这页主要讲教育部自1999年以来遴选出的一共仅9本数学研究生用书之一的遗传算法的数学基础》正如遗传算法之父Holland在这里第一段说“这遗传算法一书假定读者对P组合数学比较熟悉。刚见这里说:北京的,有福了!!!,这慕叹是因遗传算法之父Holland来北京做“Complex Adaptive Systems-复杂适应系统讲座。关于这学科正如清华的这篇水资源论文说Complex Adaptive Systems遗传算法之父John Holland1994年提出的--也可看Holland不久前发表的“Complex Adaptive Systems”论文--而我们海南琼州大学Springer的杂志Complex Adaptive Systems的副主编[编委按字序排-象从我起倒数第5个编委是获得2007P的美国马里兰大学教授Robert Ulanowicz等都是CAS资深大师--P奖就是最后2009年的都资深,也如第1个编委是澳大利亚运筹学学会正主席],至于中国-如前面说清华用之于水资源如此这Complex Adaptive Systems编委中另一个中国人黄河清教授就是前届中国科学院水资源研究中心主任,而这水资源中心现在70位院士等出席的会议选举的新一届中国科学院水资源研究中心主任都有中国水利科学院、中国环境科学院等的邵明安院士、新疆分院副院长、中国环科院副院长、水利厅总工程师、国际水资源协会副主席等都仅是副主任)。CAS已成有趣的高级盛宴如见最下面段我国部长省长将军校长会长院士的论文,如此海南省早就要成立包含CAS复杂系统专业委员会,关于这CAS杂志主编在他任编委这里见也是英国Stirling大学教授--这里见他的倒数第4篇是2009IEEE Communications Magazine的外2017一年竟25-而这IEEE CM杂志的份量见华为将在它发表5G论文-也有说IEEE CM刷新了我校工程技术类论文的最高影响因子)。(除了和前届中科院水资源中心主任黄河清是上面CAS2个中国编委之外,海南琼大也是Springer的另一数学Mathematical Sciences的副主编--它的主编Khosrow Maleknejad教授的主页第一段见他是居于世界顶级排名的数学家-这主页最下面是这MS杂志,如此有资格把大学排名高达世界第111名大学Sains Malaysia大学校长 M. A. Rosihan(与美国MR评论的1986年著名大会论文中他的名一致)聘任为这Mathematical Sciences杂志的助理编委--也可能是摆乌龙位置放错吧(Vice-Chancellor 常是President校长-USUNUMUCUA),看这Mathematical Sciences杂志的Abstracted and indexed in见它被“Science Citation Index Expanded”索引即是SCI杂志,Springer同名并已出到2百多卷的世界著名的Journal of Mathematical Sciences仍不是SCI杂志除了这2个现在仍在Springer任编委的,南琼大也确实已退出这世界最强Springer的编委的几个杂志中有一个1956年创刊的比我也退出的Wiley的这个Mathematical Methods in the Applied Sciences杂志的影响因子稍高。另-很多报道已说我在世界五大出版社各至少当2个编委即我确实在这Wiley还当杂志编委,但影响因子最高的前些年庆祝其65岁的Ralf Lehnert大师主编的Elsevier的杂志其影响因子高达2.853--不过很遗撼因我的原因琼州大学唯一专家在低廉荒芜的海南深山竟都没房子经费钱住猪狗窝也有贼常光顾等各状况都太孱陋糟糕至极Ralf Lehnert主编2012年就让我退出这杂志编委-他也不当主编-他是TUD的大师而现主编是土耳其人) --和海南琼州大学同任一出版社编委的北京大学常务校长的书记的分数阶微积分在CAS的应用.

