可下面是既做数论也做组合数学的一些极具代表性专家及相关杂谈(人要活得好-靠钱、国家要当世界老大-靠钱,而比特币就是最易暴富的钱!并它能大行其道就是基于绝对安全可靠-这就主要靠下面要说的密码学):

 北京大学1958级369个数学系本科生中8个考上1964研究生之一的杨照华教授(导师是闵嗣鹤和华罗庚)我读研究生时给我和讲授包含合数论解析代数数论的业师(杨老师读研究生后相继是中科院中科大华南师范大教师-如他在中科大任教时在中国最权威的科学通报》等发表论文--其后调来我的母校还和师兄元院士等合作论文,数论对密码学的推动也如杨老师研究的看似极简单却是世界极难的数论问题的论文就被密码学研究引用。不过,我的多个业师中还是3个讲组合、图论、设计专业方面的印象深刻,但他的师兄陈景润院士当时是中国最有名科学家或说数论特受推崇,如此对数论也有某些特别印象--数论书不疑首推和他的当编委阿大校长的学生Wright合写的《论导引,琼大师爷的《数论导引》--国内的是华罗庚大师的同名书,哈代也是密顿图大师狄拉克导师Rado的导师(这哈密顿图大师的父亲可是这里说给理论物理界最高殊荣-也在这里见其书是居于爱因斯坦的相对论、鲍林的化学键等之前的20世纪第一著作)。当时我们组合数学是广东省重点扶持学科--那时还没有全国重点学科评选--所以研究室其他导师给我们开的其它许多课也各有其趣--还有如知道1961分配到当时冶金工业部直属管理的现内蒙古科技大学任教陆家羲已把组合数学成果寄到中科院求发表-并其后又再经过20废寝忘食夜以继日的全身心奋发拚搏才得到世界前五名大学-多伦多大学校长说“陆家羲是闻名西方的从事组合数学理论的数学家-并成为国家自然科学一等奖独立获得者的陆家羲吧?知道这国家自然科学一等奖到2012才授予包括钱学森、李四光等大师的共32项且多数又被中科院夺抢走-即大学没几个专家得到-而要知道点击这里见若不逝世陆家羲也是做为广东省重点学科的中国第一个组合数学研究室的我和程波的导师之一-当时研究室只有我和程波2个研究生-享受的各方面国际级资源还是充足到有些过意不去的。上面说的我的3年同座程波教授现是广东外语外贸大学金融学院7个学术委员会之一并看下面他们的介绍见不仅是该学院最早获得博士的而且仍是该院迄今唯一的国外博士程波去这大学也许与他妻子是学英语的是这所与北京外国语大学、上海外国语大学同是教育部直属的3所外语大学教师有关吧--前些年该校理工仍薄弱他肯定仍有些水土不服).

