这页说“数的几何”-相关领域见“数论的方法”和“组合数论”(数的几何也不易如这里第3见湖南省第一个归国博士全国台联副会长杨必中教授从台湾大学毕业后去美国做的博士论文标题是“数的几何的研究”(他其时名杨六泾Liow-Jing Yang并其后留校几年后来大陆但他至今只有一篇哈密顿图论文发表在武汉大学的《数学杂志》和另一篇在湖南师大学报-在美国数学评论就只见他3篇即这2篇和另一篇是他的博士论文-可见不易,但他当副会长的台联的地位还是很高的如张克辉1997年退下全国台联会长1998年就当上全国政协副主席关于这领域也如博士论文是“数的几何Bryan John BirchSwinnerton-DyerBSD猜想是世界七大数学难题之一)

先说数论第一著作-全世界人人都肯定公推是海南琼州大学的业师杨照华教授的导师的导师的导师哈代的《数论导引》(搜“20世纪上半叶享有世界声誉的数学大师”就成堆蹦出这《哈代数论》,是他和担任英国名校阿伯丁大学校长多年的E. M. Wright合写这世界名著《数论导引》并最后一章是‘数的几何--这个由Minkowski创立的研究分支是以其的基本定理37以及该定理在n维空间中的推广作为基础的” HardyWright作者在第一版前言说“H. Heilbronn博士阅读了全部手稿以及清样,他的批评和建议使本书有了许多重要的改进,。特别是对于Landau,我们与所有热衷于学习数论的学生以样,无论如何感谢他都是毫不过分的”--注:H. Heilbronn博士和Landau是师徒并后者也是上面全球数学界最高荣誉-沃尔夫奖的第一届获得者 C. L. Siegel的导师,如此我也有Landau宗师的数论名著

再说这“数的几何”的著作,主要参考上面德国哥廷根大学 C. L. Siegel(C. L.西格尔)大师独撰1989年出版的世界名著数的几何讲义》(这因 C. L. Siegel陈省身大师也获得的球数学界最高荣誉-沃尔夫奖的第一届获得者。那做为数学界第一人,其著作肯定立即就极受重视,如此当时很多研究生相关专业课程都以他的书为这学科的教材或主要参考书。说它是最高是因菲尔兹奖虽有名但因只授于40岁以下的年轻人如此许多人其后成不了世界顶级大师更不能获得这尔夫奖

以及参考1975-1978年的国际数学联盟副主席1974-1978年的英国皇家学会副主席1978年前没有数学人担任主席)的J. W. S. Cassels1997年出版的对1971《数的几何导论》纠正重印版(上面提出BSD猜想的Bryan John Birch是他的博士并这里见J. W. S. CasselsChao Ko是师兄弟-即他是这里第7的中国科学院第一批院士、中国数学会名誉理事长、四川大学正校长Chao Ko (柯召)教授的师弟[柯召院士1986年也出版研究生等用的《数论讲义》上下册],他俩的导师的导师是Baker而取得20世纪最辉煌的数学成就”的安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)的导师的导师也是Baker(老Baker是剑桥大学那个时代的数学领袖并如他的博士Thomas Cherry教授是澳大利亚科学院第3届院长也是至今唯一担任院长的数学家而这小Baker1970年菲尔兹奖得主并他的《超越数论》被认为能与高斯的相媲美--我也有上面数学最高奖第一届获得者Carl Siegel独撰的《超越数》名著。J. W. S. Cassels柯召院士的导师Louis J. Mordell哈佛大学丘成桐大师最近做的讲座“数学历史大纲”中以牛顿和费马以来41个数学大师为刚的数学史中这视频1点8至9分钟处讲21Louis J. Mordell(莫德尔)(最近丘成桐的新讲座扩展到80个大师并36Louis J. Mordell(莫德尔)提出了以他命名的猜想。他也证明,而41个大师中21的这Louis J. Mordell(莫德尔)就为J. W. S. Cassels的这《数的几何导论》写了数学书评史上罕见5页多的高度评论为“It is an excellent book”“Cassels' book will give a great impetus)。

János PachPankaj Agarwal在不久前的1995合著出版的354《组合几何》的第一章是“数的几何”,其开头说“数的几何起源于数论,是一门有着百年历史的数学学科,Minkowski1896)富有成效的研究表明,数论中的丢番图逼近及其他数论分支中许多重要结果都可以通过简单的几何论证得到Minkowski的一个独具创建的命题(定理1.7)是数的几何理论的起点,它可以视为组合数学中一个重要的基本原理-鸽笼原理在可测集上的一个显而易见的推广”(附:鸽笼原理在很多组合数学书籍如世界各国最常用的R. A. Brualdi的《组合数学》等中都独占一章且它常居前列则后面章节仍常常引用之)。

