代数函数、代数几何与代数数论（日本怪才Shinichi Mochizuki望月新一最近1999年写了529页的《Foundations of p-adic Teichmüller theory》，Teichmüller是哈塞的博士---关于“p-adic”，就如华罗庚大师的巨著《数论导引》的“p-adic数”章说其对前面“代数函数、代数几何与代数数论都有广泛的应用”-赋值论主要讲p-adic赋值及各类推广理论，吉大王湘浩及管纪文就是我国赋值论代数数论先驱也与该校北大前辈谢邦杰合作其后从事计算机，而世界冠军局长1985年使海南琼大考研究生的3个主副导师的6本书就有计算机及p-adic的：

先说1991年唯一邀请海南琼大做报告的麻省理工权威的这里第2段末说的合作者麻省理工天才权威岩泽健吉(Kenkichi Iwasawa)等的上面仨领域著作及吉林大学从这些领域转向计算机作用之大，再看看北京大学数学“黄金一代”竟几乎全做这仨领域：

1、日本数学之父弥永昌吉(Shokichi Iyanaga)的博士岩泽健吉(Kenkichi Iwasawa)独著的《代数函数论》（这是最能体现智力最高峰呈现的领域,如下面日本数学协会会长写的文章的第2部分“好教科书”指名的书只有一本即岩泽健吉(Kenkichi Iwasawa)的这《代数函数论》并说“这样就没法进一步阅读该书了。几个月之后，我再次阅读该书就稍有入门了，就这样反复重复地阅读这本书…”。这书似乎没有中文版-不过我读了下面第5本世界大师捷波塔辽夫的457页同名世界经典中文版(岩泽的287页)-就也感到很理解他的经历和感受；这麻省理工数学家岩泽健吉Kenkichi Iwasawa的天才工作就如哈佛大学丘成桐教授的《数学史大纲》共80部分的第17部分[第16部分的开创者格拉斯曼、庞加莱、嘉当都是1869年以前出生的人-不计跟随者-第15之前的更古远]丘成桐说“岩泽健吉研究了伽罗瓦群为进李群时伽罗瓦模的结构, 并定义了算术的p进L-函数。他提出了这个算术的p进L-函数与久保田富雄和利奥波德利用在伯努利数上插值所定义的p进L-函数是否本质相同这个问题。里贝特、科茨、马祖尔和怀尔斯等人对岩泽理论作出了重大贡献”（注:怀尔斯的博士导师是科茨并怀尔斯“在剑桥大学取得博士学位，研究的题目为椭圆曲线的Iwasawa理论”即岩泽理论，‘p进’就是‘p-adic’，如解决三大问题中最古远的费马猜想而被称为21世纪最伟大数学家的怀尔斯的博士Ehud de Shalit在1987年出版的书《Iwasawa theory岩泽理论of elliptic curves with complex multiplication. p-adic L-functions》）；岩泽健吉在代数类域论的众多领域也贡献卓著以及在他的导师日本数学之父弥永昌吉是开拓者之一的代数格论领域也曾深耕）。

2、埃米尔·阿廷（Emil Artin)的《Algebraic Numbers And Algebraic Functions 代数数与代数函数》--下面阿廷的博士Bernard Dwork的也值得深读（上面吉林大学校长王湘浩院士就是Emil Artin的博士并学位论文做“关于Grunwald定理”，而这Grunwald定理（格伦瓦尔德定理）是代数数论中的一个重要定理，并且Grunwald也是上面哈塞的博士；就如全国人大副委员长北京大学校长丁石孙先生回忆：“1949年秋季，当时清华大学数学系主任段学复请王湘浩到清华大学给四年级学生讲代数数论，每周一次，每次三小时。王湘浩是用赋值论的方法讲的，一直讲到理想的分解定理、类数、分歧等，也就是讲完代数数论的基础部分”--丁石孙校长1949年正读清华四年级。其后,从下面中国计算机学会前几届组成人员除了中科院计算技术所软件所及部属所外的第一人王湘浩院士就可堪称中国计算机科学的先驱、中国人工智能奠基人，就如他的上面高徒管纪文编译了很多计算机科学和人工智能世界名著或书籍而他的吉大团队还有许多我国计算机萌芽时期的开拓者）。