和海南琼州大学同担任世界四大出版社这杂志副主编的哈佛大学颜松远教授就是世界级组合数论密码学专家,他也是北京市教委聘任的近千个北京特聘教授的第一名及许多省特聘教授。数论组合的作用也如(使他在广州市1500个海外人才排第一名、创办山东颜松远信息公司2014江苏创办松林信息安全公司、江苏盐城唯一临海城市-大丰创业2013江苏省苏州市创业江苏镇江市创业洽谈会浙江富阳创业也是居于正会长前面的江西省海外交流协会顾问、福建组织的海外人才走进福建自贸区、也在河南焦作创业安微铜陵市创业等等等);数论在密码学的作用也如清华大学新晋院士王小云的专著《公钥密码学的数学基础》的第1到第6章都讲数论、第10章密码数学也主要讲数论;更在下面最后3小段仅举3个小例就能直接看到数论组合惊人的震撼威力 (从我的另一业师曹汝成教授的论文也知我们学科也做编码密码学。曹老师是大学毕业后与和中国密码学会第一、二届理事长合写密码编码应用教材的1970年大学毕业的郭华光成为1978年文革后第一届以教师的身份在中山大学研修的-从全国只收20那应是大学毕业并可造就的-他的同学许龙飞1969年北京大学数学系毕业并也和他同是中山大学这约20也做数据安全-当然我的同学也有来自北京大学的状元-所以这些因看到就说一下只关心的是记得一次上他的课时他亲手把原书名叫《有限型动态规划》的书给我要我好好读-可其几乎全用高度复杂的嘉量处理使得这书不仅与读研3年多开设的全部正课都无直接关系-也与高度评价海南琼大的林大师的动态规划专著很不同且这书有765页厚-并这书说前第六章、第九、十章的部分已用过讲授给全国前6名大学华中科技大学研究生-而这12章书的后几章更具挑战性-当然真正的挑战意义来自这书主要是基于将离散多阶段决策的动态规划以解决连续动态系统的最优控制问题的现代控制理论主要奠基人Richard E. Bellman和哈佛Dreyfus的工作和名著思想同脉-这奠基人Bellman1962年曾在Journal of the ACM发表哈密顿图的论文-以及Dreyfus的导师和师兄何院士的《应用最优控制》说“在许多情况下需要更加系统化方法-动态规划,这构成469页本书的19316”“本书为控制理论2学期教材1963-69年在哈佛大学及MIT研究生使用--如此使我在要做其它很多课题压力之下对这书的收获有点特别。此外在期刊网可见我的另一业师周教授是广东省数学界除了1981年已是普林斯顿大学访问学者的王则柯外的第2个在中国当时最权威的《科学通报》发表论文的-也应用于密码-周老师就体谅得多了并我和他到上海南京参加学术会时-他请当时中国运筹学会15个常务理事之一出来我们3人讨论某些问题[此君在运筹学的某领域是最具国际开拓性的先驱-他更有380岁以上的院士学生并文革前他独立翻译Rothe5本数学书全都由人民教育出版社出版]。还有一些授课业师也很有启迪,当然更不用说做为我国这学科开创人之一的导师钟集教授和南方日报及这里等说在20岁的1965年大学毕业并文革后第一届报考毛泽东主席多次咨询的延安自然科学院院长也是邓小平主任的中央顾问委员会副主任于光远的几百个考生中只有他一人考上于的研究生的柳柏濂教授-羊城晚报》的“春风终于催开了一朵迟放的花”一文当时也说“在这百里挑一的考试中,他被录取了,而落选的几百考生中,很多人也考出好成绩--我入学时就正适时碰上柳老师刚在美国顶级大学几年做访问教授合作归来-并他已在这里前几段说到的图谱组合论是包括他的美国合作导师的全世界3个做得最好成果最丰硕的专家-要知以前很不易使许多院士的成果也不算太多-所以别以为我这小儿科的也出来说-因也算我入学2个月就见他在全校几千个教师中获得全校历史上唯一一个特等奖--隔年又获得3一届的全国18项一等奖之一(数学应侥幸仅有这一项)…关键是小儿科地方没有机会复杂争权(如哈佛丘成桐说中国数学会会长张恭庆,不仅把小舅子文兰弄成了院士,还隔代指定文兰为接班人)因此小儿科地方没有其它来争夺可专心搞科研-如文兰当选院士时有11篇论文-在美国数学评论见张恭庆院士的论文也不多?确实数学并不需要特别好的科研实验条件-关键是做如此我们亲身经历导师日夜除了做科研还是科研那时的院士也既不多并大多数年龄偏大-部分院士的研究生课大多又都是别人代上课,所以小儿科地方也还是有它的许多好处的)。关于组合数论在编码密码学的作用,更可从下面国际权威专家及其工作窥之:

我的导师柳柏濂教授就在权威杂志发表关于钥匙编码的组合计数--兼评《一个组合数学问题及其在钥匙编码问题的应用》”、“钥匙周期编码计数等等,他并也指导编码密码学研究生论文如可辨性父码的新进展或看可辨性父码的新进展或看旧版--作者在最后说让我见识了数学家的风采--全国也没多少数学教授专家受得起“数学家”称谓的-但导师各方面的国际性使他当仁不,等等

更有哈密顿图方面的这里最后的大连一个大学校区的学术委员会主席李明楚教授就主持“连通因子理论及其在网络和公开钥密码学中的应用”和“面向反恐安全博弈的连通因子理论与应用2个“连通因子理论”国家自然科学基金项目(图因子大家都知道-连通因子一般就是指哈密顿图也如最近中国密码学学会理事长冯登国和李红达教授等的这篇论文的第3节标题是:3 HCHamilton Cycles哈密顿圈)问题的常数轮知识的零知识证明”,除了国内权威还有:

美国数学兴起的唯一开疆建大厦宗师-海南琼州大学导师的导师的导师Eliakim Hastings Moore 也是数论组合宗师(要知的是:如足以与哈佛大学耶鲁大学媲美的美国大学的校长说“美国数学的兴起”在于这Moore培养的几个学生;另一美国最顶级数学史院士说“许多人Eliakim Hastings Moore是「主要的驱动力,最後将美国从数学荒原转变成数学领域的领导者”)      

海南琼州大学导师的导师的师兄兼副导师Leonard Eugene Dickson(被称为美国第一代本土数学家、美国数学的先驱者。上面华罗庚大师的《数论导引》全部40余篇参考文献中就有这师爷的2本书;上面哈代Wright的《数论导引》50余篇参考文献中更有他的3本书,并说加星号的是初等的,其余书对打算深入研究该问题可能是有用的,那Dickson2本没星号的“数论”和下面MacMahon的《组合数学分析》仍是哈代的所有参考文献中3最早的英文版书,足见其宗师地位。再如被华罗庚大师的上面《数论导引》和下面椭圆曲线密码发明者N.Koblitz的《数论与密码学教程》都引用的书只有这海南琼大师爷的2本和1本。这Koblitz的书还引用Kenneth H. Rosen1984年出版的数论书-可惜华罗庚的书更早出版-否则是否也引用--Kenneth H. Rosen还写了非常著名的组合数学书《离散数学及其应用》)

《美国数学杂志》的创始人James Joseph Sylvester(以他的名命的Sylvester的第一个获得者就是“对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人亨利·庞加莱”)

Axel Thue(他似乎只有一个博士Thoralf Albert Skolem-此君最著名的博士就是哈密顿图宗师Øystein OreOre的书被上面哈代的引用), 

和海南琼州大学合作最多并当时已多次回国给我们做多个系列报告的赖虹建院长的导师哈密顿图及欧拉图世界大师Paul Allen Catlin

来信高度评价海南琼州大学的工作并寄来他的很多珍贵资料的Katona主席及其导师Alfréd Rényi    

著名数论图论组合专家Jacobus Hendricus van Lint1992撰写的合数学教程》就由评价海南州大学是国内外一流水平的刘振宏大师翻译

和古代毕达哥拉斯等是全世界人类历史上十大数学天才的现代组合数论先驱Paul Erdős       

Basil Gordon(他的导师的《解析数论》很不错。而他的学生是被和海南琼州大学合作多篇论文的Ron Gould系主任兼全校学术主席聘去该系的美国数学会副主席Ken Ono并最近担任南开大学校长陈永川院士主编的《组合数学年刊》编委);

爱因斯坦的博士Ernst Gabor Straus(他的博士也多搞组合数论,如和多次在欧洲和美国数学评论杂志高度评价海南琼州大学论文的Ralph Faudree校长同获2006年欧拉奖的Aviezri Fraenkel介绍做组合博弈论并合写这本《组合数论》);

George Pólya乔治·波利亚(他的博士有爱因斯坦的长子Hans Einstein汉斯·爱因斯坦

数论和组合数学的结合就如纽约州的科尔盖特大学校网上的electronic journal of combinatorial number theory,以及2009首届全国组合数论会议在南京师范大学召开,以及一些组合数论名著:

第一本首推:组合数学和数论先驱Paul Erdős和美国科学院副院长Ronald Graham的《Old and New Problems and Results in Combinatorial Number Theory》;

沃尔夫奖获得者Harry Furstenberg(他1981年写这本遍历理论组合数论

GeroldingerImre Ruzsa合写的组合数论专著(Imre Ruzsa介绍说专长是数论并最近2006年在国际数学家大会做组合数学报告。此君在国际数学奥林匹克竟赛的19701971年连续2届都满分,1969年得第4-比他高的3人是乌克兰的诺贝尔奖获得者Vladimir Drinfeld德林费尔德),再说以下组合数论专家:

Eugène Charles Catalan

美国数学会主席George Eyre Andrews院士及整数分拆(他的书被上面哈代的修改版引用-此时哈代已逝世,他的博士Francis G. Garvan); 

