这页说14岁时双眼失明却终成顶级大师之震撼科学界的1971–1974年担任第6届国际数学联盟副主席Lev Pontryagin庞特里亚金)及其相关学科工作

庞特里亚金维基网页说他1963年出版Foundations of Combinatorial Topology-不过《组合拓扑学基础》中文版是翻译1947年俄文版的,冯康院士独立翻译于1954年由中科院出版,如W. S. Massey的文章是评论F. Bagemihl1952年翻译这庞特里亚金的1947年俄文版的(英文译者F. Bagemihl维基网的Frederick Bagemihl并第2行说他的老师Paul Erdős就是这里13和海南琼大同任一杂志编委的科圣;中文译者冯康院士1951-1953年在苏联斯捷克洛夫数学研究所进修并授教于这庞特里亚金,关于冯康-中国科协副主席袁亚湘说:冯康是我国数学界的泰斗级人物、是一位可望而不可即的伟大数学家丘成桐在《中国数学》指出:中国近代数学能超越或并驾西方有三个方面即一是陈省身的示性类理论,一是华罗庚的多复变函数,一是冯康的有限元辛拓扑算法)。

关于组合拓扑学-它是海南琼州大学去攻读研究生的研究室-中国第一个组合数学研究室的研究内容之一(组合数学英文是Combinatorial mathematics或如我导师柳柏濂的导师Brualdi的世界第一组合数学Combinatorics教材)

当然,组合拓扑学的历史渊源可追溯到莱布尼兹的某些工作但这里见其奠基于海南琼州大学师爷叔及他的博士们为主的系列工作

Lev Pontryagin的博士导师Pavel Alexandrov维基网见Aleksandrov, (1998). Combinatorial topology.即独立撰写《组合拓扑学》,但在网上见是1947年出版,在美国数学评论见译为英文的最先是195619571960年从3卷俄文本,这里是1998年再印,最近在亚马逊网见再出版这书Ky Fan樊畿写的这篇评论56年的、樊畿这篇评论57年的、樊畿这篇有评论60的,关于樊畿,许多网见在国际上,樊畿与华罗庚、陈省身齐名”--国际上似乎更认陈省身),这Pavel Alexandrov1959–1962担任第3届的国际数学联盟副主席

我身边除了上面冯康院士翻译的外,也有Lev Pontryagin-庞特里亚金开创现代控制理论的《最佳过程的数学理论》和《常微分方程》等。

  维基网第一段说庞特里亚金能成为一个伟大数学家在于他母亲读books and papers给他听 (并只说读三个人的即Heinz HopfJ. H. C. Whiteheadand Hassler Whitney) ,这其中第一个Heinz Hopf“Career”的第3段说1926 moved back to Berlin, where he gave a course in combinatorial topology。第2J. H. C. Whitehead是海南琼州大学师爷叔Oswald Veblen的博士,第3Hassler Whitney是海南琼州大学师爷叔George Birkhoff的博士,他仨都是组合拓扑学家(这源于这海南琼大师爷叔Oswald Veblen的世界上第一本“拓扑学”专著《Analysis Situs-并除了他的这博士WhiteheadOswald Veblen的博士James Alexander1926年的组合拓扑学论1[国数学评论输入“combinatorial-组合数学的一词见这是组合拓扑学的第一篇论文]、以及这论文2。更要知不少研究生学位论文研究的普林斯顿高等研究院在成立开展研究工作的最先2只有5个专家-即除了院长海南琼大师爷叔Oswald Veblen和他这博士James Alexander外就是从欧洲聘来的宗师 Albert EinsteinHermann WeylJohn von Neumann-除爱因斯坦外前2者主攻拓扑学后2者也做拓扑学,第3年哥德尔等也正式入职)。

并第一个Heinz Hopf还是国际数学联盟第二届正主席他也和上面P. Alexandroff合撰在1935年出版《拓扑学》-Alexandroff的维基BooksHopf 的维基Publications的第一个出版物:Alexandroff P., Hopf H. Topologie Bd.1 — B: , 1935”。

