本页主要介绍微分动力系统(先修课程主要有。在百度动力系统可说庞加莱的一些研究工作为动力系统起到萌芽作用,而海南琼州大学师爷叔Birkhoff1912年起的若干年里,奠基扩展了动力系统):

近些年来,微分动力系统已成为应用广泛的极其热门的世界前沿学科,不仅极为重要而且某些领域也艰难,如文兰院士从事的微分动力系统理论问题的研究,是属于世界数学前沿的高难课题,其难就如点击美国数学评论(在Author写“Wen, Lan”后在Year输入年就可查这年的论文,它也收录多数国内专业杂志的的论文,国内的也可见中国期刊网)见他论文很少,即见到中国数学会理事长北京大学文兰院士1999年当选中科院院士前的论文一共是下面11(这应是他当选院士的全部论文,因数学论文只发在杂志-发在会议只当做副本,可见之难。所以,就象范理事长说不同领域是不能比较的,即这和这里已有一千多年历史的哈密顿图差不多):

Wen, Lan; Xia, Zhihong. A basic $C^1$ perturbation theorem. J. Differential Equations 154 (1999), no. 2, 267--283. MR1691073

Wen, Lan. On the $C^1$ stability conjecture for flows. J. Differential Equations 129 (1996), no. 2, 334--357. MR1404387

Li, Cheng Zhi; Wen, Lan. ${\scr X}^*$ plus Axiom A does not imply no-cycle. J. Differential Equations 119 (1995), no. 2, 395--400. MR1340544 

Wen, Lan. Combined two stabilities imply Axiom A for vector fields. Bull. Austral. Math. Soc. 48 (1993), no. 1, 23--30.MR1227431 

Wen, Lan. The $C^1$ closing lemma for endomorphisms with finitely many singularities. Proc. Amer. Math. Soc. 114 (1992), no. 1, 217--223. MR1087474 

Wen, Lan. Anosov endomorphisms on branched surfaces. J. Complexity 8 (1992), no. 3, 239--264. MR1187417

Wen, Lan. The $C^1$ closing lemma for nonsingular endomorphisms.Ergodic Theory Dynam. Systems 11 (1991), no. 2, 393--412.MR1116648 

Wen, Lan. The $C^1$ closing lemma for nonsingular endomorphisms.Progr. Natur. Sci. (English Ed.) 1 (1991), no. 6, 556--558.MR1167997

Wen, Lan. The $C^1$ closing lemma of $2$-dimensional nonsingular endormorphisms. Chinese mathematics into the 21st century (Tianjin, 1988), 155--170, Peking Univ. Press, Beijing, 1991.MR1226671

Wen, Lan. ANOSOV ENDOMORPHISMS ON BRANCHED SURFACES. Thesis (Ph.D.)–Northwestern University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI,1986. 53 pp. MR2635203 

Wen, Lan. A closing lemma for differentiable mappings of the circle. (Chinese) Beijing Daxue Xuebao (北京大学学报中文版)1982, no. 2, 13--22.MR0671294 

可参考《Combinatorics and dynamical systems组合数学动力系统》等;获得2004年全国优秀博士学位论文提名奖的博士论文《非线性动力学系统不稳定不变集和激变研究》正是以集合论和图论理论为基础,提出了进行非线性动力系统全局分析的广义胞映射图论方法

一、动力系统初步

动力系统就是抽象的“流”,点的流动就形成了“轨道”.动力系统经典的例子是常微分方程(或者说向量场)给出的点随时间沿解曲线的流动.为简单起见我们假定每条解曲线都定义在整个时间轴(一∞,∞)上,从而点流动起来不必担心“出界”,最特殊的轨道由一个点组成,即向量场的“奇点!,也就是“流”的不动点,比如常见的汇点、源点、鞍点.如果附近的点以指数速度趋近或远离,则称之为“双曲”奇点。还有比较特殊的就是周期轨道. 如果附近的点以指数速度趋近或远离,则称之为“双曲”周期轨道.奇点和周期轨道是最简单且最重要的轨道。

每一个学科发展的背后都有许多故事.动力系统也是这样,上世纪60年代初Peixoto19621963Topology杂志讨论2维的结构稳定常微系统,并证明一个关键定理,这个定理说:在可定向闭曲面上,一个向量场为结构稳定当且仅当它是简单的(这里“简单”是指只有有限个奇点和周期轨道,每个是双曲的;每个点正向或负向都趋于一个奇点或一个周期轨道;没有鞍点连线),而且,结构稳定向量场在全体向量场的空间里稠密。

这里,称一个向量场为结构稳定的,如果它“附近”的所有向量场的轨道拓扑结构都与它相同,不论从哪个角度看,结构稳定性都是一个重要的概念.但这个概念比较抽象,涉及“附近”的所有向量场,较难把握.而上述定理提出的判别条件却只涉及一个向量场,而且只涉及很少几条有关奇点和周期轨道的信息,具体直观,这个漂亮的整体性定理立刻吸引了众多数学家的注意,其中就有世界最富有传奇色彩Steven Smale,他后来在一篇回忆文章中记下了下面这个有趣的故事我们海南琼州大学升本科前我和Steven Smale通信有好一段时间有约十封信--得到他热忱表达会给琼州大学的杂志写稿-这是在以前杂志等很少的时代-否则是不应该去占用人家的时间--但后来杂志泛滥得太快使我感到不太珍贵而渐冷淡也不再值得浪费他们宝贵时间和心血,因他之级别如全世界每隔十年或每年都提及1930715,美国数学家史蒂文·斯梅尔(Steven Smale)诞辰 。关于Smale对这学科的奠基性,可参考我国微分动力系统第一人廖山涛院士在《微分动力系统的定性理论》所说廖院士也肯定前面的Peixoto的工作并说他1961年就已投入研究,但他更肯定是Smale推动这学科发展,或 GuckenheimerHolmes的这学科的里程碑性著作Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields前言就根本没有提过Peixoto的名且说Smale1967年的经典论文给出引领这学科的一系列杰出问题从而激发这学科产生大量工作推动这学科向前发展。但Peixoto还是有他的历史地位的,也许是巴西人见他远不如Smale,他既没有名导师他的博士生也不出名,就相对显得冷清一些,听说SmalePeixoto之间有些传奇的故事如对Peixoto不长的12行维基网的介绍中就有3行说Back to Princeton, Peixoto met Steve Smale, the mathematician that would later become a reference in dynamical systems. Smale was interested in Peixoto's work and realized he could extend his own based on it. Their contact intensified and, when Peixoto came back to Brazil, the American mathematician spent six months at the Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada at Rio de Janeiro  

