这页解决中国“第一本”数学研究生用书《组合矩阵论》的“本原对称矩阵”(即“无向图”)；另有这页解决“本原非对称矩阵”(即“有向图” )（本原矩阵获得国家教委一等奖-是包含振荡矩阵的本原矩阵的重要领域，但有些矩阵论出奇之难如哈尔滨工业大学这12个教授一共仅有22篇论文）。
下面说中国组合数学与图论学会理事长邵嘉裕教授的论文“对称本原矩阵的指数集”《中国科学(A辑)》1986年09期（其借这页最后部分的Basic语言之父等的工作得到：对称本原矩阵的指数集={1，2，…，2n-2}\{n到2n-2之间的所有奇数}-他用约9页还引用许多论文定理才证完。俞元洪理事长等人的论文的引言说邵的这论文对中国组合矩阵论发展起最大推动…”。而下面见我们海南琼大早就给出邵教授的这结果的简洁证明并下面见更深刻--后来发表为论文："对称本原矩阵的指数集"简短的证明《应用数学》2002年第02期），而且从图2和图3就可直接看出：这|{1，2，…，2n-2}\{n到2n-2之间的所有奇数}|的图它们两两不同，也即它们的指数集={1，2，…，2n-2}\{n到2n-2之间的所有奇数}=邵嘉裕教授的对称本原矩阵的指数集。邵理事长是组合图论界华罗庚的唯一研究生又是第一个国外博士（此外这里跟着它见《数学学报》的论文“一个本原矩阵类的指数集的完全刻”是做非对称的，我也给出完美解决方案）
我的导师柳柏濂教授的《组合矩阵论》第一版特别是第二版前言所说“感谢教育部和国务院学位委员会学科评议组专家们，把此书推荐为全国研究生教学用书”，而柳老师这书的这2版的“本原矩阵”这一部分只选6个主导定理-并其中3个是外国人的另3个是柳老师的和邵教授这论文的2个--我导师这书能成为教育部和国务院学位委员会评选为中国“第一本”研究生数学用书似是因他和赖虹建教授以此中文书为蓝本2000年写成被各国肯定为国际一贯认可的理论为主体系及来自R. A. Brualdi的多个中国合作者等的世界性成果为特色的英文版-就如R. A.
Brualdi为此书写的序言说“This
book would be a valuable resource for mathematicians working in the area of
combinatorial matrix theory-这本书对组合矩阵论领域的数学家将是一个宝贵资源”(为啥中国占分量-因乔公等也去跟他--美国人常把研究生也算入准数学家行列)，这书引用柳老师和写序言的国际线性代数协会第一届主席R.
A. Brualdi的第一作者的文献同是21个[这不是要讨好他写序言才给21个而是R. A.
Brualdi是这学科绝对的世界第一大师如此他不需要任何人讨好而写有自损的不公正的序言-上面做对称的邵嘉裕理事长就先跟华罗庚大师读“矩阵组合学”硕士再去美国威斯康辛大学跟这Brualdi读“组合矩阵学”博士--而海南琼州大学的副导师杨教授从北京大学毕业后也跟华罗庚大师读研、海南琼大的正导师柳教授也去美国的12所世界最著名的顶尖大学-威斯康辛大学和这个组合矩阵论创始人Brualdi学习合作几年-以前Brualdi的《组合数学》已是世界各国首选的用书]，第3多的是邵嘉裕教授的12个，第4多的是Gutman院士的导师Cvetkovic的8个(他和Doob以及Sachs合写的图谱书籍是世界名著)，第5多的是这里第4的美国三院院士Alan
J. Hoffman大师的7个，第6多的是这里促“量子霸权”的《积和式》一书的作者Minc教授和我的已居中国离散数学第一数学家的师弟周波教授同是6个--我这师弟现在更是越来越厉害。我导师出英文版也是为各国科研人员特别是研究生使用，如此,参考文献必尽量公正采用世界公认的基本重要性文献否则会给各国不好印象；我导师这书英文版是世界第2本“组合矩阵论”著作--Brualdi最近228页的前言说“组合矩阵论主要是对博士生和博士后讲授的”--我们1990年更是3千页虽油印也多是刚涌现的前沿的（新一代人工智能领军人物董劲松是澳大利亚工程院院士、牛津大学和哈佛大学客座教授-黄的导师Roger W
Duke的导师John H. Mason的导师正是R.