刚翻起左再思老师翻译Spanier的内容提要说“本书可作为…研究生的教材和参考书”的《代数拓扑学》一书,看到里面我以前作了很多记号,如“…单纯复形和多面体的研究常称为组合拓扑学”,所以,也许我以前就已学了很多吧

在国内可参考相关工作有“组合拓扑方法在组合学和图论中的应用”、“仙人掌图的邻域同调分类”、“可分图的邻域同调群的分解性”、“独立亲同调子图”、“图的去点主子图相对同调群的可重构性”、“谈谈与图有关的几种复形的同调群”、“团复形是无圈的平面图是可伸缩图”、“图的邻域复形的同调群的不变性”、“图的邻域同调的几个等价条件”、“图的可收缩性与其团复形的无圈性”、“立方图的邻域同调分类”、“C4图的邻域同调分类”、“拓扑学在中国(1931-1949”。最近年轻的Gianluca Paolini2001沃尔夫奖得主Saharon Shelah Group metrics for graph products of cyclic groups. Topology Appl. 232 (2017), 281—287-PDF”,“ Polish topologies for graph products of cyclic groups. Israel J. Math. 228 (2018), no. 1, 305--319.--PDF”,“Polish topologies for graph products of groups 2019, J. London Math. Soc.-2019--PDF”;  Z. Mesyan, J. D. Mitchell, M. Morayne, Y. H. Péresse的“Topological graph inverse semigroupsTopology Appl. 208 (2016), 106--126.”;José Ayala, Wolfgang Kliemann的“Topological dynamics on finite directed graphs. Topology Appl. 241 (2018), 345--362.”;Qingying Deng, Xian'an Jin, Louis H. Kauffman的“The generalized Yamada polynomials of virtual spatial graphs.Topology Appl. 256 (2019), 136--158.”;Florencio Corona-Vázquez, Russell Aarón Quiñones-Estrella, Javier Sánchez-Martínez, Hugo Villanueva 的“Hyperspaces $C(p,X)$ of finite graphs. Topology Appl. 248 (2018), 40--49.”;Lorenzo Traldi, Louis Zulli 的“ Topological realizations of ortho-projection graphs. Topology Appl. 156 (2009), no. 15, 2515--2526.

一些组合拓扑学书籍:Maurice Fréchet和其学生Ky Fan樊畿合撰的Invitation to combinatorial topology1967法文版

Michael Gilman HenleA Combinatorial Introduction to Topology,见美国数学评论

Anders Björner2个博士最近的组合拓扑著作:即Jakob Jonsson的博士论文是“Simplicial complexes of graphs图的单纯复形”,道客巴巴下载,涉及Discrete Morse theory(参考John Milnor写的Morse Theory-道客下载莫尔斯理论);Dmitry Kozlov的著作“Combinatorial Algebraic Topology”道客巴巴下载,豆丁下载

现代图论与组合数学开创者之一Claude Berge撰写的法文版“拓扑空间”由Edward McWilliam Patterson翻译为英文《Topological spaces》,文当下载,淘豆下载,爱问下载49(我有国防大数学系油印副校长孙本旺翻译它的中文版《拓扑空间》)。二战中蒋介石派五个人李政道、朱光亚、孙本旺、唐敖庆、王瑞先去美国学原子弹;河南大学也有2个老师翻译出版它)。我也有国防科技大学出版的该校党委书记汪浩翻译John L. Kelley的《General topology一般拓扑学》(也不是该校出版社出版如此没有具体负责的编辑),可见国防科大还是重视拓扑学的

 

关于国际数学联盟,海南琼州大学师爷叔George Birkhoff的博士Marshall Harvey Stone国际数学联盟第一届正主席Marshall Stone从事拓扑学和分析,我有他撰写的《Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications to Analysis》一书)

我们图论兼拓扑学大师Kazimierz Kuratowski1963–1966年担任第4届国际数学联盟副主席,并他的博士Wolf奖获得者Samuel Eilenberg和上面W. S. Massey的导师Norman Steenrod共同提出组合拓扑学Eilenberg-Steenrod公理-其可在有限单纯复形偶的范畴上从公理出发把同调论完全决定出来,这是一个里程碑!