Smale起初猜测Peixoto定理对高维空间也成立,但微分方程专家Levinson写信告诉他这不对,说自己研究过一个3维的常微分方程,有无穷多个周期轨道,而且扰动不掉.Smale半信半疑找出Levinon的文章来仔细揣摩,天天带着一打纸和一支笔,到里约热内卢的海滩上思索,累了就游游泳,他终于确信Levinson是对的.实际上,SmaleLevinson的文章中抽象出了这里陈述的关键机理,即如这里的一个方形,与流线方向横截.在流动中,它渐渐变瘦变长,并弯成马蹄的样子,又转回来,与它自己相交,也可见如图(这里把故事做了点简化).Smale发现,就是这个简单的机理,蕴含了扰动不掉的无穷多个周期轨道,为了更简洁地说明问题,他把这个3维流的问题约化为一个2维映射的问题,即把流“转一圈”的过程记为一个映射fQR2,这样,f的一个不动点就对应于流的一个周期轨道.f的一个2-周期点也对应于流的一个周期轨道,只是“转了两圈”.Smale证明了f有无穷多个周期点,而且扰动不掉.这说明Peixoto定理在高维确实不成立,也就是说,在高维,结构稳定性并不总表现为有限个周期轨道的简单形态,而可能与高度的复杂形态(后来被称为“混沌”)共存.这个重要的发现成为现代动力系统兴起的标志(可参考张景中院士等的关于Smale马蹄的一个简单模型以及他们的Smale马蹄及其Ω稳定性,北京大学张锦炎教授的关子Henon映像中的Smale马蹄最近郭柏灵院士等的离散扰动NLS方程组的Smale马蹄与混沌()——Smale马蹄,以及现为英国拉夫堡大学数学学院院长赵怀忠教授的Hénon映射产生的Smale马蹄).本书第三章将讲到这个“马蹄”映射.

Smale很快发现,这个问题有很深的历史渊源,它与20世纪前期我们海南琼州大学师爷叔Birkhoff的一些工作有关(如丘成桐说Birkhoff在前世纪20年代出版了经典著作《动力系统--可道客下载-文档下载).基于马蹄映射和随后Anosov的重要工作,Smale提出了“双曲集”的概念,并和Palis 一起提出了相当于Peixoto判别条件的高维形式,即对整个学科产生很大影响的“稳定性猜测”,这一猜测引发了包括他们自己和Robinson,廖山涛,Mane在内的许多学者的重要工作,推出了动力系统的一个全盛期,至于稠密性,则情况很不相同.Sma.le以及后来的许多学者发现,在高维,结构稳定系统不稠密.也就是说,在高维系统组成的空间里,存在这样的开集,里面每个系统都不是结构稳定的.BonattiDiaz甚至发现,存在这样的开集,里面每个系统的任意邻近,可以在差一迭代的意义下出现任何系统!世界的奥秘和神奇,就这样被一代一代的探索者们一步步揭开……可参考最近的McMullen映射动力系统与具有旋转域的有理映射的Thurston型定理(它涉及组合数学以及图论的方法和技巧。这Thurston就一直致力于研究3维流形的叶状结构,进而提出几何化猜想,并指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。佩雷尔曼就证明几何化猜想并也获得诺贝尔奖。其实,这2个诺贝尔奖获得者William ThurstonCurtis McMullen的这理论,就是用组合方法来研究叶状结构,进而研究Teichmuller空间理论。关于叶状结构可参考Conlon和其博士的《Foliations I》和《Foliations II》或参看Moerdijk等的《叶状结构与李群胚引论》)


 

    本书讲述上述精彩领域的一个较为基础的部分.为简单起见我们只讨论离散时间的系统,即同胚的迭代.

1.1基本概念

    X为一紧致度量空间,f: XX为一同胚.f生成一族自复合,或称迭代

      f n= ff•…f,   f 0=id,    f -n=( f n) -1

显然,对任意整数nmfnf m= f n+m

称这一族迭代( f n)n=1¥ f生成的动力系统,或简称f为一动力系统.

    对任一xÎX, 称集合 ( f n)n=-¥¥ xf下的轨道,记为Orb(x, f)Orb(x).任二轨道或全同,或不相交,称集合{x, fx, f2x, } {x, f-1x, f-2x, } 分别为x正半轨负半轨,记为Orb+(x)Orb-(x).称x为一周期点,如果存在n1,使得

    fn(x)=x.使该等式成立的最小的正整数n称为x周期,周期为1的周期点即为不动点.易见x为一周期点当且仅当x的轨道由有限个点组成,记f的周期点的集合为P(f),不动点的集合为Fix(f)

    A ÌXf的一个不变集,如果fn(A)=A.任一轨道为不变集,易见, A为不变集当且仅当A为一些(有限个或无穷多个)轨道的并集. P(f)Fix(f)为不变集,空集Æ和全空间X总是不变集.