Bartel L.范德瓦尔登(我们常知他写了有名的代数学书-但科研成就上看维基的Bartel L. van der Waerden最后的Categories栏见只说他是一个学科专家-就是Combinatorialists组合数学家,当然在Contributions栏见他也做数论、组合数学等。他既是成果著作卓著的大师也是一个培养出很多名家的名师,因我是运筹学与控制论研究生如此我读研时就有的包含在一些课中的他的1963年毕业的博士Peter Kall的运筹学研究生科研人员用书《随机线性规划》到现在我身边仍存) 

通信先驱Solomon W. Golomb就做组合与数论;

Harold Mead Stark(他和Terras合作研究图论的zeta-function 象全球第一个获得世界数学三大奖FieldsWolfAbel大满冠的Jean-Pierre Serre suggested in his book Trees that Ihara's original definition can be reinterpreted - graph-theoretically(图论)Stark的书被上面哈代的修改版引用-此时哈代已逝世);

Percy Alexander MacMahon(他的《组合数学分析》被上面哈代的数引用);

·            非常著名的一个女数学家Vera T. Sós(她有2个著名博士:László BabaiKatalin Vesztergombi-国际联盟主席的妻子 

·            Pál Turán(前一女数学家的丈夫,一直久不久就制造些名作的László Babai是他们夫妻两人共同的博士,如最近《自然》杂志对他的工作的报道也可看搜狐等。华罗庚大师的上面《数论导引》引用Turán的书);

·            法国2个著名院士Philippe FlajoletBernard Frénicle de Bessy

Richard Kenneth Guy的数论中未解决的问题

John Horton ConwayConway生命游戏是细胞自动机的代表,越来越被认同为另一种计算机:解开人工智能奥秘的新钥匙,最近《终极智能》作者Amir Husain在这里前面都是铺垫-3Conway创造的《生命游戏》才是主体典范

Ben Joseph Green

Adolph Winkler Goodman   

David Anthony Klarner(写《数学加德纳》);

Melvyn Nathanson(介绍他主要的工作是做组合数论

Martin Kneser Kneser graphs的色数和哈密顿性是应讨论的,如国际数学联盟主席、匈牙利科学院院长László Lovász就研究色数Lovász可在参加1963-1966国际数学奥林匹克竟赛的1次就是该国最高分2次都是满分);   

George Barry PurdyPaul Erdős的博士);

Victor Saul Miller(下面说我在很久以前的读研究生时就已有他的名著《数论与密码学教程》N.Koblitz教授和他是椭圆曲线密码发明者(国际危机与应急管理学会联合主席陈安认为是中国数学老大的上面王元和吴文俊领导的数学特别(天元)基金1989年成立-1990年就支持专款购买出版Springer出版的这本《数论与密码学教程》研究生教材-足见受重视--当然也或因上面王院院士不仅是数论大师也是中国密码学会名誉理事长,王元院士的介绍见最多当3个杂志编委-包括图论与组合》杂志编委),下面密钥管理见几乎就只提到这2椭圆曲线密码发明者和下面最先5个诺贝尔奖获得者。关于研究生时,上面教授是中国著名组合数学图论权威-1957年湖北省高考全省状元毛教授的本科授课指导毕业的学生并推荐来跟我的导师读研究生、马云入读时的2004年长江商学院副校长-1981年湖北省理科状元黄明也是毛教授的学生,我的同学还有北京大学状元等-可见竟争力量还是较强的--好在象这里说在第一次历时长久筹备的最正式最隆重的1991年第一届全校研究生大会上我做为数学学院评选出的唯一报告在报告中途是唯一得到全场几千校领导中大华工等研究生会代表和全校研究生起立鼓掌--也就是此时在组合图论数集论等多个领域解决了国外内权威大师们不能解决的许多问题而已居世界领先或先进

László Rédei(做竟赛图的哈密顿路)。 

网上可见构造Cartesian认证码实际上属于组合设计问题,是密码学理论研究中十分活跃的分支(象中国密码学会首届理事长裴定一教授做代数数论、组合数学研究认证码等并只介绍他一本专著《认证码和组合设计),而看这里可知我读研究生时的中国组合设计第一大师就是我的导师钟集教授(这中国密码学会2届正副理事长共6:是这裴定一、下面冯登国和何大可、上面王小云、这里评注海南工作的杨义先和这里说2008.11--中国工业与应用数学学会理事的徐茂智-虽海南琼大2004年已是理事但这只说明这学会还可以而已