遗传算法之父John Holland50多个博士中Stephen Hedetniemi培养博士生最多Donald Stanat显示有1百多徒孙但他的博士只1-且这1百多个徒孙中绝大部分是他的只做为第二导师辅助指导的),刚见轰动全球的“只用三页纸,他就推翻了困扰学界半世纪的重要猜想”就是这Stephen Hedetniemi--而比这Stephen Hedetniemi早一年毕业的师兄L. W. Beineke就和我们海南琼州大学合作在Elsevier等发表论文--关于这海南琼大合作者-美国十大联盟普渡大学就以他的名设立L. W. Beineke”并有生物学家等获奖-足见他的影响之广 [下段也见这海南琼大合作者主持并有很多数学诺贝尔奖获得者大师等参加编写很多著名书籍。遗传算法之父John Holland的博士中维基网Edgar Codd1981年计算机诺贝尔奖得主以及和海南琼州大学合作的L. W. Beineke、人工生命之父Christopher Langton3人有网页-再也见之著名[参考最下中央办公厅室主任薛惠锋写的“人工生命”见此也基于遗传算法]。比遗传算法之父John Holland早毕业十年的Frank Harary也搞一些算法用于GT并两人同在一个研究所如此博士生们大多都同授教于他们两人-MGP既凭据就会漏]。遗传算法的应用很多,最广泛的应用是于旅行商问题-哈密顿图问题,此外在这里最后段的人工智能书籍中也看到遗传算法竟然都占一章就可知它在当今全球最火热还有如这里见其在船舶控制中的作用、以及我国一次就有7万余人丧生风暴潮预测等关于发表这L. W. Beineke和我们海南琼州大学合作论文的Elsevier很有意思-如还搞出EI收录数据库,并这Elsevier每年总搞中国高被引学者榜单等等及这有海南琼大的排名

即海南琼大合作者L. W. Beineke第一主编的几本书更都有各领域世界第一大师写其中的各章如他和牛津大学联合主编的这《Topics in Structural Graph Theory结构图论专题》的最后一章由Rosemary Bailey院士和Peter Cameron院士合写,第十章由Béla Bollobás大师和其博士Oliver Maxim Riordan合写,等等;又如《Selected Topics In Graph Theory 2一书除了他俩写前言和第一章外第2章起依次由Herbert Fleischner,诺贝尔奖获得者国际数学联盟主席László LovászPeter CameronCarsten ThomassenMiklós SimonovitsGeoffrey GrimmettWilliam T. TrotterRichard Guy大师们撰写;Selected Topics In Graph Theory 32章由Ronald Read和现代论之父William Tutte合写,其后各章依次由Dominic WelshFrancois JaegerCarsten ThomassenRonald GrahamF.R.K. ChungJoseph MalkevitchClaude Berge撰写;还有Topics in algebraic graph theory代数图论专题》等,注:当然代数图论、结构图论等还有一些著名书籍。这海南琼大合作者L. W. Beineke主编的这几本书的第2合作者都是牛津大学著名教授Robin J. Wilson--这里Robin J. Wilson的第2更见其父亲Harold Wilson冠绝所有20世纪的英国首相

 再说遗传算法之父John Holland50多个博士中培养博士最多的Stephen Hedetniemi(他和Seymour E. Goodman合写《Introduction to the design and analysis of algorithms算法设计与分析导论》,在美国数学评论见在1970年毕业于连续第五年名列世界大学第一的加州理工学院的Seymour E. Goodman只有16篇论文而且80%都是做哈密顿图的,并还 80%论文是和遗传算法之父John Holland博士Stephen Hedetniemi合作的,就著名的是Sufficient conditions for a graph to be hamiltonian,中国至今一共只发表三篇论文的Journal of the ACM发发表他俩的哈密顿图论文,;还有一个有趣的事是,在Mathematics Genealogy Project用姓Hedetniemi搜索只见66年、77年和最近刚毕业的三个毕业于3个美国不同大学的人,但他们的博士论文都是做图论的。Seymour E. Goodman还有许多不是数学论文不被美国数学评论收录)