   定理1.1A为不变集,则余集A-(A)int(A)也是不变集.

 

动力系统注重轨道的极限状态,因而便于研究的是(非空)紧不变集.全空间X总非空且紧致;不动点集Fix(.f)不一定非空,但总紧致;周期点集P(f)不一定非空,也不一定紧致.由此产生了许多复杂的动力现象.


一个点xÎX的正半轨

        x, fx, f2x,

一般说来不收敛(若收敛,其极限必为不动点),但总有许多子序列收敛,称yÎXx的一个w-极限点,如果有正整数的一个子序列ni®+¥使得f-ni(x)®y. x的全体w-极限点的集合为xw-极限集,记为w (x).反转时间则可定义xa-极限集,确切地,称yÎXx的一个a-极限点,如果有正整数的一个子序列ni®+¥使得fni(x)®y. x的全体a-极限点的集合为xa-极限集,记为a(x).显然a(x)=w(x,f-1). 故一般只陈述关于w (x)的结果. x为周期点,

    a(x)=w(x)= Orb(x).

   定理1.2  对任意xÎX, w(x)为非空紧不变集,lim)n=¥d(fn(x),w(x))=0.

 

周期轨道是最简单且最重要的轨道.比周期性放宽一些的,是各种“回归性”的概念,比如称xX为一个正向回复点,如果xw(x).换句话说,x为正向回复的,如果x的正半轨逼近到x自身,类似地,称xX为一负向回复点,如果xa (x).正向回复点和负向回复点统称为回复点.可以证明回复点集一定非空,但不一定闭,更一般地有所谓“非游荡”的概念。称xX为一非游荡点,如果对xX中的任意邻域V,存在n1使得 fn(V)ÇV¹Æ. 换句话说,对xX中的任意邻域V,都有某个轨道穿过V至少两次。非游荡点的集合称为非游荡集,记为W(f),易见W(f)非空紧不变集,包含f的所有的周期点、回复点、w-a-极限点、以及它们的闭包点。

A ÌX为为f-极小集,如果Af的非空紧不变集,但A没有任何真子集是非空紧不变的.一个不动点或一条周期轨道是极小集.

    定理1.3 任一非空紧不变集中必包含一个极小集.

下一定理说明,极小性导致很强的“回归性”.

    定理1.4  A为极小集当且仅当每一xA的轨道在A中稠密.

  定理陈述中的“轨道”可以换成“正半轨”或“负半轨”.

定理1.5 X连通.则f的任意极小集或为全空间X,或在X中无处稠密,

    A=X.若aA0,则aA为,的非空紧不变集,但Af,的极小集,

  DA=A,即AX中无处稠密..  

f的紧不变集A ÌX拓扑传递的,威简称传递的,若存在xÎA,使得w(x)=A.显然一个传递集不能分解为两个互不相交的紧不变集的并.(当然有些不传递的集合也不能分解为两个互不相交的紧不变集的并,例如由两个不动点和“连接”这两个不动点的一条轨道所组成的紧不变集.)

    定理1.6 (Birkhoff)  Af的紧不变集.以下三条件等价:

    (1)  A为传递;

    (2) A的任意两个开子集UV,存在nl,使得fn(U)ÇV¹Æ.

  

    (3) 存在xÎA,其正半轨在A中稠密.

  条件(3)中的“正半轨”可以换成“负半轨”,但不能换成“轨道”,一个简单的反例是由两个不动点和“连接”这两个不动点的一条轨道所组成的紧不变集.

 

     下面虑微分方程组稳定性的一些概念和理论:

z·=dz/dt=g(t,z)                                  (1.1)

描述的动态系统,其中z(t)ÎRn,  g(t,z):J´S® Rn, SÎRn, 若又有

  g(t,z) ÎC(J´S)ÇL-Lix(J´S)                 (1.2)   (g(t,z)在上连续且z具有局部Lipschitz条件; 系指对任何有界闭集MÌ J´S有常数,使k(M),|| g(t,z1)- g(t,z2)||£k(M)||z1-z2||, " (t,z1),(t,z2)ÎM)         

则由微分方程理论可知,对于初值问题

z(t0)=z0, (t0, z0) Î J´S,                            (1.3)

系统(1.1)存在唯一解,记其为z(t; t0, z0), 即它是(1.1)的解,且有z(t0; t0, z0)= z0,

 

定义1, 系统(1.1)的特解z-(t)称为是稳定的,系指:

("e>0)("t0Î J)($d>0)( ("z0|[ z0- z-(t0)]ÎBd)[ z(t; t0, z0)- z-(t) ÎBe]       (1.4)

此外,还有了

     limt®+¥{ z(t; t0, z0)- z-(t)}=0,                      (1.5)

则特解z-(t)就称为是渐近稳定的.

 

定义1, 系统(1.1)的特解z-(t)称为是稳定的,系指:

("e>0)("t0Î J)($d>0)( ("z0|[ z0- z-(t0)]ÎBd)[ z(t; t0, z0)- z-(t) ÎBe]   (:Bd表示半径为d的开球, 本是表闭球,但为简) (1.4)

此外,还有了

     limt®+¥{ z(t; t0, z0)- z-(t)}=0,                      (1.5)

则特解z-(t)就称为是渐近稳定的.

系统的特解的稳定的,是解在有限时间区间上对初值的连续依赖性在无穷时间区间上的扩张.

研究系统(1.1)中任一解z(t)相对z-(t)扰动x(t)=z(t)-z-(t), x(t)是初值问题

{ x·(t)= g(t, z-(t)+x)- g(t, z-(t))= f(t, x)

x(t0)=z(t0) - z-(t0)                                        (1.6) 

的解.容易验证有

1* , f(t, 0 )0, x=0是系统x·(t)= g(t, z-(t)+x)- g(t, z-(t))= f(t, x)的平衡位置.

