g分别是波相速度和波群速度，k是波数

双曲型缓坡控制方程

l₁¶h/¶t+l₂h¶P/¶x+¶Q/¶y=SS

l₃¶P/¶t+l₄P+c²_g¶h/¶x=0

l₃¶Q/¶t+l₄Q+c²_g¶h/¶y =0

其中，P和Q是波浪水质点沿水深垂向积分的速度函数

SS是入射波源项。

椭圆型缓坡控制方程

基本控制方程

F(x,y,z,t)=Re[f(x,y,z)e^iwt]

w是圆频率，t是时间

拉普拉斯方程

¶²f/¶x²+¶²f/¶x²+¶²f/¶x²=0

动量方程

¶u/¶t+u¶u/¶x+v¶v/¶y-fv=-g¶z/¶x-guÖ(u²+v²)/(c²h+c²z)+A_tt(¶²u/¶x²+¶²u/¶y²)

¶v/¶t+u¶v/¶x+v¶v/¶y+fv=-g¶z/¶y-gvÖ(u²+v²⁺)/(c²h+c²z)+A_tt(¶²v/¶x²+¶²v/¶y²)

其中，t是时间，x,y是与静止海面重合的直角坐标系坐标，u,v分别是沿方向的流速分量，h是海底到静止海面的距离，z是自静止海面向上起算的海面起伏，f是柯氏参数，g是重力加速度，A_tt是水平涡动粘性系数，c是谢才系数，

泥沙场二维潮流、悬沙的基本方程可表述为如下形式：

连续方程

¶z/¶t+¶[(h+z)u]/¶x+¶[(h+z)v]/¶y=0

动量方程

¶u/¶t+u¶u/¶x+v¶v/¶y-fv+g¶z/¶x-(t^a_x-t^b_x)/( r _wh+r _wz)=e_x(¶²u/¶x²+¶²u/¶y²)

¶v/¶t+u¶v/¶x+v¶v/¶y-fu+g¶z/¶y-(t^a_y-t^b_y)/( r _wh+r _wz)=e_y(¶²v/¶x²+¶²v/¶y²)

先考虑一维声波，质点振动和声波传播在同一方向，取为x方向。在与其垂直的方向，y方向和z方向，质点运动相同。这就是平面波，波阵面（位相相同的质点面）是平面。声波的基础是流体动力方程。

连续性方程：

这根据质量守恒定律。如图1.2所示（小立方体，可看该书），在空间一个小体积dxdydz中的一个平衡关系。质点在x方向运动，每秒钟由左边表面流入的气体质量为rudydz，在右边表面流入的气体质量为[ru+(¶(ru)/¶x)dx]dydz。小体积内气体质量的增加如有(¶r/¶t)dxdydz。平衡关系应为 (¶r/¶t)dxdydz=rudydz-[ru+(¶(ru)/¶x)dx]dydz

或 ¶r/¶t+¶(ru)/¶x=0   这就是连续性方程

运动方程：

运动方程即牛顿第二定律，力等于质量乘加速度。仍考虑小体积dxdydz。左边表面上受力为pdydz，右边表面受力为[p+(¶p/¶x)dx]dydz，二力相抵，体积dxdydz内气体所受净力则是向右-(¶p/¶x)dxdydz。这应该等于体积内的气体动量增加率，即

r(¶u/¶t)dxdydz=-(¶p/¶x)dxdydz

把u的微商写成全微商，即动量的增加率除了与u在一定点上的增加率成比例外，由于u也随x改变，在经过单位距离所有的u的增加（¶u/¶x）乘以u也是动量增加率的一部分，因此上式写成

r(¶u/¶t+u¶u/¶x)+ ¶p/¶x=0

这就是运动方程，用直角坐标表达是欧拉最初使用的，所以称为欧拉动量方程，或连同连续性方程一起称为欧拉流体动力方程。但有三个未知量，r，u，p，两个方程式还不足以求解，还需要第三个方程。

物态方程（这第三个方程是根据气体的热力学性质而求得的，具体导出过程在此略去）：

p/P₀=(r¢/r₀)^g

式中P₀和r₀为空气的静态（或平均）的压强和密度。小写的p和r为二者的变化部分，声压和密度增量。g为比热比，其与分子结构有关，对于空气或其它双原子分子g=1.4。