3、海南琼州大学师爷叔美国数学会主席Gilbert A. Bliss的《Algebraic functions代数函数》（Joseph F. Ritt大师评论这书）--看“际遇游学芝加哥,得师事Eliakim H. Moore大师”的海南琼州大学太师爷Eliakim H. Moore的网页见第6、7段说 “When he was appointed at Chicago, Moore persuaded the university authorities to appoint two young German mathematicians Bolza and Maschke to his departmen”，而海南琼州大学太师爷聘任的Bolza就是这书作者Gilbert A. Bliss的导师、

4、代数函数更早的书籍还可参考：上面北大校长丁石孙先生说邀请王湘浩院士给他们讲赋值论的北京大学Hsio-Fu Tuan段学复院士其导师之一Claude C. Chevalley就独著涉及赋值论的《Introduction to the theory of algebraic functions of one variable单变量代数函数理论导论》（A. Weil大师评论这书；段学复院士的另一导师Richard D. Brauer的指导博士生最多的2个高徒就都到我后来的导师柳柏濂教授去合作几年诞生教育部审核通过的中国“第一本”数学研究生用书的美国威大并指导出数学终生诺贝尔奖沃尔夫奖得主）；菲尔兹奖设立者约翰·查理斯·菲尔兹(John Charles Fields)独撰的《Theory of the Algebraic Functions of a Complex Variable复变代数函数理论》；J. W. Richard Dedekind和希尔伯特的导师之一Heinrich Martin Weber合撰的《Theory of algebraic functions of one variable》。

5、关于上面还没说完的代数函数，还如我特别要说的：我也有的数学大师Н. Г. Чеботарёв就是Nikolay G. Chebotarev (Н. Г.捷波塔辽夫)独著的《代数函数论》上下册中文版就是一直极具世界影响力的名著（作者Chebotarev是1932年国际数学家大20个报告人之一并他的博士M. G. Krein可是居于陈省身大师之前的第8个即1982年的世界数学界最高终身成就奖-Wolf奖得主，如《Mark G. Krein马克·G·克莱因（纪念他100岁生日）》的摘要说这Krein的博士导师是上面这著名的N. G. Chebotarev并参会科学家252人来自29的国家；关于上面几个领域的关系也如Chebotarev在这书上册说“大批的几何学家用纯几何学的方法来从事代数曲线的系统研究，这样就在代数函数论中发生了几何学的方向-代数几何学”，下册最后2章分别是“代数函数轮中的古典问题”和“代数函数轮中的近代问题”如各有一节是19世纪[数学大师陈省身的导师的导师]Wirtinger维廷格以及Schottky朔特基最后全才Poincaré庞加莱等发展的“阿贝尔积分的反演问题的逆问题”和上面阿廷提出的“Z函数”方面的问题—这里见这书作者的英文名是N. G. Čebotarëv-英文中Č是Ch））这书中文有457页-内容介绍说主要为研究生和研究工作者用书（作者Chebotarev的居于陈省身大师之前博士M. G. Krein有很多著名博士如Israel Gohberg在阿贝尔奖得主Peter Lax的《泛函分析》中最先说他学习的是“从Israel Gohberg那里，我学到了许多东西,特别是Toeplitz算子的指标理论” Krein 的这博士Krasnoselskii的1961年出英文版的《凸函数与Orlicz空间》隔年1962年就翻译为中文版我也有。长期担任苏联科学院副院长的Mikhail A. Lavrentjev拉夫连季耶夫和其学生Shabat合著的《复变函数论方法》由夏定中和哈佛博士施祥林译；Chebotarev(捷波塔辽夫)的讣告是他的师兄弟中在他的下一位的Boris N. Delone写的，在“数学概览”这套国外宗师名著系列有一本《代数基本概念》是他的师侄也是这Delone的博士Igor R. Shafarevich的-此外我也有这Shafarevich写《基础代数几何》[代数几何研究生世界第一教材的作者Hartshorne在前言即这里第3段说学他这书后就可4本书就是2个菲尔茨奖得主、他和Shafarevich的]-如此下面另说这Shafarevich学派）

代数函数还可参考： 6、上面的埃米尔·阿廷博士Serge Lang塞尔日·兰独著的《Introduction to algebraic and abelian functions代数函数和阿贝尔函数引论》；7、David M. Goldschmidt的《代数函数和射影曲线》。