上面说“北京的,有福了!!!” 的是这里主任:李政道, 副主任:周光召、路甬祥的第9个山东大学管理学院伊振中副教授,而就看一下这个山东大学管理学院见赵炳新院长下面一共有9个副院长副书记等12个处长级专家--赵炳新下面的吉小青1995年就已是副院长、在赵炳新下面排到很后的7陈志军兼院长的国际学院由正校长担任理事长-陈志军是秘书长-Smeets、青岛市的招商局局长隋淼、招商局副局长王星亮等全担任这7的陈志军副院长的秘书处成员(人家一个区就百余万人比全三亚市都多很多,这大学的副院长应该可能与我们海南的副院长不是一档子类专家甚至与海南大学的副校长们也不是一档子),它的老大赵炳新也主讲国家级精品课-消费者行为学-值得看-赵炳新王德胜-山东广播电视台台长党委书记吕芃赵炳新在山东大学本科毕业之后再接着攻读研究生的学位论文几类新的度条件及某些结果或见旧版是研究哈密顿图的并导师是这里在多个方面高度评价海南琼州大学的林诒勋大师,赵炳新院长其后获得山东大学图论博士学位,-他的第一导师是谢力同教授,第二导师是刘家壮教授--在期刊网www.cnki.net见谢力同大教授的所有论文都是图论,-看百度刘家壮见刘是从事图论在经济、管理和计算机科学的应用研究,--可见这是图论竟然领导院处级头目可能是世界最多的管理学院的原因,谢力同教授和刘家壮教授是1987年后才被批准为博士生导师的,而在这里见1987年以前最早几批这山东大学图论博士们全是由调去澳大利亚那年来信希望我去蜚声世界的中国第一批博士生导师管梅谷校长指导的-如我去赵炳新院长也算是我的“师弟”(上面说正副局长只担任赵炳新“师弟”下面第7人的秘书是因这大学还不错-如最近这山东大学数学系和北大/复旦并列中国第一,而如这里说我1983年已读陈省身大师读博士时读的拓扑学--又我当时考研究生时曾被和陈景润攻破歌德巴赫猜想的山东大学潘承洞院士吸引但也只有考从事拓扑图论的谢力同教授再附注点:赵炳新院长一直至今只有一篇最顶级刊物论文-就是《科学通报》的“关于图的路连通性的几个结果”,这篇论文全是仅简单地推广Ore大师的结果-也就是条件变一点结果更完全相同,特别是它们都仅知道从5的情况[当然这在以前也是应该要探究的有必要做的],而通过多类工具研究过的都可摸出些门道特别是会感悟些如这样的规律:对很多哈密顿图类来说若知道了5也就更应知道5以上--从这以及国内外大多相关论文也再应证5以下才更难。而我们海南琼州大学韩烽主任在19992期《黑龙江商学院学报》的“强哈密尔顿的一个结果”就解决包括5下的所有情况,而且得出K-(n-1)/2K+(n+1)/2,这就是满足条件的G[K+(n+1)/2]至少有一孤立边的图类。可能一直到迄今国内国外的用所有非常多的各类条件研究的都仍避开这复杂的小圈结构情况,诚然所有情况都应尽可能研究,而小圈结构情况更应优先-怎愿糊里糊涂不清不楚,而上面已说所有论文都应证5以上的所有情况容易解决,再从上面韩烽教授作为世界上第一个发现的K-(n-1)/2K+(n+1)/2,也再可知5以下更难搞-n趋于无穷大也同样难搞5以下的情况-也就是极状况或临界情况常出在5以下-这不是悖论,若解决到此情况就已易推Ore图的结果--至于Hamilton连通-众所周知那是几乎相当于存在最大的n-那就更容易些了。此外韩烽教授的K-(n-1)/2K+(n+1)/2还意味很多,因为它蕴含许多构造非常漂亮优美又对学科的突破很有用的极图如其子图G[K+(n+1)/2]完美匹配图的-竟也满足条件!也就是世界上最简单的空图K-(n-1)/2完美匹配图的比例最佳的紧密的联姻竟满足条件--这是重大发现!这是韩烽教授在世界上的重要贡献-可命名为韩烽图海南琼州大学图而在世界上永载千秋,特别是K-(n-1)/2ÚK+(n+1)/2可能还蕴含一些其它意义非凡的图。我们知道结构图论几乎等同于哈密顿图-发现和揭开更神奇的图结构的神秘面纱就是象这里的美国哈密顿图大师权威专家们等的职责,这也还得感谢小小的偏远的这里的黑龙江竟愿多加发表篇数学论文-而若还如下面澳门大学校长的全校专家组主席也是这里的著中国第一本数学研究生用书的我的导师说成果以刊物衡量将气恼人的)

 

说回上面《遗传算法的数学基础》,主要内容简介如下:

1 遗传算法的几何理论

1.1 遗传算法的基本概念:

l-个体X和个体空间S={0,1}lN-种群,N-种群空间SN={X®=(X1,X2,XN),XiÎS}。齐次种群。j( X®, X)=åi=1Nc[X](Xi)表示种群X®包含个体X的数目。j( X®, X)=j( Y®, X)Û X®~Y®,即等价。可证~SN上的等价关系。

1.2 遗传机制与遗传算法。

下面f:S®R+都表示适应值函数。选择算子TS: SN®S。母体(X1,X2)和母体空间S2={(X1,X2),XiÎS}。母体选择算子TS: SN®S2。杂交算子TC: S2®S。删除算子Td: SN®SN-1。标准(canonical)遗传算法,杰出选择遗传算法,稳定状态遗传算法。

1.3 遗传机制的几何表示。

模糊度,基因,重要基因,及其性质

1.4 杂交算子的几何性质       

母体(X,Y)杂交后代Tu(X,Y)=(Cu(X,Y) (,Cu-(X,Y))

1.5 遗传机制的过程分析.

无限种群,

1.6 遗传算法的几何解释。

异或算子Å¢ xÅ¢y=1(x=y or 0 (x¹y)X=(x1,x2,…,xl) Y=(y1,y2,…,yl)),XÅY=( x1Åy1, x2Åy2,xlÅyl)XÄY=( x1Äy1, x2Äy2,xlÄyl),其中xiÅyi=1(xi¹yi) or 0(xi=yi) xiÄyi=1 (xi=yi)=1) or 0(否则)

对选择算子TS,杂交算子TC,变异算子Tm,和S上的无限种群pÎL={(a0,a1,…,aM-1); ai³0, åi=0M-1ai =1},记G(p)= Tm°TC°TS(p),则GLL的映射。

mj=åkÄi=0miÅjå kÄi=0miÅj则称变异为独立的。

mi=mTi=1-ml-TiTi表示i1的个数,mi表示将任意jÎS变为jÅi的概率。m被称为变异率。

limn®¥ Gn(p)= p¢ÎL称为是收敛的。这时G(p¢)= G(limn®¥ Gn(p))= limn®¥ Gn+1(p)= p¢,称p¢G的不动点。

2 遗传算法的马氏链模型

2.1 马尔可夫链的定义及性质

本原随机矩阵”是本节、也是本章、甚至是本书及所有遗传算法的重要理论和全书整体构架的关键环节(而比这书以及国内所有遗传算法书籍都更早出版的海南琼州大学的导师的教育部批准通过的中国第一本数学研究生用书-科学出版社出版的578页共五章的《组合矩阵论》第二章就讲“本原随机矩阵-并成为贯穿这书的最重要理论之一和关键环节--我导师的这书也是世界第2本组合矩阵论书籍-而且被很多世界大师说很不同于美国大师的世界第1本并又具有世界特色和世界领先水准-当然更不同于这里的许多书可不太费脑筋就可有大量书籍来抄写--其实柳老师在1990年已给研究生编写了3千页的《组合矩阵论》刻印版-那时世界第一本《组合矩阵论》还没有出版呢-所以根本谈不上参考--就算是有某些资料但也与现在有许多渠道都可容易就得到资料信息也有非常大的不同-特别是1990年那时和1996年起才逐渐开始有可民用的互联网搜索更是最关键的大区别…。当然,除了遗传算法-我的导师的这教育部批准的全国1数学研究生教学用书还在许多世界重大学科领域都有重要作用如在当今全球最火热的人工智能、以及一个小国一个海网几年就投入百亿元的作用见这页以及如《组合矩阵论》的§4.9 香农容量以及其它一些章节是当今另一全世界最火热的通信领域的重要基础)。我们知道马尔可夫链{Xn,n³0}满足P{ Xn+1=i n+1 / Xn=i n,, X0=i 0}=P{ Xn+1=i n+1 / Xn=i n}。几步转移概率,某状态可达某状态,2状态互通;本只状态,非本质状态,S的子集称为闭的,状态是常返的,一些需要的性质。 

2.2 标准遗传算法的马氏链模型                

X®(n)表示第n代种群。标准遗传算法为X®(n)=T(X®(n-1))= Tm°TC°TS(X®(n-1)),从X®(0)出发,即得到种群序列{ X®(n); n³0},相关的性质。

2.3 改进遗传算法的马氏链模型。

早熟集种群。种群序列过早收敛。适应比。满意种群集,

2.4 优胜劣汰遗传算法的马氏链模型。

杰出者选择遗传算法X®(n)=(Xi(n+1)= Tmi°TCi°TSi (X®(n))i£N-1, XN(n+1)= Xi0(n)), i0满足arg maxj{f(Xj(n))}.