再介绍一些重要工作及其开拓者:图灵奖获得者Ronald Rivest,如维基网说Rivest frequently collaborates with other researchers in combinatorics ; for example working with David A. Klarner to find an upper bound on the number of polyominoes (即David A. Klarner是数论组合数学专家),获奖主要是因他 Adi Shamir及用哈密顿路算法突破DNA计算机的 Len Adleman1978年一篇论文的工作-主要是提出一个公钥密码-即人们常称的RSA公钥密码,而他仨都获得诺贝尔奖。而这RSA公钥密码与数论的整数的因子分解密切相关。如此,自从RSA公钥密码问世后,大大刺激数论的整数因子分解计算方法的研究,利用很多高深的数论组合理论知识,结合计算机的应用,提出了不少新的因子分解算法。

还有Taher El GamalElgamal算法,其加密算法是在一个通信系统中,选取一个大素数p,模p的原根a,一个正整数a (<p-1),然后计算b=aa(mod p)。将p,a,b公开,a是要保密的,不能让系统之外的人知道,令A欲将信息m秘密发送给B(我们这里假定0£m<p,否则,需要利用一个杂凑函数H,用m的杂凑值H(m)代替m,而H(m)适合0<H(m)<pA任选一正整数k(<p-1),然后计算y1= ak(mod p)y2=mbk(mod p)A(y1, y2)发送给BB收到(y1, y2)后,由于他知道a,于是计算y2(y1a)-1ºmbk ×a-akºm(mod p),可以解密得到m)。数字签名算法:令A欲将信息m秘密发送给B,但现在a仅有A知道。A随机选取正整数k(<p-1),且kp-1互素。A计算g=ak(mod p),并由k×d+agºm(mod p-1),解出dº(m- ag)k-1(mod p-1))A(m,g,d)发送给B,这里(g,d)就是A对信息m的数字签名。B在收到(m,g,d)后,检验bg gdºm(mod p)是否成立,若该式成立,B认为这是A签名后发来的信息,否则B拒收。因为当是A签名后发来的信息时,一定有bg gdº aag×akdº aag×am-agº am(mod p)

这不仅看到RSA公钥密码和Elgamal加密算法、数字签名算法与数论的整数因子分解密切相关,而且这里广东省省长的马兴瑞曾陪同的中央办公厅机要局副局长冯登国教授独立翻译的密码学原理与实践》最后第五、六、七共3章就是几乎全讲解RSA密码体制和Elgamal算法的相关知识占全书第131页到265页,超过全书一半,足见重要和在密码学中的分量。要知中央机要局副局长冯登国教授在译者序说“要掌握好一门课,必须选择一两本好书。我认为本书是非常值得精读的一本好书,这也是我花费大量时间翻译本书的初衷”(更要知冯登国期刊网论文被引超百次的20篇超5百次的5篇有超千次的-数量引用都超下面沈昌祥院士一档次、上面王小云院士的论文更不到他的1/10,他的导师们“一肖二王”肖国镇、王育民、王新梅也仅有23篇刚过百次--当然数量被引仅是一指标)。何大可教授、彭代渊教授、唐小虎教授、何明星院长这4个国内密码学顶级权威合作的《现代密码学》也给予它们差不多类似重要的位置。不过,他们的第一篇参考文献倒是下面的DiffieHellman的(第一作者何大可教授的博士生成为中国2个“世界顶尖青年创新家”之一,后3个作者都已成为博士导师并他们的博士导师也同是该校领衔国际首个5G高移动无线通信白皮书原副校长范平志-一个大学就有如此多密码学权威人才。而我们海南琼大曾福庚教授也在成都另一排名更高的大学获得密码学博士,还有排名更高的用数论的幂剩余函数处理密码学问题的四川大学书记兼校长的卢铁诚并也写《信息加密技术》,这看到成都市这3个大学出的密码学人才就如此多如此厉害