关于上面北大丁石孙校长说的我国赋值论主要开创者王湘浩院士，正如在网上搜素可见：“1979年7月23日到30日，刚刚恢复活动不久的中国电子学会计算机学会（中国计算机学会的前身）在吉林大学召开了“计算机科学暑期讨论会”，会议由吉林大学、北京大学、中科院计算技术研究所、吉林省计算机技术研究所共同筹办，王湘浩担任会议领导小组组长，会议小组其他成员包括吴允曾、吴文俊、刘声烈、陆汝钤、曹履冰、吴治衡、张兆庆、罗铸楷、陈炳从、金淳兆、张鸣华、许孔时等，吴文俊、吴允曾、陆汝钤、张鸣华在全体会议上作了专题学术报告。会议分为智能模拟（人工智能）、计算机科学基本理论与操作系统、形式语言及编译理论、硬件理论及应用四个专题。”--可参考“计算机科学暑期讨论会在长春召开”，这会议被誉为中国的“达特茅斯会议”--也就中国人工智能的开端。直到1985年6月1日中国计算机学会举行成立大会更详细信息可看报道。中国计算机学会第一届（那时叫中国电子学会计算机学会）正副主任6人都是中科院计算技术所和部属所的，委员16人有吉大王湘浩院士，清华金兰，哈军工慈云桂，西安交大郑守淇，及中科院和部属所，第二届副主任王湘浩院士前面的6个人是前一届中科院计算技术所和部属所的等共有13个副主任；第三届王湘浩院士是第一副主任，并如第一二届的正理事长王正、第三届蒋士騛至今都不是院士这仅因他们是中科院计算技术所的而王湘浩1955年已是院士且他的高徒管纪文就编译了很多计算机科学人工智能世界名著或书籍仅一人在早期的比整个中科院计算技术所的还多，第四届王湘浩院士是列在正理事长前面的第2名誉理事，哈工大陈光熙也是名誉理事，正理事长有2人，北大杨芙清是副理事长；第五届仅是2个正理事长互换位置其它似不变多少。

国内较早编写的计算机科学的十门核心课程的较通行教材或权威著作主要出自上面单位如“计算机原理”教科书有：如北京大学的母校华南师大宋万寿参与主编的《电子数字计算机原理》，其前有哈工大苏东庄、胡铭曾、李学时三位教师编写的以祖冲霄为名的《电子数字计算机原理》；西安交大郑守淇，于怡元编写的以“姚林”的名的《电子数字计算机原理》等。清华大学金兰教授主编的《并行处理计算机结构》属于计算机体系结构权威著作。计算机科学的十门核心课程包括：数据结构与算法、计算机组成原理、操作系统、计算机网络、编程语言、数据库系统、计算机体系结构、编译原理、软件工程、人工智能导论。吉林大学就如仅王湘浩院士一个上面高徒管纪文虽开始从事王湘浩院士上面讲授的赋值论且写了这领域很多论文但其后转向计算机人工智能并编译了很多计算机科学与人工智能世界名著或书籍。（可惜管纪文教授1990年和人工智能先驱Victor R. Lesser等合作的论文Dempster-Shafer theory and rule strengths in expert systems单位已是英国的，其后管纪文教授是1980年计算机诺贝尔奖图灵奖得主Tony Hoare托尼·霍尔1968年至1977年任教的The Queen's University of Belfast英国女皇大学教授，还见1985年获得吉大硕士并1984年起一直和他合作论文的张成奇已是澳洲悉尼科技大学校长）。

科学出版社的“计算机科学丛书”的主编也是王湘浩院士（副主编胡世华院士，编委许孔时所长、吴允曾教授、杨芙清院士、唐雅松院士、徐家福教授、萨师煊教授），且出版的书我都有并也全是数学人都可读的。

关于王湘浩校长和管纪文是我国人工智能先驱，也如最早的中国计算机学会人工智能分会一共有5个正副主席并正主席是吉大王湘浩校长，副主席是中科院李家治研究员、浙大何志均教授、吉大管纪文和清华石纯一教授（关于何志均教授如“浙大这个师门，堪称传奇！”竟是说他的--要知浙江大学百年来大师及其高徒辈出却竟然是指他的如这里说他培养出潘云鹤、吴朝晖等人工智能领域领军人才[潘云鹤已是浙江大学正校长中国工程院原常务副院长-正部长级、刚见吴朝晖也已是浙江大学正校长国家科技部副部长] ，不过我考研究生前他们仍是默默无闻）而吉林大学在计算机科学的先驱性更如。