稳定状态遗传算法.

2.5 等价类遗传算法的马氏链模型

j( X®, X)=åi=1Nc[X](Xi),若j( X®, X)= j( Y®, X),则称种群X®Y®等价。

2.6 遗传算法的马氏决策模型。

AÌ[0,1]´[0,1]´[0,¥)´[0,¥)称为遗传算法的行为集。任意a=(a,b,c,d)ÎA,a代表变异概率,b代表杂交概率,c代表选择概率,d代表删除概率。决策规则,确定性决策规则,随机性决策规则,等

3 遗传算法收敛性的一般理论

3.l 遗传算法收敛的定义及性质

M={X; "YÎS f (X)³ f (Y)}为全局最优解集。若limn®¥P{[ X®(n)ÇM¹Φ]}=1,则称{X®(n)}为概率弱收敛到全局最优解集,记为X®(n)®M(P.W.)。强收敛到收敛到全局最优解集,几乎处处弱收敛到全局最优解集,几乎处处强收敛到全局最优解集,满意解集。优值马尔可夫链概率收敛到全局最优解集、几乎处处收敛到全局最优解集,劣值马尔可夫链概率收敛到全局最优解集、几乎处处收敛到全局最优解集,

3.2 遗传算法概率收敛定理

理解和证明相关定理就行

3.3 抽象遗传算法的概率收敛定理

先给出抽象遗传算子、抽象遗传算法、遗传吸收率与散射率的定义。

3.4 遗传算法的几乎处处收敛定理

同样只理解和证明相关定理就性

3.5 遗传算法的渐近收敛定理

渐近序列概率弱收敛到全局最优解集、渐近序列概率强收敛到全局最优解集、渐近序列概率几乎处处弱收敛到全局最优解集、渐近序列概率几乎处处强收敛到全局最优解集

3.6 遗传算法的停时计算问题                 

T=min{n; X®(n)ÇM¹Φ}称为遗传算法的首达时间。

至此,上面教育部研究生教学用书《遗传算法的数学基础》已注解完。这书作者张文修教授是中国学位与研究生教育学会副会长(看这学会网见全部84个理工农医文社科委员中有25是重点大学副校长以上级别-其他人也多是重点大学研究生院院长等,而张文修教授不仅是委员更是副会长

 

 

这方面的著名论文很多,可参阅席裕庚教授、柴天佑院士等的遗传算法综述”等等见最后部分

再添一些更基础性概念的附录:遗传算法的结构与基因操作方式多种多样,难以从形式上明确定义,它的标志在于其内在特征.

     根据编码方式的不同 , 遗传算法大致可分为两类: 二进制编码和浮点编码.基于二进制编码的 GAs搜索能力强 ,而且适合于模式识别、生产调度等这类非数值问题的优化 ,因此应用范围广 ,更具有普适性. GAs求解一个优化问题可以描述为

        J= maxX K F( X ) , X= (x 1 , x 2 , . . . , x n )T

.      这里 ,F( X )为评价函数 , X 是问题所涉及的解向量 ,K为解向量的定义域 .

  1. 1  染色体的编码 ( encode)和解码 ( decode)

GAs对于不同类型的优化问题 ,其求解过程基本相同 .但是 ,由于变量的性质不同 ,会导致染色体在编码和解码上存在差异.例如 ,F( X )有两个变量 .其中 x 1 需要回答还是不是的问题; x 2 是一个数值变量 ,其定义域为 [a,b],精度要求≤X(X为一给定的正数 ).这里 ,我们只需用一位基因“ 0”“ 1”来完成对 x 1 染色体 x¢1 的编码. x 2 由于存在精度要求 ,因此需要确定其染色体 x¢2 编码长度 l , l 通常可由下式

给出:

       l≥ ln[(b- a)/X+ 1] .                               