在欧拉坐标系中，声波的上面三个基本方程

¶r/¶t+¶(ru)/¶x=0

r(¶u/¶t+u¶u/¶x)+¶p/¶x=0

p/P₀=(r¢/r₀)^g

都包含二阶项，所以声波基本是非线性的。现先考虑线性关系，即在这三个方程略去二阶项，得

¶r/¶t+r₀¶u/¶x=0                       ………（I）

r₀¶u/¶t+¶p/¶x=0                       ………（II）

r¢c₀²=p， c₀²=gr₀/P₀             ……… （III）

在（I）和（II）间消去u，并利用（III）就得到波动方程

¶²p/¶x²-(1/ c₀²)¶²p/¶t²=0

一个系统中，熵的增加与热量增加成正比，

dS=dQ/T

绝热过程dQ=0，也可称等熵过程，dS=0或

dS/dt=0

用全微熵，S不因任何运动而改变。全微熵可写做

¶S/¶t+vÑS=0

欧拉质量守恒方程是

¶r/¶t+vÑr=0

二式结合，可得熵的连续性方程是

¶rS/¶t+ Ñ×·(rS v)=0

可以证明，在流动（或波动）中，任何能量损失（如黏滞性，热传导等）都要使系统的熵增加。在热机学中，熵的应用更多。在所有过程中，熵不能减少，

dS/dt³0

这是热力学第二定律--关于它和熵可参考这里的阐述及其某些应用。[气体的内能增加等于内能增加和对气体所做的功（增加的动能），dE=dQ-PdV/T，这是热力学第一定律。对气体加压力时P时，其体积要缩小，所以这一项用负号，体积V减小，一定质量M的气体，其体积与密度成反比，rV =M。岁以上面的内能式子也可写成dE=dQ+(P/r²)dr ]，热力学第一、二定律都普遍适用于一切热力学系统。）

下面补充构成偏微分方程主体框架的三个基本方程为备忘录。

1、波动方程—就是形如 ¶²u/¶t²=a∆_xu(t,x)+ f(t,x) 的方程，u(t,x)是时间变量ÎR¹及空间变量x=(x₁, x₂, …,x_n) ÎRⁿ两个变量的函数。拉普拉斯算子∆_x =¶²/¶x₁²+¶²/¶x₂²+…+¶²/¶x_n²因的下标x是强调，它仅仅作用于空间变量。

这个方程刻画了对不同的物理过程的许多最简单的模型在弹性介质中的振动的传播。波动方程是线性双曲型方程的典型代表。对波动方程来说，最重要的概念是特征线，最基本的估计是能量不等式

我们称常微分方程初值问题 dx/dt=a, x(0)=c的解x=x(t, c)=at+c为方程的特征线。用特征线解一阶偏微分方程的方法可分为下列三步：1、求特征线x=x(t, c)，2、沿特征线将原方程化为关于r=r (x(t, c), t)的常微分方程（其中c是参数），并求出r= u(t, c)；3、从特征线方程解出c=j(x,t)，则所求的解为r=u(t, j(x,t)).

初值问题（一维情形）

1.1、问题的简化

在上半空间R´[0,¥)上考虑波动方程的初值问题：

ÿu=¶²u/¶t²-a²¶²u/¶x²=f(t,x),  u(x, 0)=j(x), u_t(x, 0)=y(x)            ………(1.1).

由于定解问题(1)是线性的，因此可以把它一分为三，使得在每一个定解问题中，方程和两个初始条件中只一个是非齐次的。（略）。又线性叠加原理，易见初值问题（1.1）的解u可表示为u=u₁+ u₂+ u₃。为了解出分出的三个方程（略），我们指出这三个方程中其中的第二个定解问题是基本的，其它两个定解问题的解可以通过它的界表出，我们将这件事实表达为如下定理。

定理1.1 设u₂=M_y(x,t)是其中第二个定解问题的解，则另两个定解问题的解u₁、u₃可分别表为u₁=(¶/¶t)M_y(x,t),  u₃=ò₀^tM_fr(x, t-r)dr,  其中f_r=f(x, r)， 并假定M_y(x,t)和M_fr(x, t-r)分别在区域{ xÎR, 0£t<¥}和{ xÎR, 0£r £t<¥}上对变量x、t和r充分光滑。（证明略）

1.2、解的表达式

根据上一节的讨论，为了求解波动方程的初值问题（1.1），我们只须解一个特殊的初值问题（即上面第二个方程），即ÿu=¶²u/¶t²-a²¶²u/¶x²=0 (-¥<x<¥, t>0),  u(x, 0)=0(-¥<x<¥),  u_t(x, 0)=y(x) (-¥<x<¥)………(1.2).