A. Brualdi。而世界上前2本《组合矩阵论》书籍除我的导师柳柏濂教授的外-另一本是世界第一大师R. A. Brualdi和以前世界第一的加州理工学院大师H. J. Ryser合写的并Brualdi和Ryser的这书的参考文献中我国仅有我的导师柳老师6篇、邵理事长4篇、张克民教授2篇、朱烈教授、初文昌[其时还没出国单位是中科院]和杨尚骏教授各1篇--杨的即这篇是和非负矩阵即最正宗组合矩阵论大师Barker合作并B也只有和杨合作的这篇而要知B的导师Hans Schneider就如R.
A. Brualdi写的这纪念文章说是国际线性代数学会首任主席等；1992年合作获得上面国家教委一等奖的柳老师、邵嘉裕和李乔都在80年代已去美国和这组合矩阵论创始人Brualdi合作几年--特别是邵嘉裕文革前已跟国家自然科学一等奖得主华罗庚做研究生的方向“矩阵组合学”以及李乔教授文革前担任国家自然科学一等奖得主吴文俊的助教低微拓扑正与这领域密切相关--1982年前的解放几十年来全国只有它俩和钱学森的一共仅3项国家自然科学一等奖-其中钱学森是凭一本书获奖-若科学奖不把书算在内-那全国仅有2项-即仅有邵嘉裕的老师华罗庚和李乔协助的老师吴文俊获得国家自然科学一等奖）
我更深探索是也因我读研究生前本原矩阵的指数集尚很少完全求出，即求出所有指数的只有邵教授的“对称本原矩阵”，其它任何本原矩阵类都尚不能求出，我才想若要求出更多矩阵类是否先做更多深刻些的认识，如本原矩阵类的不同指数个数若是m个,那能否找出m个矩阵并它们的指数两两不同即这m个矩阵指数集=这本原矩阵类指数集?我的上面简单证明就做到了（当然阶数很大甚至无穷时也应能找出）。 我在校时已完成它和许多论文。可我回海南后之情况等身体就糟糕致使去海口一直住在王德主任的医院里直到2000年左右我们数学系和计算机系系主任计划成立研究所起我校开始有点重视学术才逐渐把论文拿出来发表。
其中上面简捷解决“最大推动”的能发表应是审者看一眼简单的图2和图3就明白全部：其中结论1：“ 图2是一条长是k-1（k³2）的路的两端点添加环，且其中一个环点连n-k个点vk+1,vk+2,…,vn的图D，易知g(v1,vn)=k³(vi,vj)(1£i,j£n)，即g(D)=k，及正矩阵（所有元素都是正数）指数是1。
图3是一条长是n-1的路的第1和第k点添加环的图D（k£(n+1)/2），易知，即g(vn,vn)=2n-2k³ g(vi,vj)(1£i,j£n)，即g(D)=2n-2k。”
这易看出图2和图3的图类的指数集再加上正矩阵的指数=对称本原矩阵的指数集={1，2，…，2n-2}\{n到2n-2之间的所有奇数}。 且图2和图3的图类个数+正矩阵个数=|{1，2，…，2n-2}\{n到2n-2之间的所有奇数}|
上面图2的点集{vk+1,vk+2,…,vn}的导出子图G[{vk+1,vk+2,…,vn}]是空图。但其实也容易看出{vk+1,vk+2,…,vn}的导出子图也可以是任何子图都得到同样的指数。以及图3的点集{v1,v2,…,vk }的导出子图G[{v1,v2,…,vk }]也可以是任何子图都得到同样的指数。
当时主要是感到邵教授的证明很长很复杂，这样的证明若在教材中收入那读者是要花非常多时间的（正如柳老师的书只收2个结果）。邵教授在证明前先列出要用定理A(即Johnson在数学第4杂志评论的这本书的定理2.30-而这定理的证明不仅用到半群/最大公因数/diagonal blocks的本原矩阵的谱半径全是r(A)ph等等,且证明前还需做此外其它一大堆概念的准备及推导等[这本书至今仍没中文版-其第1作者比第2作者历害而写献给第2作者的2人都分别是与上面R. A. Brualdi、这里最后海南琼大推进做核电站的哈佛博士Richard