即,其实El Gamal的师兄Martin Hellman院士和其博士Whitfield Diffie最近就一同获得计算机诺贝尔奖图灵奖,而其实其获奖主要成果就不输上面-即他们1976年的论文引发公钥密码技术新时代的到来即如以AB表示通信双方,设为p一个大素数,gp模的原根,pg是公开的参数。 A选取整数0<a<p,将ga(mod p)传输给BB选取整数0<b<p,将传输给gb(mod p)传输给AA计算(gb)aºgab(mod p)B计算(ga)bºgab(mod p)gab(mod p)就是AB约定使用的密码。可见这是基于数论的问题。他俩也做组合数学问题。当然,上面《数论与密码学教程》作者N.Koblitz教授的椭圆曲线加密也可构造Diffie-Hellman密码交换算法、Elgamal加密算法和Elgamal数字签名算法等-而它们也实际上是将我们熟悉的数论等加密运算移植到椭圆曲线上。还有一些加密体制也有趣如图灵奖获得者Rabin公钥加密体制和签名体制的密钥生成算法:随机选取2个大素数pq,并且pº3 (mod 4) qº3 (mod 4)。将pq作为私钥,n(=pq)作公钥;加密算法:设明文m(m<n),运算公式c=m2 mod n进行加密,c为密文;解密算法。再如2个图灵奖获得者GoldwasserMicaliGoldwasser-Micali加密体制的密钥生成:随机选定2个大素数pq,计算n=pq。随机选定一个正整数t满足:L(t, p)=L(t, q)=-1,这里L(. , .)表示Legendre符号,即t是模pq非二次剩余。(n, t)是公钥,pq私钥;加密算法:设有待加密的二进制表示的明文m=m1m2mt对每个明文比特mi随机选择整数xi1£ xi£n-1,计算Ctºtxi2(mod n), (mi=1) xi2(mod n), (mi=0),最后输出密文C=(c1,c2,cs);解密算法…这足见数论很有趣(我国的情况虽难象上面在以前萌芽期的可掀起理论方法等上的世界性浪潮-但也已创造一些对国计民生起作用的国产密码并部分被某些国际标准组织接纳为标准、或处候选、学习期等:可参看我国信息安全首席大师沈昌祥院士近期的“基于国产密码体系的可信计算体系框架-包括国产的SM1SCB2)、SM2SM3SM4SM7SM9祖冲之密码算法(ZUC)算法系列。在百度的密钥管理”看到几乎就只说到上面最先5个诺贝尔奖得主、El Gamal和我很久以前就已有他的名著《数论与密码学教程》的N.Koblitz教授和上面Miller-但在他们之前最先说的是AESAdvanced Encryption Standard):高级加密标准,是下一代的加密算法标准,速度快,安全级别高; 200010月,NIST(美国国家标准和技术协会)宣布通过从15种侯选算法中选出的一项新的密匙加密标准。Rijndael被选中成为将来的AESRijndael是在 1999 年下半年,由研究员Joan Daemen Vincent Rijmen 创建的。AES 正日益成为加密各种形式的电子数据的实际标准而多磊在他的这篇第四章是有向图论的博士论文的致谢说他的一篇论文得到这Rijmen花一个多月对十余个版本修改-并看到多磊才发表23年的论文中被他引百余次有2篇、2百多次的1…。正如关于大不列颠皇家学院副院长Bishop院士做序的《改变未来的九大算法》第一章 前言;第二章 搜索引擎索引;第三章 Pagerank;第四章 公钥加密;第五章 纠错码;第六章 图形识别;第七章数据压缩;第八章 数据库;第九章 数字签名;第十章 什么可以计算】--就要知“图论的一点知识就解决了它的第二章搜索引擎的大问题”这还与解决第三章Pagerank密切相关,第五章虽主要是用于数字通信但也与第四章公钥加密第九章数字签名即密码学有关,第八章数据库见这里3个分支流派全都和海南琼州大学有密切关系,其余三章也与图论组合等有关,这书更得到科学、自然等杂志以及特别是看到诺贝尔奖获得者现代个人计算机之父Chuck Thacker的高度肯定

 

一些可参考的相关资料如图论密码学、离散密码学通信码学、网络无线S数据加密传输以及某些信息密码通信先驱和著作