这页简述组合数学2个重要学科领域-组合交换代数(Combinatorial commutative algebra)几何组合学(Geometric Combinatorics)及其相关问题

这两个密切相关学科的主要参考书可看我们学科组合数学的世界领袖人物之一Richard P. Stanley 院士1983年出版的《Combinatorics and commutative algebra以及最近美国数学会副主席Bernd Sturmfels和他的博士Ezra Miller合写的《Combinatorial commutative algebra》以及Geometric Combinatorics

即前者基于英国皇家学会主席M·F·阿蒂亚I·G·麦克唐纳院士1969年的《交换代数引论》等结合组合数学理论发展起来(对组合数学的人读完这本书应该不会花太多时间,这阿蒂亚是整个20世纪即1900年以来唯一担任英国皇家学会主席的数学家,在全球另一重要科学院-美国科学院至今还没有数学家担任它的主席),我有阿蒂亚主席这书的1982年的中文翻译-当然如此大师值得读其英文版(1970对此书的评论)。也可看Melvin Hochster院士1975年的“Cohen–Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes”等等。

还可参考Oscar ZariskiPierre Samuel更早Commutative algebra交换代数》(其一重要作用如上说代数几何是将抽象代数特别是交换代数,几何结合起来的学科-那怎么结合呢--Zariski的博士Hartshorne在下面《代数几何》中说我采用交换代数作为代数几何的基本语言和逻辑基础,它的益处是精确”--第一章最后才说代数几何是研究代数簇的学问”--而下面要说的数论也起重要推动作用,我有一些著名的代数几何的书,我早就购买这Oscar Zariski奥斯卡·扎里斯基撰写代数曲面》英文版。当然,交换代数也是我们组合交换代数的基础另一方面,几何也是我们Geometric Combinatorics几何组合学的有机细胞--其著作可看上面Ezra Miller, Bernd Sturmfels和上面Richard P. Stanley院士的博士Victor Reiner合编的几何组合学Oscar Zariski不仅数学大师还是很好的导师如他的博士2人获得数学诺贝尔奖-Fields:广中平佑-Heisuke Hironaka和也曾担任国际数学联盟主席的大卫·曼福德David Mumford,另一个博士Michael Artin获沃尔夫奖, Michael Artin迈克尔·阿廷的父亲大数学家Emil Artin埃米尔·阿廷的主要工作就是交换代数并撰写Geometric Algebra几何代数 Oscar Zariski主要从事的这代数几何领域的大师级别的数学家还有很多-如华人Wei-Liang Chow周炜良也占有一席之地,还有André WeilJean-Pierre Serre28岁就获诺贝尔奖),以及Emil Artin的学生John TateKunihiko KodairaFriedrich HirzebruchJohn Milnor(维基第一段说他是第4个三个奖都获得的人并也做它及组合论)Daniel QuillenGerd Faltings特别是数神Alexander Grothendieck和他的博士Pierre Deligne,还刚在网上见后者Deligne的徒孙Peter Scholze31岁就获数学诺贝尔奖-而国际奥数战胜这Peter Scholze柳智宇却出家--要知2006年竟赛中柳智宇的满分42比这史上第2年轻的诺贝尔奖得主Scholze35之差距在42分制中算是较大的-当然这主要说明竟赛-而与科研的直接关系现仍有较多不同议论-且也主要说明那次竟赛-如超常虽少有但失手常有。(总之,这里维基第一段说至今对三个最重要的奖Fields奖、 Wolf奖和Abel奖都获得的数学家一共有4并有2Jean-Pierre SerrePierre Deligne是代数几何学家,John Milnor也兼做一些,可见这学科在数学之地位-至少以前很热闹,其实,获这3个奖确实算大师级,但象有好几个大家级的上面Emil Artin以及André Weil神级Alexander Grothendieck才是真没人敢和这学科抢位子-至少在那个时期也如至今只在我国举办一届的国际数学家大会-这大会最重要的事项是颁发数学诺贝尔奖--江泽民主席为他们颁奖--2人获奖即洛朗·拉佛阁(Laurent Lafforgue)和弗拉基米尔·沃沃斯基(Vladimir Voevodsky)并他俩都是只做代数几何