S. Varga同入选第4届36个美国工业与应用数学学会院士的数学家和副主席)以及邵的证明也用引理B(即邵教授自己的这论文的结果)还有BASIC(这里简称“B”)语言之父兼曾是排名美国约十名大学校长Kemeny的《有限马尔可夫链》一书等，且邵教授本身的证明也用了6页并还多次引用许多引理结论等来衔接才证完。要知邵嘉裕教授的深度就如他1991年出版的《组合数学》的深度和广度并来自如他在前言所说“不少章节的内容都受到R. A. Brualdi教授讲课内容的启发”-那么内容就要反映R. A. Brualdi教授给研究生他们讲课在怎样的深度上的启发,这就可想而知深度和广度了。特别是解决了“若本原矩阵类的不同指数个数是m个，找出m个指数两两不同的矩阵”这样最深刻的问题（m趋无穷时也探求出这m个矩阵）,至今似乎全世界仍只有我们海南琼州大学做到这样世界最深刻的程度那么若有经费等的话很多相关领域问题也可借鉴之而就可解决（它们是这里最后部分的工作）（连续多年亚洲第一的新加坡国立大学第5任校长陈永财Eng-Chye Tan和师弟Chen-Bo Zhu在上面Brualdi主编的杂志合写Free resolutions of
generic
symmetric matrices对称矩阵；新加坡就有最辉煌时代的2004年出任新加坡第三任总理的是剑桥大学来信高度评价海南琼大的Bollobas大师的数学系学生李显龙，最近2011年就任第7任新加坡总统的陈庆炎是,阿德莱德大学数学博士，数学…)
这是世界上第一个这样深刻揭示各部分指数分布情况的(特别是等于指数集个数的不同指数矩阵的分布),这会极促进相关领域深入探索,而被天才院士张景中先生高度称赞为“所提出的方法对本原矩阵的研究有重要意义,显示出作者的洞察力和创新精神”.
关于上面领域的本原指数和广义本原指数的作用如《组合矩阵论》共578页第一版的第253页说“计算机科学中关于网络可控性研究中的时间同步性问题，所考察网络中各点间的最短同步到达时间，就是该网络所对应矩阵的本原指数问题。我们注意到,在有限马尔柯夫链理论中,转移概率的遍历性及遍历指数问题,与本原矩阵的局部性质有着自然的联系。在实际应用中,我们曾考虑过一种非记忆通讯系统,它表现为一个带n个顶点的有向图。假设在时间t=0时, D中的k个顶点掌握着各自不同的一个信息。当t=1时,每个顶点把掌握的信息传递给相邻的顶点,而自己却失掉这个信息。当然,它可以同时接收来自邻点的信息.这个系统用此方法运作。如果网络D是一个本原图的话,我们可以保证,至某一时刻, D的每个点都可掌握原来的k个信息。一个自然的问题是,最短的时间是多少?如国初始时间的k个点,掌握着同一个信息,那么又需要多少时间, D的每个顶点都能掌握着这个信息?理论和实践向我们提出新的挑战,我们必要更精细研究本原矩阵的指数问题。从这一基本观点出发,我们拓广了传统的本原指数概念,引进了广义本原指数的新课题”--如此,广义本原指数由我的导师柳柏濂教授和上面Richard A. Brualdi在这篇论文中提出； 而对幂序列以及幂敛指数的研究就在有限自动机理论、统计学中的遍历理论等中有着多方面的应用
…(海南琼大除了上面中国首个海归博士的对称等“组合矩阵论”工作；海南琼大也有海南最伟大科学家的吴大师赞的5行字的“极集论”、中国“第一本”研究生数学书著者评说的“国内在哈密顿图搞得象海南琼大这么全面的是少有的,由于他的突出贡献,…
下面说该省第一大学3个副校长合作的2个国家项目等（都属于我导师的中国“第一本”研书《组合矩阵论》第一章图谱论，海南琼州大学除做第三章外以前也做第一章-象第1个文献是上面图谱书的计算机鼻祖Knuth的“图分块张量积及其图谱”被引才3次)
具有友谊条件的图称为友谊图。按友谊条件得到的友谊图的结构, 就如我导师的这书§4.10“强正则图”所述史上天才Erdös等的这篇1966年的论文等已给出证明，而引起世界各国学者关注,并研究与友谊图同谱的情况,几篇论文提出下面猜想-可见有点难度:
王建锋,赵海兴,黄琼湘的这论文提出的2个猜想之一(猜想:友谊图是DAS。称为友谊图猜想) (刚见获得“国家重点研发计划”4907万元的赵海兴已任第2副校长，北京师范大学常务副校长被派下来任正校长/他前面的常务校长是在职硕士研究生学历/书记更仅是大学学历；他们3个副校长已完成的国家项目“图的多项式理论研究”，主要完成人:赵海兴、刘儒英、冶成福[该年获奖的完成单位只有它一个来自大学，刘儒英也曾是该校副校长，冶成福现是该校副校长---而且若除去北京派来的和在职硕士及大学学历的那赵海兴和冶成福就是这该省第一大学的第一和第二校长(这是任何综合大学都罕有的奇异现象-他俩不仅同数学也同组合数学还同组合矩阵论更竟同图谱论-做为综合大学来说在另一层次上同图谱论这样小领域的2校长的概率更低于新加坡总理总统的【难怪赵海兴教授要获得该省首个4907万元-即他这个“国家重点研发计划”近半亿元--并就算拿掉4千万元剩下的零头9百万元都远远超过象河南这大学同年获得的“国家重点研发计划”总经费仅为285万元】），而赵和冶这2个第一和第二校长分别在2005年和2012年的最后学位也是同做我导师这中国“第一本”研究生数学用书《组合矩阵论》的第一章的图谱论及图的多项式的--我们海南琼大读研究生起跟从在美国与图谱论及图的多项式世界第一人合作几年回国的导师攻读到1991年已在这领域等取得多项世界领先成果而被北京大学状元戏称为“数学魔鬼天才”)-要知该校有20个学院并有数学学院/计算机学院/电子工程学院这现代大学基本生命细胞的--而青大仅11个学院也没有这3个学院]；和前面提出猜想的第一作者合作的另一国家项目“图的多项式及其逆问题研究”，主要完成人冶成福 王建锋 赵海兴[图的多项式也主要属于图谱领域]，这1981年生的第一作者王建锋更已是中华全国青年联合会第十二届委员会委员、中国科学技术协会第九次全国代表大会代表委员、中国青年科技工作者协会第五届理事会理事、该省自然科学与工程学科带头人[青大这学科很薄而他在该省虽是最年轻权威但可能是最世界级的即他不只控制该省数学]、该省五四奖章等等。可惜王建锋已调到山东,否则荣誉头衔还将更多更大)
王建锋,Belardo,黄琼湘,Borovicanin等合作的这论文只提出一个猜想(猜想:友谊图是DAS。称为友谊图猜想)（该省“昆仑英才”2014年制定，2015年第一届的第1人是上面赵海兴、第2人是祁得林(祁也是国家千人并第615是三亚的黄文江、第717是他-该校至今仍仅他一人/另一是青年/另一是教学)、第3人是这王建锋但其国际性已远超祁得林-并既是该省最年轻权威又是最世界级的-要是再留他乡几年…）
其后,Kinkar Ch. Das的这论文说证明友谊图猜想（Kinkar
Ch. Das教授是韩国历史最为悠久的大学成均馆大学的权威大师。并虽它也在首都还是韩国第一大财阀-三星唯一支持的大学如此聘请到这Kinkar Ch. Das教授等世界大师并已东山再起连续多年综合大学排名该国第一不过仍输给1946年才创办的首尔大学屈居第2）
但海南琼大的合作者Oboudi教授等的这论文针对上面Kinkar
Ch. Das论文说“We believe that there is a gap in the proof我们认定这证明有漏洞”( 并得到if G has no cycle of
length 4 or 5, then G≌Fn. Moreover if G is connected and planar then G≌Fn)
再其后,美国和欧洲的几个专家Sebastian
Cioabă,
Willem Haemers,
Jason Vermette, Wiseley Wong的论文The graphs with