2**,系统(1.1)的特解z-(t)是稳定或渐进稳定当且仅当系统

x·(t)= g(t, z-(t)+x)- g(t, z-(t))= f(t, x) ,  f(t, 0 )0,           (1.7)

的零解x=0是稳定或渐进稳定.

 

定义2, 系统(1.7)的零解x=0稳定的,系指

("e>0)("t0Î J)($d>0)( "x0ÎBd)("tt0) [ x(t; t0, x0) ÎBe]       (1.8)

相反,若有

($e>0)( $t0Î J)($d>0)( "x0ÎBd)($tt0) [ x(t; t0, x0) ÏBe]       (1.9)

则称系统(1.7)的零解x=0不稳定的,

定理1, 线性系统            

    x·(t)= A(t)x                                              (1.10)     

的零解是稳定或渐进稳定当且仅当其任一特解是稳定或渐进稳定的.

 

定义3, 系统(1.7)的零解x=0一致稳定的,系指

("e>0) ($d>0) ("t0Î J) ("x0ÎBd)("tt0) [ x(t; t0, x0) ÎBe]       (1.12)

 

定理2,系统若是定常的,

      x·(t)= f( x), f(0 )0,                                    (1.13)

  则零解的稳定和一致稳定等价.

 

定义4, 系统(1.7)的零解x=0吸引的,系指

("t0Î J) ($d>0) ("e>0) ($T0) ("x0ÎBd) ("tt0+T) [ x(t; t0, x0) ÎBe]       (1.14)

 

同等吸引的,系指

("t0Î J) ($d>0) ("e>0) ("x0ÎBd)($T0) ("tt0+T) [ x(t; t0, x0) ÎBe]       (1.15)

 

一致吸引的,系指

 ($d>0) ("e>0) ($T0) ("t0Î J) ("x0ÎBd) ("tt0+T) [ x(t; t0, x0) ÎBe]       (1.16)

 

定义5, 系统(1.7)的零解是全局吸引的,系指

("t0Î J) ($d>0) ("e>0) ($T0) ("x0ÎBd) ("tt0+T) [ x(t; t0, x0) ÎBe]      

一致全局吸引的,系指

 ($d>0) ("e>0) ($T0) ("x0ÎBd) ("t0Î J) ("tt0+T) [ x(t; t0, x0) ÎBe]      

 

定义6, 系统(1.7)的零解是渐近稳定的,系指它是稳定的又是吸引的;一致渐近稳定的,系指它是一致稳定又一致吸引的;全局渐近稳定的,系指它是稳定的又是全局吸引的;一致全局渐近稳定的,系指它是一致稳定又是全局一致吸引的.

 

定义7, 系统(1.7)的零解x=0局部按指数渐近稳定的,系指            

($d>0) ($M>0) ($a>0) ("t0Î J) ("x0ÎBd) ("tt0) [|| x(t; t0, x0)||£M|| x0||exp{-a(t- t0)}] .

全局按指数渐近稳定的,系指                                                                 

($M>0) ($a>0) ("t0Î J) ("x0ÎRn) ("tt0) [|| x(t; t0, x0)||£M|| x0||exp{-a(t- t0)}] .

 

1.2  拓扑共轭与结构稳定性

    称两个同胚f: XXgXX彼此拓扑共轭,如果存在一个同胚hxx,使得hf=gh,粗略地说,拓扑共轭的两个同胚fg差一连续的坐标变换.称上述起关联作用的同胚hfg间的一个拓扑共轭,拓扑共轭是X上所有同胚的集合上的一个等价关系.易见hfn=gnh.从而一个拓扑共轭保持轨道,即对任意xXh(Orb(x, f))=Orb(h(x), g).

特别地,一个拓扑共轭保持周期点集、w-极限集、非游荡集,即

h(P( f))=P(g),   h(w(x, f))= w(h(x),g),   h(W(f))=W(g)

    将所有同胚按拓扑共轭分类,一般说来不现实,不过对最简单的空间,这样的分类倒也不难,让我们考虑X为一闭区间[a,b]的情形。一个同胚.f[a,b] [a, b]或者为严格递增且.fa=a,fb=b,或者为严格递减且.fa=bfb=a,在前一情形f,称为保持定向的;在后一情形f称为反转定向的.一个保持定向的同胚和一个反转定向的同胚不可能拓扑共轭,因为不然的话,限制在边界上它们也将拓扑共轭,但限制在边界上,一个有不动点,而另一个没有,下面这个定理是显然的,证明略去.

定理1.7 f为闭区间上一个保向同胚,则

   W(f)=Fix(f)

    下面考虑一种最简单的情形,即除端点外无不动点的保向同胚.一般说来,任一保向同胚f限制在它的不动点集Fix(f)的余集的一个连通分支(的闭包)上,就是这样一个同胚.这时f的图像或者在对角线以上,或者在对角线以下.在前一种情形,除端点外,所有的点在f的作用下向右走;在后一种情形,除端点外,所有的点在f作用下向左走.

定理1.8  [a,b]上任意两个内部无不动点的保向同胚都拓扑共轭.

定理1.8说明,在游荡域上构造拓扑共轭相当随意.换个角度来说,游荡域上的动力形态对“扰动”不十分敏感.

与拓扑共轭的概念紧密联系的是结构稳定性的概念.这是在微分动力系统的框架下讨论的.