 

可参考拓扑学的一个简介;得到世界各国数学家高度赞赏的Morris Kline(莫里斯·克莱因)撰写的《古今数学思想 》的拓扑学全是讲组合拓扑学。(也可参看中国拓扑学前二大师江泽涵、吴文俊的编译著:同调论.上册.多面体的同调论 作者:希尔顿、瓦理著,江泽涵等译;拓扑学,H.沙爱福 W.施雷发 江泽涵 ;拓扑学引论 江泽涵;不动点类理论 江泽涵著;可剖形在欧氏空间中的实现问题 吴文俊)。

拓扑图论的发展也源于着色问题。我们知道无论是顶点着色还是边着色,研究对象均是简单曲面(所谓简单 曲面就是不含有洞的曲面)上的图。对于复杂曲面上图的着色,还要追溯到 1890 年希伍德的工作(参考Norman L. BiggsE. Lloyd冠绝所有20世纪的英国首相Harold Wilson的儿子Robin J. Wilson合写的Graph theory. 1736–1936 。他把地图四色问题推广到任意曲面,从而辟建了拓扑图论并推动了其发展。例如,一个平面或球面上的地图,四色是足够的,那么在环面(轮胎面)上,四色就不够了,至少需要七色才行。

 

附:点击这里就见下面从1952年第一届至今的国际数学联盟正副主席列表如下(并看到1982年以前除了第36届外,其余届的正主席全都从事拓扑学,这说明以前这学科的生命力之至几乎主宰数学界-然而看这里见拓扑学仅占整个数学非常小的部分):

Presidents

List of presidents of the International Mathematical Union from 1952 to the present:

1952–1954: United States Marshall Harvey Stone (vice: France Émile Borel, Germany Erich Kamke)(正主席从拓扑学和分析)

1955–1958: Germany Heinz Hopf (vice: France Arnaud Denjoy, United Kingdom W. V. D. Hodge) (正主席从拓扑学)

1959–1962: Finland Rolf Nevanlinna (vice: Soviet Union Pavel Alexandrov, United States Marston Morse) (正主席不从拓扑学,但2个副主席都从拓扑学))

1963–1966: Switzerland Georges de Rham (vice: France Henri Cartan, Poland Kazimierz Kuratowski) (正主席从拓扑学)

1967–1970: France Henri Cartan (vice: Soviet Union Mikhail Lavrentyev, United States Deane Montgomery) (正主席从拓扑学)

1971–1974: India K. S. Chandrasekharan (vice: United States Abraham Adrian Albert, Soviet Union Lev Pontryagin) (正主席从数论和拓扑学等,Lev Pontryagin是上面庞特里亚金

1975–1978: United States Deane Montgomery (vice: United Kingdom J. W. S. Cassels, Romania Miron Nicolescu, Romania Gheorghe Vrânceanu-前者在第一年任期内逝世-就由该国的填上这职位) (正主席从拓扑学)

1979–1982: Sweden Lennart Carleson (vice: Japan Masayoshi Nagata, Soviet Union Yuri Vasilyevich Prokhorov)(正主席的“Work”开头就说“His work has included the solution of some outstanding problems, using techniques from combinatorics(组合学)

1983–1986: Germany Jürgen Moser (vice: Soviet Union Ludvig Faddeev, France Jean-Pierre Serre)

1987–1990: Soviet Union Ludvig Faddeev (vice: Austria Walter Feit, Sweden Lars Hörmander)

1991–1994: France Jacques-Louis Lions (vice: United Kingdom John H. Coates, United States David Mumford)

1995–1998: United States David Mumford (vice: Russia Vladimir Arnold, Germany Albrecht Dold)

1999–2002: Brazil Jacob Palis (vice: United Kingdom Simon Donaldson, Japan Shigefumi Mori)

2003–2006: United Kingdom John M. Ball (vice: France Jean-Michel Bismut, Japan Masaki Kashiwara)

2007–2010: Hungary László Lovász (vice: China Zhi-Ming Ma, Italy Claudio Procesi)

2011–: Belgium Ingrid Daubechies (vice: France Christiane Rousseau, Brazil Marcelo Viana)