我也早就购买以前国内过分宣传的李克正说的他读研用书-Hartshorne的上面《代数几何》(即李克正说他的导师Arthur Ogus从第一章开始,一章一章往下讲--它的各章依次是:代数簇、概型、上同调、曲线、曲面共五章这样写是该书说法国学派用概型和上同调语言重新叙述代数几何基础令人印象深刻-如此它俩构成本书的技术核心,用以研究代数曲线和曲面的经典理论中的课题。这作者Hartshorne我在哈佛和伯克利教过这些材料,我用五个学期教过这些内容,基本上一个学期讲一章);也有人工智能专家朱松纯的导师国际数学联盟主席大卫·曼福德David Mumford1975年的英文版《代数几何I复射影簇》刚见朱松纯的女儿朱易以总分167.69分创下全美花滑锦标赛新人组女单最高分,领先第二名35分拿下金牌-虽是新人组-但已回国也成为晨路计划国家集训队的唯一一位女单选手看来条件背景最好的华人顶级人工智能专家拚了一生可能都不如年仅15岁女儿的国际性名望)Mumford和其日本学生Tadao Oda最近也合写的《代数几何II》后半部分写上同调及其应用(关于这大师的类似特性,克莱因在比较魏尔斯特拉斯与黎曼时说:"黎曼具有非凡的直观能力,他的理解天才胜过所有时代的数学家。魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学,他缓慢的、系统地逐步前进)

关于代数几何,还可参考一些相关书籍Igor R. Shafarevich撰写的Basic Algebraic Geometry 1以及Basic Algebraic Geometry 2编写Algebraic Geometry I: Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and SchemesAlgebriac Geometry II: Cohomology of Algebraic Varities. Algebraic Surfaces》以及《Algebraic geometry III : Complex algebraic varieties, algebraic curves and their Jacobians(见他刚逝世并2003)

沃尔夫奖获得者、普林斯顿高等研究院院长Phillip Griffiths和他的哈佛博士Joseph Harris合撰的Principles of Algebraic GeometryPhillip Griffiths撰写的Introduction To Algebraic Curves

袁隆平先生之前获中国诺贝尔奖的80许晨阳-导师János Kollár的书Rational Curves on Algebraic VarietiesKollár是美国2院院士但没获得过太大的国际大奖这样的数学家不少,刚获邵逸夫奖这或是国人奉许晨阳使他导师被更重视,才胜出获奖吧)

上面英国皇家学会主席M·F·阿蒂亚的博士Frances Kirwan撰写的Complex Algebraic Curves  Oscar Zariski的徒孙也即广中平佑的博士Audun Holme撰写的A Royal Road to Algebraic Geometry

Oscar Zariski的徒孙也即Michael Artin的博士美国科罗拉多州立大学校长Rick Miranda撰写的Algebraic Curves and Riemann Surfaces(Rick Miranda应该是科罗拉多州立大学主校区校长)

美国2院院士William Fulton撰写的Algebraic Curves John Tate的博士Vijaya K. Murty撰写的Algebraic Curves and Cryptography Anthony W. Knapp撰写的Elliptic Curves椭圆曲线》  

Neal Koblitz的《Introduction to elliptic curves and modular forms他在前言只用2段感谢人,一段专门只感谢一人即海南琼大使中国出版世界最强的该国最重要数学书的这里第2个编委A. T. Fomenko)并提出使中国最受益的区块链成为可能的椭圆曲线密码学

Emil Artin的徒孙也即John Tate的博士Joseph H. Silverman撰写的The Arithmetic of Elliptic Curves椭圆曲线的算术理论》象这美国研究生数学书籍全集269中只有2本椭圆曲线书籍,就是列在第106的这本和第111的下面海南琼大编委的师弟的书)