M为一紧致无边C¥流形.Diffr(M)M到自身的Cr微分同胚的集合,赋Cr拓扑.这一拓扑可以简单地由局部坐标给出如下.固定M的允许坐标邻域的一个有限覆盖(Ui, fi)i=12,…,N(称一个坐标邻域(U, f)为允许的,如果存在另一个坐标邻域(V,ψ),使得U -ÌV f=ψ|U).称一列Cr微分同胚fnCr意义下收敛到一个Cr微分同胚f,如果对所有lijN,局部表示fjfnfi-1连同其直到r阶偏导数,在使这些局部表示有意义的所有点上,一致收敛到fjffi-1及其对应的偏导数,由此产生DiffrM)上的一个Cr拓扑不难看出,不同有限覆盖产生的Cr拓扑彼此等价.

    fDiffr(M)Cr结构稳定,如果存在f的一个Cr邻域U使得任意gUf拓扑共轭.

换言之,fCr结构稳定的意思是,Cr扰动不改变f的轨道的拓扑结构,显然,如果fCr结构稳定,则为Cr+1结构稳定,因此,C1结构稳定性是最强的结构稳定性.这里不谈C0结构稳定性,是因为C0扰动破坏性太强,以至没有任何系统可以是C0结杓稳定的.比如,用C0扰动,很容易把一个孤立的不动点变成一段区间的不动点,从而摧毁任何结构稳定性.总之,f及其扰动g必须是微分同胚,而不只是同胚.但另一方面,共轭h却必须允许是一般的同胚,而不能局限于微分同胚.这是因为可微共轭限制太严,比如,由于链法则,可微共轭必须保持不动点处的导数值.但用Cr扰动却很容易改变不动点处的导数值,因此,如果限于可微共轭就不能有结构稳定的系统,这样看来,结构稳定性的概念相当有分寸.它局限于“破坏性较轻”的可微扰动,同时允许较强有力的拓扑共轭来做“修复”.

结构稳定系统的刻画问题是上世纪后半叶微分动力系统的中心问题.但对最简单的空间[a,b]这个问题倒不难解答.下面的简单定理就给出了这样一个刻画.注意fDiffl[ab]不止意味着f为同胚且可微,而且意味着f-l可微.(例如f(x)=x3不是微分同胚.)特别地,f¢的绝对值在[a,bl上有正下界.易见若f是微分同胚,则Cl临近fg也是.

    定理1.9 f[a,b] [a,b]为内部无不动点的保向微分同胚对任意r1fCr结构稳定当且仅当,f(a)1f (b)1

    反之,设f'(a)=1f(b)=1.为确定起见设,f(a)=1.任取r1.我们来构造f的一个任意小Cr扰动g,使得g至少有3个不动点,从而f不是Cr结构稳定的.为简单起见,设a=0b=1.固定一个    冲击函数a[01] [01],使得a(x)=1x[01/3]a(x)=0x[2/31]oa(x)1x[01].不失一般性,可设f的图像在对角线上方,对任意e>0,定义

    g(x)=ge(x)=f(x)-ea(x)x

如果e足够小,则g为保向微分同胚,随着e0gf可任意Cr接近.显然x=0x=1g的不动点,因为在x=0附近有g(x)=f(x) -ex,故g 1(0)=f1(0)-E=l-E.因此f的图像在x=0附近被稍稍向下转了一点,再向上穿过对角线,因而gx=0附近还有一个不动点.故g至少有3个不动点.    _

    定理1.9很简单,却很有教益.它说明,与游荡点的情形不同,非游荡点(这里是不动点)对扰动比较敏感,为了经得起扰动,它们需要像f¢(a)l一类的条件,即所谓“双曲性”条件,因此,非游荡集之所以重要,不仅因为它吸收了所有轨道的长期行为,而且因为从扰动观点来看,它更敏感,需要更多的关注,另一个有趣的现象是,对区间微分同胚,由定理1.9,对任意ijCi结构稳定性等价于Cj结构稳定性,这一现象对2维流也成立(Peixoto定理),对高维流则尚未知.

1.3圆周同胚

    Sl为单位圆周,fS1S1为一同胚,称f保持定向,如果f到覆叠空间R上的任何提升为严格递增的,称f反转定向,如果f到覆叠空间R上的任何提升为严格递减的.(后面§3.3中有关于映射提升的一个简单说明.)任意同胚fS1S1或为保持定向,或为反转定向,两个保向同胚的复合仍为保向同胚.两个反向同胚的复合也为保向同胚,一个保向同胚和一个反向同胚的复合为反向同胚.

    这些概念也可通过圆周上的有向区间来描述.任意两点abS1决定两段开区间,即S1-{a,b}的两个连通分支,记(ab)为沿反时针方向(这里借助平面的定向)从ab的那一个开区间,于是另一个开区间表为(ba),因为它沿反时针方向是从ba.注意这里符号(ab)(ba)的用法与直线上不同.那里是指对于直线的不同定向而言的同一区间,而这里是指对于圆周的同一定向而言的不同区间.对任意开区间(a,b)ÌS1, f(a, b)也是开区间,以fafb为端点,故或者f(a, b)=fa, fb),或者f(a, b)= (fbfa)f保持定向当且仅当对任意abS1f(a, b)=(fa, fb),反转定向当且仅当对任意abS1f(a, b)= (fb,fa).

    A Ì S1为一紧集.称S1-A的连通分支为A的余区间,于是A的一个余区间为一个开区间(a,b),满足(ab)ÇA=Æa,bA.命fS1S1为一同胚,下一引理是显然的,证明从略.

    引理1.10对任意紧不变集A Ì S1fA的余区间映为余区间.确切地,对A的任一余区间I,存在A的唯一余区间J,使得f(I)=J.并且,这个对应是余区间集合上的一一对应.