all but two eigenvalues equal to ±1. J. Algebraic Combin. 41 (2015),
no. 3, 887--897 研究得到除n=16以外的情况友谊图猜想都可解决（这篇论文的唯一通信作者Willem Haemers是这领域的世界领军人物如他和他的博士Edwin R. van Dam合作的这篇图的DAS开创性论文已被引5百多次-是这个图谱论领域最伟大论文之一-象下面中国唯一独霸世界权威著作一节的王卫教授和徐成贤理事长的这篇论应是很受重视吧但被引用30多次，他和Andries
E. Brouwer合写于2012年才出版的《图谱》一书被引已6百余次-超过现代计算机科学鼻祖Knuth引用的上面1980年出版被引5百多次的《图谱》书籍-当然统计未必准确[这2本书都属于我导师上面那书的第一章,而它的内容之多如第14章第6节的标题“The method of Wang & Xu”就是我们也引用的王卫教授和其导师徐成贤理事长合写的被引用30多次的这篇论文，也是这书目录中唯一冠华人名的。我也有徐成贤和游兆永教授等译的本学科开拓者之一的Fletcher大师的世界名著《实用最优化方法》
我们海南琼州大学最近在SCI杂志Int.
J. Graphs Comb. 合作的2篇论文都不只是要解决“友谊图猜想”,更是要解决包括友谊图的更广泛复杂的mutricone graph，其中一篇得到的定理3.1: Let G be a connect
graph, if SpecA(G)=SpecA(KwÑmKt,t), then G≌KwÑmKt,t。（若非常简单的w=1, t=1时KwÑmKt,t就已包括所有友谊图，这简单情况就已解决包括美国和欧洲的几个专家尚未解决的n=16的友谊图猜想）
定理3.2: Let G be a graph, if
SpecL(G)=SpecL(KwÑmKn,n), then G≌KwÑmKn,n。（推出友谊图猜想对应的拉普拉斯谱情况也成立）
我们合作的另一篇得到的定理3.1: If G is a connect
graph A-cospectral with mutricone
graph KrÑsKt, then G is DAS. （若非常简单的r=1, t=2时KrÑsKt就已包括所有友谊图，这简单情况也再次解决包括n=16的友谊图猜想）
定理4.2: For s³3, complement of graphs KrÑsKt are DAS.
定理5.3: graphs KrÑsKt are DLS. （也推出友谊图猜想对应的拉普拉斯谱情况也成立）（附：年薪百万的第6个IBM博后华人Chai
Wah Wu的《Synchronization
in Complex Networks of Nonlinear Dynamical Systems非线性动力系统复杂网络的同步》就主要基于图谱，看徐冠华部长等出席的理事长吕金虎说“复杂网络同步”的重要性，而Chai
Wah Wu院士这论文说“谱图论确保复杂网络同步”，Wu最近做出全世界炸锅的这论文，Dutta Supriyo等跟着他使图谱促量子霸权，Berkolaiko和Kuchment合撰的《量子图导论》[及《量子图论导论》]主要就基于图谱--后者Kuchment院士获得2个博士的2个单位都是Mark一直工作的单位并得到为合作导师如此和这里中国首批院士柯召院士翻译的著者同是先于陈省身大师的诺贝尔奖得主Krein的博士…。再看上面中国组合矩阵论先驱乔公的第5页见中科大数学系81级本科生潘群,黄道德,李冰和在职教员徐俊明成为他的第一批硕士研究生但除教员徐俊明外的潘群1989年分去上海交通大学但现仍是讲师、黄道德其后去美国、李冰去向不清--可见以前难-要是现在2年级生就已硕果累累）