我国数学大师华罗庚院士撰写的《数论导引》也已成世界名著(1982就已由Springer出版它的英文版)并最后一章“数的几何”第一句说“第一节将以二维空间为例,概括地说明本章之基本内容”。第二、第三句是凸域的定义,其后是例子,再其后说“本章将用及与凸域有关之若干概念及若干性质”,再其后是Minkowski基本定理。 HardyWright的书不疑是被世界各国使用得最多的世界第一名著,不过在另一方面相比而言,华罗庚大师的却可称为“巨著”-如华罗庚大师在前言说“它的内容大大地超过了一个数论课的范围”)。

波兰W. Sierpiński(谢尔宾斯基)大师也有515页的《基础数论》-只是比前2者基础(在“一个受尽欺凌的民族,如何孕育出闻名世界的数学学派”一文开头就说“一百年来,全世界的数学家从他(谢尔宾斯基)的724篇学术论文和50本书中获得思想、灵感和知识”,…“谢尔宾斯基对整个数学世界、对他饱受苦难的祖国最伟大的贡献,在于他一生致力于波兰数学学派的建立与壮大); 日本高木贞治也应说下:如北大毕业后一直留在北大工作的聂灵沼教授,教学工作虽然繁,但聂灵沼仍不断充实自己,数学水平与时俱进。他精读过高木贞治的《代数整数论》,参加过王湘浩主持的数论讨论班等。这高木贞治就是被誉为日本现代数学第一人的希尔伯特的1903年毕业的博士Teiji Takagi,所以他的这《代数整数论》也应看看;  此外,与上面超越数书籍对应的希尔伯特的1910年毕业的博士Erich Hecke独著的《代数数理论讲义》我也感到极值得多读

一直收组合数学博士生北大兼南开组合数学中心的宗传明教授最近撰写的《离散几何欣赏》说“离散几何(Discrete Geometry)主要研究n维欧氏空间中的一些基本且直觉的问题,,这一学科的经典部分是由Minkowski20世纪初所创立的数的几何(Geometry of numbers)”。

 

再关于哈代(G. H. Hardy),控制论创始人数学家伯特·维纳曾经这样评价:从未有谁对数学的讲解能达到哈代那样一种明晰、充满趣味、富有智慧的境界。而要知诺伯特维纳可是18岁就拿到哈佛大学博士学位的史上少有的天才

基于上面维纳和哈代之相知、欣赏甚至崇敬慕拜,以致1936,维纳写信给哈代(G. H. Hardy)推荐华罗庚并称赞“华罗庚是中国的拉马努金(Ramanujan)”(拉马努金是《知无涯者》的主角,而我们海南琼州大学的组合数论正是华罗庚大师合作指导的研究生杨照华教授给我们开讲

 

已说这里第3的会长担任全国政协副主席的全国台联副会长杨必中教授至今仅有3哈密顿图论文可要知他1966年读台湾大学数学系、后获美国“数的几何”博士并他的导师的导师是Kurt Mahler,此人之厉害如上面剑桥大师J. W. S. Cassels的名著数的几何导论》只有2章的标题以人名命之即第5章“Mahler's compactness theorem列紧性定理”,第6章“The theorem of Minkowski-Hlawka”(这3人中Minkowski是上面多本书中说的开创者也是爱因斯坦的老师,而Hlawka的最后的博士就是上面宗传明教授)

J. W. S. Cassels大师这书第5章的Mahler列紧性定理为:Lr(r=1,2,)是欧氏空间Rn中的一个无穷格序列,具有下列两个性质:(a)存在 R>0, 使得每个Lr,都有 n个线性无关的点属于球|x|£R(b)存在常数c>0,使得对于所有 rd(Lr)³c>o.

那么序列Lr (r³1)含有一个收敛的无穷子列 Mt,即存在格 M¢=limt¥Mt。(有一年级的无穷收敛序列和一些线性代数就可理解这一定理以及这一章。当然这定理涉及的格的定义和收敛的定义-也是其它领域没有即这领域独有的概念则这书中肯定给出-当然要看才能理解这定理,可见具有微积分线性代数和一些数论就可理解这书,即读“数的几何”并不太难,但上面全国台联副会长杨必中教授至今仅有3篇论文,可见一些东西要做出可就不易了)

关于杨必中教授的导师的导师Kurt Mahler(见详细介绍),也见1975-1978年的国际数学联盟副主席J. W. S. CasselsB. London Math. Soc.Acta Arithmetica写的悼文(和J. W. S. Cassels 同时担任国际数学联盟副主席Miron NicolescuGh. Vrănceanu分别在1975年和1979年逝世,也许是Cassels推下的原因),J. H. Coates大师等在澳洲科学历史纪录写的文章B.H. Neumann大师写的文章,等