 

定理1.11fS1S1为一保向胚且P(f)Ø.f的所有周期点有相同的周期,且P(f)=Ω(f)

现转向讨论圆周上无周期点的保向同胚。这里其实可以省略“保向”二字,因为反向同胚必有不动点。回顾一下,一个康托集是指一个紧致的、完全的、完全不连通的集。

定理1.12 fS1S1为同胚且P(f)= Ø.则整个非游荡集Ω(f)为一极小集。且Ω(f)或等于全圆周S1,或为一康托集。

 

二、双曲不动点

上一章初步讨论了1维动力系统。高维动力系统有许多新特点。本章讨论高维空间一个双曲不动点的邻域上的局部动力形态,所采用的方法将直接应用到第四章双曲集的讨论。

2.1 双曲线性同构

在本章中,E自始至终表示一个欧氏空间,称E的两个范数|. || |. | |等价,如果存在常数K1,使得对所有vE,

      K-1|v|£||v||£K|v|

K|. || |. | |之间的一个关联常数。下面的定理是经典的。

定理2.1 一个欧氏空间E的所有范数两两等价。

称线性同构A:EE双曲的,如果是E有直和分解

E=EsÅEu,

A下不变:

A(Es)=Es ,   A(Eu)=Eu

并且存在两个常数C³10<l<1,使得

|Anv|£Cln|v|,  "vÎEs, n³0,

|A-nv|£Cln|v|,  "vÎEu, n³0,

这时称EsA压缩子空间EuA扩张子空间。称dimEsA指标

1)由于欧氏空间的所有范数等价,A的双曲性不依赖于范数的选择。

2)压缩子空间Es或扩张子空间Eu可以是{0},这时分别称A为扩张型的或压缩型的,否则称为鞍型的。本课程关于双曲线性同构的结论都包括压缩型或扩张型的情形,一般不另做陈述。

3)若A是双曲线性同型,则A-1也是

4)由于EsA下不变,定义中的不等式所涉及的其实不只是u的正向迭代,而是u的所有迭代。也就是说Eu的情形类似。

 

线性同构A为双曲的一个简单的等价定义是A的所有特征值的模都不等于1.这里给出的定义比较复杂,但适用于更一般的双曲集情形(第四章),因此,本章对双曲线性同构,将按这里的定义进行讨论,以使本章的结果和方法,能够直接移植到第四章去。

 

定理 2.3 A为双曲线性同构,双曲线分解为E=Es+Eu。则存在E的一个范数||.||及一常数0T1.

简略的说,适当选取范数可使双曲性表现为一次到位的压缩和扩张。

  则只需验证0<T<1.但这是显然的,因为al.定理2.3证完. 

  称满足定理2.3的两个一次到位的不等式的范数为一个对A适配的范数.这时称

  

A关于这个适配范数的双曲度.

E的一个范数|.|关于一个直和E=E1+E2为盒型,如果对任一范数|.|,        定义的范数I0关于该直和总是盒型的,称作|.|E1+E2的盒型化.显然,对双曲线性同构A适配的一个范数对该直和的盒型化仍是对A适配的,且双曲度不变.

2.2双曲不动点在扰动下的保持

OcE为开集,fOEC1映射,称f的一个不动点

 pO为双曲的,如果导算子Df(p)EE为双曲线性同构.称

Df (p)的指标为p的指标.

本章的目的是考察一个双曲不动点p附近的动力行为.由反函数定理,fp点附近是到像集的微分同胚.故可取开集U使得pUC紧致,且f:UE是到像集的微分同胚.本章的几个主要定理都是对这样一个三元组fpU,陈述的,并直接以“设PUf

的双曲不动点”开头.

   

本课程将主要考虑C1度量,为满足的到像微分同胚gUE的集合.如通常,记B(pr)为以p为中心的半径为r>0的闭球,

回顾一下,称映射~:EE为李普希茨的,如果存在常数k0

使得

这时称满足此式的最小的常数kØ的李普希茨常数,记为LipØ

   

本课程的主要内容是关于C1扰动的.但许多结果对更为一般的李普希茨扰动也成立,而且处理起来更简单些.在这种情况下,我们将对李普希茨扰动进行证明,将结果陈述为引理,而将Cl扰动的定理作为直按推论陈述在后.下面的经典结果[Ru]提供了二者之间的桥梁.

广义中值定理设BE为凸开集,ØBECl映射,使

得对任意xB|DØ (x) |k.则对任意xyB|Ø (x)- Ø (y) |

k|x - y|

也就是说,在凸开集上,李普希茨常数不超过各点导算子范数的上界,一个直接的推论是.

引理2.4fUECl映射,pU为一点(见图2.3).则

对任意£>0,存在ð>or>0,使得任意夕∈B1(fð)B(p,r)上有Lipg-Df(p) ≤∈.

 

于是结论由广义中值定理直接给出,引理2.4证完.    -

 

  为直和投影.对任意映射~:EE,记

  

  如果A:EE为线性,则进一步记

 

  如果EsEuA下不变,易验证对任意uE

   

为简便,以后用

表示以原点为中心半径为r的闭球,即E(r)=B(0r)

    由引理2.4f及其Cl邻近的gf的一个双曲不动点pEU

附近可以表为 

A+Ø

 的形式,其中A为双曲线性同构,而LipØ小.这将是我们常常使用的表述形式,可以称为双曲线性同构的李普希茨扰动。

    引理2.5AEE为双曲线性同构,在E的一个与其双曲分解Es+Eu适配且盒型的范数|.|下的双曲度为0<T<1.设r0. 如果ØEr)→E为李普希茨,满足

A+ØE(r)中至多有一个不动点.如果进一步满足

A+ØE(r)中至少有一个(从而唯一的)不动点,且

    定理2.6(双曲不动点在扰动下的保持)设pUf的双曲不

动点,则存在  >0  >0,使得任意gBl(f,a0)B(pEo)