     这样 ,解向量 X 染色体就可以由长度为 l+ 1的二进制字符串 x¢1 x¢2 组成 .x 1 的解码十分简单.实数 x 2 的解码一般可由下面的公式确定:

        x 2 = a+ (b- a)X10/(2l- 1) .

     其中 X10 表示二进制染色体 x¢2 所对应的十进制数.

  1. 2  杂交 ( crossover)

     按一定的杂交概率 p c 随机地从种群中选择两个个体 (染色体 ) ,部分地交换其中的某些基因位.杂交方式通常有一点杂交、两点杂交、多点杂交和一致杂交.杂交的作用在于产生新的基因组合 ,即生成新染色体.

  1. 3  变异 ( mutation)

     按一定的变异概率 p m 对染色体中的基因进行变异操作 .目前变异的主要方式是取反操作 ,其目的在于发现新基因 ,克服早熟收敛.

  1. 4  选择策略 ( selection strategy)

      按照某种方式从生成的子代中选择一定数量的个体作为下一代进化的初始种群.选择策略通常包括: 轮盘赌、比例选择、锦标竞争和最优个体保留 .

      遗传算法来源于动物进化行为再附列一些较经典些的各类改进发展的算法及其应用的论文:除了上面遗传算法综述,还应参考徐宗本院士等的遗传算法过早收敛现象的特征分析及其预防;徐宗本院士等的遗传算法基础理论研究的新近发展;徐宗本院士等的整体退火遗传算法及其收敛充要条件;张钹院士等的统计遗传算法;张钹院士等的佳点集遗传算法 ;张钹院士等的遗传算法机理的研究;韩祯祥院士等的基于遗传算法和模拟退火算法的电力系统的故障诊断;陈俊亮院士等的基于遗传算法的QoS感知的Web服务选择;王众托院士等的遗传算法在优化问题中的应用研究进展姚新教授和陈国良院士等的进化算法研究进展 戴冠中校长的遗传算法的编码机制研究  ;清华赵纯均院长等的基于遗传算法的动态联盟伙伴选择过程及优化模型;清华周双喜教授和乐货创始人蔡虎应用于电力系统无功优化的改进遗传算法 ;蒋静坪等的遗传算法优化速度的改进Genetic Algorithm

关于Complex Adaptive Systems-复杂适应系统,附一些较好的文章以供参考:我的母校华南师范大学前校长、广东省社会科学界联合会主席、澳门城市大学校长颜泽贤教授的第一作者论文“复杂适应系统:理论与应用”(澳门城市大学除了本科生还有硕士生1000名、博士生400余名我的导师是华南师范大学总专家组主席-许多副校长是分组组长的2004年颜泽贤教授仍是华南师范大学校长,也还在这里见我的导师获得全校唯一特等奖而这广东省社会科学界联合会主席、澳门城市大学校长颜泽贤教授仅获三等奖);还有徐宗昌少将的第一作者论文“基于复杂适应系统理论的战时装备维修保障研究”;谭跃进少将的第一作者论文复杂适应系统理论及其应用研究”(他的著名学生有:吕欣-刚毕业就创办Flowminder基金会吴俊等);中国信息经济学会理事长陈禹教授的第一作者论文复杂适应系统(CAS)理论及其应用--由来、内容与启示”;中国航天12[中国航天系统科学与工程研究院]院长中共中央办公厅法规室主任薛惠锋教授等的基于复杂适应系统理论与CA模型的城市增长仿真”(该院在很多省有分院如中国航天12西安分院、福州分院、厦门分院、青岛分院等,薛惠锋院长并撰写主要基于遗传算法的复杂性人工生命研究方法导论》并兼为最后的第7复杂适应系统CAS做铺垫);北京师范大学校长方福康等的复杂适应系统Internet中的网络流量仿真研究”,其它的还有“复杂适应系统视角下的海洋经济系统区域网络模型”,“基于复杂适应系统理论的漳河上游水资源系统分析”,“基于复杂适应系统理论的农业水资源优化配置”,刚见建设部副部长、全国政协人口资源环境委员会副主任仇保兴的几篇第一作者论文“基于复杂适应系统理论的韧性城市设计方法及原则”、“基于复杂适应理论的韧性城市设计原则”、“基于复杂适应系统理论的韧性城市设计方法及原则”,等等等