1南琼州大学杂志的编委世界最著名的应用科学大师Garabedian, Paul的下一位师弟Husemoller, Dale(也即被称为数学诺贝尔奖的Fields奖的世界第一个得主的博士Dale Husemoller)撰写的Elliptic curves椭圆曲线》椭圆曲线的理论不仅是Andrew Wiles证明世界三大猜想之费马猜想的主要工具,还支撑着近年来全球最火爆的区块链和比特币,即如网上神化的比特币最大的支撑是什么,是数学。一开始支持比特币的人,是信仰数学的人。在他们眼中,人是不可相信的,而数学就是上帝--详论见比特币:此物一出天下反--而具体支撑它的数学正是椭圆曲线,这也如刚见在清华北大等兼任教授的美籍陆晨总裁所说:比特币和区块链原来就是数学,更确切地说就是代数几何中的椭圆曲线,其火爆程度更就如刚见习近平主席组织中共中央政治局集体学习区块链,上升为国家战略视频)!而数学起主要支撑作用是因为区块链,它本质上是一个去中心化的数据库,同时作为比特币等等的底层技术,是一串使用密码学方法相关联产生的数据块-这是简练的说法(这正与大多科学论文说的“去中心化、不可篡改、可追溯、多方共同维护的分布式数据库的基本架构和运行机制是等同的)就如普斯大的书说如图所示,通过哈希指针构建一个链表,我们将这个数据结构称为区块链数字签名和哈希函数一起,奠定加密货币的基础比特币等用的数字签名方案叫作椭圆曲线数字签名算法--也可参考我的导师柳柏濂教授发表许多密码学关键论文和指导的一些密码编码学研究生论文现在,不仅比特币7年价格翻100万倍,7年前投1万如今可坐拥100亿而且,基于区块链的另几款虚拟货币也已是全球最火爆的-全球最火的还有以太坊,全球最火的比特币现金,全球最火的瑞波币,全球最火的莱特币,全球最火的恒星币…当然-投资就要考虑风险--1万元如今可坐拥100亿元那是指7年前的投资.    

也可看和我们海南琼州大学一起担任世界4大出版社杂志编委的哈佛大学颜松远教授撰写的椭圆曲线或可看我也购买的中科大常务校长冯克勤教授采用我们学科图论工具,将局部域上的资料表示成有向图形式,给出椭圆曲线的专著《非同余数和秩零椭圆曲线》也还因椭圆曲线上的点全体构成一个加法群等,所以,椭圆曲线不仅是代数几何的一类很重要研究对象因其存在加法结构,就包含了很多重要的数论信息也应参考这页的中下部分说和我们海南琼州大学一同担任世界领先学术出版社的杂志编委的1990年教育部挑选的包括清华北大校长192个中青年学者中排名全国第一(下面浙大的校长杨卫排第19)的工作等等,其中也提到普林斯顿Neal I. Koblitz和哈佛Victor S. Miller1985年独立地提出的椭圆曲线密码学等,而关于上一段普斯大的书说“比特币等用的数字签名方案叫作椭圆曲线数字签名算法,这是因目前被认为安全、实用、有效的公钥密码体系有三类基于大整数分解问题的RSA型公钥密码、基于有限域上离散对数问题的ElGamal型公钥密码和基于椭圆曲线离散对数问题的椭圆曲线公钥密码。而椭圆曲线上的椭圆曲线离散对数难题没有亚指数时间的攻击算法可前二者却存在,也即椭圆曲线密码相对的安全性高于前两者就是基于椭圆曲线离散对数问题的难解性,如此在诸如区块链及智能卡等这样的领域行业,上面美籍陆晨教授对椭圆曲线密码的惊呼就有了依据--要知陆晨也已回国任香港大学特聘教授/清华大学和澳大利亚大学客座教授/轩鸿集团首席投资官,高级副总裁(轩鸿集团成立于2006,资产100亿元)/平安磐海资本首席风险官/普华永道(香港)公司总监等等这领域我国早期博文是1992年担任西北工业大学(部长)校长的戴冠中教授2003年指导出的博士论文基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码及其算法研究,不过这博士李学俊仍是教授更有我国最早3椭圆曲线密码体制论文之一作者张引-1999年已在部长级的潘云鹤指导下获得博士,但现在也仍是教授我国最早3篇中另一椭圆曲线密码体制的作者2006年加拿大博士后樊海宁也是要是他们在我们海南琼州大学应该当上正高/正教授吧…因我校2009年之前的博士不少都已正高--我国博士大量超出美国泛滥成灾是2005年左右起的--且我看到潘云鹤部长的这1999年的博士仅中文就有51论文(上面中共中央政治局集体讲解区块链的陈纯院士-就在这浙江大学毕业并仅比其早9!)--这应不仅可以当正高…不过在海南琼州大学什么可能如副教授甚至…(海南省是在可衡量比较的成果成就客观的科学上不仅能骗抢夺而且颠倒更胜土匪为之[土匪立足成功还靠坦荡的义气而博士超过美国了仍表吐里吞]--那其它行业就更不用说了)不过你可以震惊但不要气馁,必竟还可学其人之道只需学无耻抢争以看出骗抢贪就行