有一个不动点.又对任一0<    o存在0<    ,使得任意

中至少有一个(从而唯一的)不动点Pg

简略地说,若g C1逼近f,则PgP.即不动点Pgg连续变化。

 

2.3双曲性在扰动下的保持

这一节证明双曲线性同构附近的线性映射也是双曲线性同构.双曲性的定义,除了压缩性和扩张性之外,首先是可逆性.故此我们首先要回顾经典的反函数定理的线性形式,即可逆线性映射附近的线性映射也可逆.为了更一般的需要,下面给出反函数定理的一种李普希茨形式,即可逆线性映射附近的李普希茨映射也可逆.我们对定义域和值域不是同一空间的一般情形陈述。

(      )(      )是两个维数相同的欧氏空间.称一个同胚

fEEl为李氏同胚,如果ff-l都是李普希茨的,对线性映射

AEE1,称

 

A的小模,如果A可逆,则m(A)= |A-1|-1

 

定理2.7(李普希茨反函数定理)设AEE1为一线性同构,

ØEE1为李普希茨.

 

现在来证明双曲线性同构A附近的线性映射B也是双曲线性同

构.设A的双曲分解为Es + Eu.我们来证明,B也有一个双曲分解

    我们来寻找Gu.(类似地可寻找Gs.)证明的思想从锥来看十分直观.A压缩不稳定锥G1(Eu)的张角,Eu则是逐次压缩的“核”

 

 B也压缩不稳定锥C1(Eu)的张角,故要找的Gu应该是

   特别地,要证明这一交集是一个线性子空间,一个更直接的办法是考虑从EuEs的范数<1的线性映射的图像.一个这样的图像就是E的一个线性子空间,含于锥C1 (Eu)之中.B将一个图像变为另一个图像,我们要找的Gu则是在B下不变的图像,也就是这一“图像

变换”的不动点.B压缩不稳定锥的张角,也就是压缩两个图像间的(角)距离,这就成为压缩映射问题(见图2.71.下面的引理2.9把这一想法实现出来.引理跳过了A而直接对B陈述.

 

    定理2.10A:EE为双曲线性同构.则存在  >0,使得

只要线性映射BEE满足|B -A|<  ,则B也是双曲的,并且,

Es(B)Eu(B)B连续变化. 特别地,Gu Gs={0).因二者维数互补,知E=Gu+G's.这证明B为双曲,且Es(B)=Gs,定理2.10证完。 

    把定理2.6和定理2.10放在一起陈述就是

    定理2.11puf的双曲不动点.则存在      使得任意gB1(     )B(     )中有唯一不动点Pg,且Pg为双曲.又pg以及Es (pg)Eu(Pg)随妒连续变化.

    f的一个周期为m的周期点pu为双曲的,如果导算子

Dfm(p)EE为双曲线性同构,双曲周期点的问题,常常可以转化

为双曲不动点的问题.

2.4 Hartman-Grobman定理

    本节证明Hartman-Grobman定理,即微分同胚f限制在双曲不

动点pE的一个邻域上,与其导算子Df(p)限制在原点的一个邻域

上拓扑共轭.我们先撇开具体的邻域而考虑全空间E.设Co(E)E

到自身的全体连续映射的集合.记

   

Co范数

   

    这是一个Banach空间,下一引理为Hartman- Grobman定理的李普希茨形式.

    引理2.12 (Pugh)AEE为双曲线性同构,在与其适配的一个盒型范数|.|下的双曲度为O<T<1.设Ø      满足

       定理2.13 (Hartman-Grobman)  0Uf的双曲不动点.

  则存在0U中的一个邻域V和一个到像集的同胚hvuf (V) E,使得hof|v=Df(0) oh|v.

    注意h并非严格意义上的拓扑共轭,因为f限制在V上和Df (0)

 限制在hV上都不是自映射从而不是动力系统,

  

定理2.15Wsr的刻画,一般形式)设pU f的双曲线不动点。则存在r0,C1,0  1.

 

定理2.16(双曲不动点的孤立性)设pUf的双曲线不动点。则存在r0使得如果。

现在来证明双曲不动点的局部稳定流形定理,这是本章技术上最 复杂的一个定理,我们将像证明Ha.rtma.n-Grobman定理那样,先撇开具体邻域的选择,在全空间E的框架下就一个适配盒型范数完成证明,写成引理,原来的局部问题将通过一个冲击函数“嵌入”全空间的框架里作为引理的推论,

于是我们考虑A+ ØEE,其中A为一双曲线性同构,Ø

全空间E上定义且Lip Ø小.定义oE的(整体)不稳定流形为

  下一引理说,如果Lip Ø足够小,Wu(0A+ Ø)将是Eu的一个李普希茨拷贝.并且,若ØC1,则WuoA+ Ø)也为C1.

 引理2.17A:EE为双曲线性同构,双曲分解为E=

Eu+Es|. |E的一个与其适配且盒型的范数.则存在   >0,使得

   

则由陈述(1)保证的映射   EuEsC1,且Cl子流形Wu(oA+Ø)在原点的切空间恰为双曲线性同构A+D Ø (0)-1的扩张子空间Gu

   Lip Ø足够小,则A+D Ø (0)(A+D Ø (0))-1都满足引理2.9的条件,从而A+D Ø (0)确为双曲线性同构。

 

定理2.18(双曲不动点的局部稳定流形定理)设fUECk,k1,0Uf的双曲线不动点,双曲分解为E=Es+Eu.则存在r0使得Wsr0f)是E的一个维数为dimEsGk嵌入子流形,在0点与Es相切。确切地,存在0Es中的一个邻域VCk映射。

 

  定理2.182.15常常合在一起陈述,统称双曲不动点的局部稳定流形定理。

本章的最后,我们给出一个判别法【KH】,用以判别一个李普希茨映射在什么情况下可微,以备4 3之用.这个判别法只用到割

线和切线的概念.