并关于上面“1979年中国的‘达特茅斯会议’”，可见“这场大会帮助吉林大学树立了人工智能研究执牛耳的地位”，“大会后到吉林大学了解人工智能的兄弟院校越来越多。1980年，教育部委托吉林大学举办人工智能研究班，清华大学、北京航空学院等16所高校派出老师来到吉林大学学习人工智能”--清华大学在王湘浩院士逝世的90年代以后可是中国人工智能的最强中心。不过，这是欧美人工智能都停滞不前，我国更是因刚文革结束仅主要是几个单位在初步探索，所做领域也极有限，如中国人工智能学会其时就一直挂靠在中国社会科学院由社会领域主管。所以，他们都仍愿做为计算机科学技术之中之下的探索而只尝试做为中国计算机学会的一个部门一个分会。就如清华大学“吴建平院士介绍，武汉大学是国内最早从事人工智能研究的单位之一，武汉大学计算机科学系的曾宪昌教授曾任中国人工智能学会第一任副会长”。 高分考上北京大学数学系但因抗战爆发而留在他父亲的武大的曾宪昌教授是海南琼州大学的师爷黄际遇师的完胜北京大学首届学生曾昭安的儿子，并就如曾宪昌教授的最早的研究生刘初长说武大AI自1978年起招收的前几届研究生毕业时都也一直拉去王湘浩院士吉林大学合作答辩-可见以前仍在探索需要更多合作。就如袁萌说1981年左右“我与上海计算所的李太航（中国人工智能学会副理事长-可见吴文俊等前辈不掺和没什么资格却趁机浑水摸鱼捞一把的这些人-竟还搞到由社会科学院主管-而中国计算机学会的一个分会还算有更多相近同行主管监管）两人曾去中科院数学所请教一位数学界的老前辈，询问“人工智能”的提法是否科学？答案是完全否定的，甚至连“机器智能”也不能用。对此，我们很失望”（袁萌去请教的是我国人工智能的先行者上面的吴文俊大师-还请求吴大师任职-他俩是什么人有资格这样乱搞的吗-至少应是更多最权威一级同行考虑成熟请求的才可行啊，若这学会早期得到更多这领域开拓大师级权威参与当领导就有更大号召力更利于人工智能发展。不过这个袁萌不仅是几个软件公司总工还是中国开源界的领军的中国开源软件推进联盟副秘书长、北京大学教授还兼任省委常委出席的金航学院首任院长等等如在北京大学举办首个“国际软件自由日”嘉宾有国务院室主任陆首群北京大学软件院长北大软件总裁陈钟CSDN等公司董事长蒋涛第四个是北京大学教授袁萌并做主题演讲第1个也是袁萌第2个是宫敏…看来他还是得到北大认可的，并最近2000年说“‘JAVA工具库’程序，最需要的是抽象思维，在这方面，数学系学生比计算机系学生潜力大”）。

关于p-adic，经典的可参考上面哈塞大师和爱因斯坦等学者评价其为"数学史上最重要的女性"合作指导的博士Otto F. G. Schilling写的《The theory of valuations赋值论》由普林斯顿大学Gerhard P. Hochschild在美国数学评论评论这书等。

赋值论(valuation theory)是域论的一个重要分支，而赋值论主要是讲p-adic赋值，如此，域论都包含p-adic赋值，当然，一般都会讲许多p-adic的相关知识，就如永田雅宜的下面《域论》一书主要就讲赋值论：

永田雅宜(Masayoshi Nagata)独撰的1977年出版的268页的《Field theory域论》一书（就如这书作者Masayoshi Nagata的博士生Shigefumi Mori森重文主要做代数几何并在1990年获得数学诺贝尔奖菲尔兹奖并最近2015年又担任国际数学联盟主席），等等。

代数几何还除了埃米尔·阿廷的博士Serge Lang塞尔日·兰独撰的《Introduction to algebraic geometry代数几何导论》外代数几何更多可参考这页就在此少说。