我们求得u(x,t)= ¶/¶t[(1/2a) ò_x-at ^x+atj(x)dx_f]+ (1/2a) ò_x-at^x+aty (x)dx_f]+ ò₀^t [(1/2a) ò_x-a(t-r)^x+a(t-r)f (x,,r)dx_f]dr=(1/2)[ j(x+at)+y (x-at)]+(1/2a) ò_x-at ^x+aty (x)dx_f]+(1/2a)ò₀^tdrò_x-a(t-r)^x+a(t-r)f (x,,r)dx_f. ………(1.3).

当f º0，上述表达式称为D’Alembert公式。

定理1.2 若jÎC²(-¥<x<¥)，yÎC¹(-¥<x<¥)及f ÎC¹(Q^-)，这里Q={(x,t)| -¥<x<¥, t>0}, 则由表达式（1.3）给出的函数u属于C²(Q^-)，而且是定解问题（1.2）的解。

1.3、依赖区间、决定区间和影响区间（略）

1.4、能量不等式

设(x₀,t₀)为上半平面内任一点，通过这点向下作两条特征线x= x₀±a(t₀-t), 这两条特征线与x轴围成的三角形区域称为以(x₀,t₀)点为顶点的特征锥，记为K。我们建立下面的估计-能量不等式

定理1.3 （能量不等式） 设uΠC¹(Q^-)∩C²(Q)是定解问题（1.1）的解，则有估计

（I）ò_Wr[u_t²(x, r)+a²u_x²(x, r)]dx£M[ò_W0[y²+a²u_x²(x, r)]dx +òò_Krf²(x, t) dx_fdt ],  （II） òò_Kr[u_t²(x, r)+a²u_x²(x, r)]dx_fdt£M[ò_W0[y²+a²u_x²(x, r)]dx +òò_Krf²(x, t) dx_fdt ]，其中0£r £ t₀，K_r=K∩{0£t £ r}, W_r=K∩{t=r}=( x₀-a(t₀-r), x₀+a(t₀-r)), M=e^t0

1.5、半无解问题

在区间Q^-={0£x<¥，0£ t<¥}求解定解问题：ÿu= f(x, t), (0<x<¥, 0£ t<¥), u|_t=0=j(x), (0£x<¥), u_t|_t=0=y (x), (0£x<¥), u|_x=0=g(x), (0< t). ………(1.4).

g(x) º0的情形

当x³at时，u(x,t)= (1/2)[ j(x-at)+ j (x+at)]+(1/2a) ò_x-at ^x+aty (x)dx_f+(1/2a)ò₀^tdrò_x-a(t-r)^x+a(t-r)f (x,,r)dx_f. ………(1.5).

当x<at时，u(x,t)= (1/2)[ j(at-x) -j (x+at)]+(1/2a) ò_x-at ^x+aty (x)dx_f. ………(1.6).

定理1.4 若jÎC²[0, ¥)，yÎC¹[0, ¥)及f ÎC¹(Q^-)，且适合相容性条件 j(0)=0, y(0)=g¢ (0)=0，a²y²(0)+ f(0,0 )=0，那么半无界问题（1.4）必有解u(x,t)ÎC²(Q^-)，且由表达式（1.5）、（1.6）给出。

g(x) ≢0的情形（略）

初值问题（高维情形）

N=3的情考虑三维波动方程的Cauchy问题

ÿu=¶²u/¶t²-a²(¶²u/¶x₁²+¶²u/¶x₂²+¶²u/¶x₃²)=f(t,x), R³´(0, ¥), u|_t=0=j(x), (xÎR³), u_t|_t=0=y (x), (xÎR³) ………(1.7).

问题（1.7）的解是u(x,t)= ¶/¶t[1/(4pa²t)òò_Sat(x) j(y)dS+ 1/(4pa²t)òò_Sat(x) y (y)dS+ ò₀^t 1/(4pa²t-r) [òò_Sa(t-r)(x) f (y,,r) dS ]dr. ………(1.8).

N=2的情考虑二维波动方程的Cauchy问题

ÿu=¶²u/¶t²-a²(¶²u/¶x₁²+¶²u/¶x₂²)=f(t,x), R²´(0, ¥), u|_t=0=j(x), (xÎR²), u_t|_t=0=y (x), (xÎR²) ………(1.9).

二维问题的解u(x₁, x₂,t)总可以看成高一维空间(x₁, x₂ x₃,,t)中函数u^-(x₁, x₂ x₃,,t)= u(x₁, x₂,t)，但它的自变量与x₃无关，因此满足三维方程。

这就可以把u^-(x₁, x₂ x₃,,t)表示成

u^-(x₁, x₂ x₃,,t)= 1/(2pa) ¶/¶t[òò_åat(x)j