 

三、Smale马蹄与Anosov环面同构

    本章介绍两个重要的系统,Smale马蹄和Anosov环面同构,这两个系统的发现引发了现代动力系统的诞生,首先介绍一下符号动力系统.它将提供Sma.le马蹄的一个可计算模型.

3.1符号动力系统

定义两个符号的符号空间∑2

 

定理3.12为康托集

定义左移位映射

 

于是将每一双向序列向左移动一个单位.显然矿为同胚.称(∑2)为一符号动力系统.符号动力系统是动力系统的一个重要分支,这里我们只介绍它的一些最基本的性质.显然的一个不动点即为一常值双向序列,一个周期为k的周期点即为一双向序列,其中的长度为k的段落重复出现.很容易计算的给定周期的周期点的个数.

定理3.2∂的周期点在∑2中稠密,且在∑2上传递

证明  任给aE2jl.令b∈∑2为将段落a-jaj向两

个方向无限重复所成的双向序列,则b为周期点,且bCj(a).这证明周期点稠密.为证传递性,只需构造一个点c∈∑2,其正半轨在∑2中稠密.对所有n-lCn=0.从n =0开始,相继写出01的所有可能的有限组合,确切地,从n =0开始,先写出所有的1元组,01,有两个.然后写出所有的2元组,000110II,有4个,然后是所有的3元组,有8个,如此等等.这就定义了一个点c∈∑2.易验证其正半轨在E2中稠密,定理3.2证完.  

定理3.2所述的两个性质彼此形成鲜明对照,每个周期轨道都是一个紧致子系统,故一个有很多周期轨道的系统似乎结构比较松散,而一个传递系统则似乎是一个紧密的整体.如果一个系统同时具有这两个性质,该系统应该不太平凡.下面的定理即说明了这一点,称一拓扑动力系统f:XX对初值敏感依赖,如果存在r>0,使得对任意xX和任意∂>0,存在yB(x∂)ml,使得

换句话说,以一致的幅度r,在每一xX,不是正向李雅普诺夫稳定

的.(回顾一下,称fx点正向李雅普诺夫稳定,如果对任意r>0

存在∂>o使得对任意yB(x∂)和任意mld(     )<r.)

 

    定理3.3 (Banks)x为紧致度量空间,fXX为一

同胚,设f的周期点在X中稠密且fX上传递,若X不退化为

一条周期轨道,则f对初值敏感依赖.

3.2 Smale马蹄

Q C R2为边长为1的正方形.定义一个微分同胚f,使得Q

横向被压缩,纵向被扩张,再放回去穿过自己.

 

因为fQ越出了QQ有一些点不能做第二次迭代.可以将f

张为一个整体定义的微分同胚fS2S2,使得下半球面的南极为一

源点,上半球面被映人自身.

    我们集中考察Q这一部分,并特别抽出横条凰,Ho和纵条Vo

V1使得

             fHo=VofH1=1

为简单起见,设fHi(i=01)上为仿射,横向压缩

1/5,纵向扩张5倍,以下称横穿H0H1的长方形为一个横带,称纵穿V0V1的长方形为一个纵带。

 

断言1  对任意纵带V(fv) ∩∨i为一纵带,宽度缩小l5.对任意横带H,(f-1H)∩ Hi为一横带,高度缩小1/5

 

推论3.5  马蹄集A为一康托集,马蹄映射fAA的周期点

在∧中稠密,且f在∧上传递.

我们来简略地说明一下马蹄映射是结构稳定的.实际上、定理3.4中的、导致了拓扑共轭^的几何式构造,即拉伸和挤压正方形Q,弯过来穿过Q自己,等等,是十分粗糙的。因此,任何C1接近,的微分同胚g有同样的行为,从而同样产生一个紧不变集∧g,拓扑共轭于2-移位.故g|g拓扑共轭于f|.

    本节中的马蹄模型是人为的(仿射的),但在差一拓扑共轭的意义

下,马蹄在真实世界中自然地、经常地出现,比如马蹄与所谓横截同宿点同时出现.设pMf一双曲不动点.p点的(整体)稳定流形和不稳定流形分别定义为

   

pM是双曲不动点时,由定理2.18p点的局部稳定流形是一可

微嵌入圆盘,故作为嵌人子流形的单调并,这时的整体稳定流形是M的一个可微浸入子流形,

    zM矿为p的一个同宿点,如果

  

p的一个同宿点x为横截的,如果

  

这些概念当p是一个双曲周朔点时类似定义.马蹄模型中有许多横截同宿点.事实上,马蹄模型中有一个双曲不动点,其稳定流形和不稳定流形各自来回卷绕无穷多次,使得其横截同宿点在马蹄集中稠密,横截同宿点是现代动力系统理论的一个重要而精彩的概念,这里我们只不加证明地提及下面一个定理,是说只要,有一个横截同宿点,则对某一ml,就会出现fm的马蹄现象.

定理3.6 (Birkhoff-Smale)pMf的双曲不动点,xp的一个横截同宿点.则对{xp}的任意邻域U,存在mlfm的紧不变集∧CU,使得{p,x}C∧,且fm:∧→∧拓扑共轭于E2}E2

3.3   Anosov环面同构

这一节介绍环面T2上一类特别的微分同胚.首先回忆有关T2及其万有覆叠空间R2的一些基本事实.

   

定理3.7  任意连续映射fT2T2有提升.一个连续映射FR2R2