（在这段接着上面第5再专门说Igor R. Shafarevich学派等相关苏联大师-如他的博士Yuri I. Manin的博士Vladimir Drinfeld是1990年菲尔茨奖得主德林费尔德，Igor R. Shafarevich的另一博士Yuri I. Manin的博士Alexander Beilinson即亚历山大·贝林森也很厉害，特别要说刚见的Igor R. Shafarevich的博士Yuri I. Manin的博士Vyacheslav V. Shokurov的博士Caucher Birkar是刚获菲尔兹奖的代数几何专家并此前多次来中国--Birkar的另一导师Fesenko的祖师也有Delone但Fesenko的其他博士不做数论就做群论）。搜索全球最厉害的三大数学强国见前苏联占一位（当然不论评选三大还是几大都使人对落选国可惜）-并前苏联有2个主要源流：①一个是罗巴切夫斯基(Lobachevsky)1811年获喀山大学硕士®Brashman苏联喀山大学博士（Brashman当选莫斯科数学会第一届主席并且第二届主席也是他的博士Davidov）®Chebyshev切比雪夫® Korkin®Grave®这捷波塔辽夫和Delone师兄弟俩；②另一源流是Bugaev（虽1866年在莫大获学位但导师是Weierstraß魏尔施特拉斯等3个外国人，这Bugaev只自第四届莫斯科数学会起才当选主席）® Egorov（当选莫斯科数学会第八届主席）® Luzin鲁津®这里2个写纪念莫大校长文章的 Kolmogorov和 Aleksandrov等（符号®两边的关系是后者是前者的学生）。可见前一个源流更使前苏联俄罗斯有悠久的民族骄傲感（如“19世纪以前,俄国的数学是相当落后的,直到切比雪夫创立了彼得堡数学学派以后,才使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界”，而另一源流的初祖Bugaev在1866年毕业之前，那一源流前3个:罗巴切夫斯基、比Bugaev早的1849年已毕业的Chebyshev切比雪夫就已是开创某些现代数学学科的先驱-另一人Brashman也是莫斯科数学会第一届主席；关于前苏联位居全球最厉害的三大数学强国之由-可参考这里⑴复分析、⑵偏微分方程、⑶泛函分析、⑷常微分方程[如切比雪夫提出的二阶线性常微分方程，以及他的博士李雅普诺夫在常微分方程定性理论的开拓奠基作用等等]、⑸代数函数代数几何有上面的捷波塔辽夫及师侄等，还有在概率论有Chebyshev(切比雪夫)的博士A. A. Markov(马尔可夫)和上面Kolmogorov等、上面罗巴切夫斯基开创的双曲几何…，可能前苏联在拓扑学以及微分几何等不如在前面学科起重要开拓先驱作用但这里给海南琼州大学来信的第2封前苏联最年轻院士的《现代几何学》第一、第二、第三卷世界巨著是包括这2个几何学科的……，这也是我们海南琼州大学尽全力积极促使我国出版社更多更深入了解前苏联数学进而出版它所有大师的著作之因）。

在此插入最近涌现的北京大学数学“黄金一代”就都做上面3个领域：代数函数、代数几何和代数数论，在此说另一个领域-代数数论（关于这领域在北京大学举办的“1996年全国数学研究生暑假学校”的《代数数论讲义》说“代数数论的系统理论创始于[这页最后段的柏林大学校长]Ernst Kummer库默尔…”），并当然这几个领域就如上面华罗庚大师的巨著所说这几个领域有一些共同的脉络-如代数数论与代数几何交织的韦伊猜想说“该猜想起源于1934年上面第一行哈塞对椭圆曲线黎曼猜想的研究，1960年，德沃克(B. Dwork.)证明了猜想1…”-另有介绍这猜想只推荐阅读2本代数数论书[就是埃米尔·阿廷的博士Serge Lang塞尔日·兰独撰的《Algebraic number theory代数数论》和这里第24的Neukirch, Jürgen的书并第18的他师弟Korte, Bernhard是我们图论组合数学大师]，就是互联网上见的“1959 年,B. Dwork 用p-adic 方法证明了第一个韦伊猜想”，可参考上面埃米尔·阿廷（Emil Artin)的博士Bernard Dwork在1982年的310页的书《Lectures on p-adic differential equations》，博士论文做拓扑代数的Edwin Weiss的《Algebraic Number Theory代数数论》，也要看希尔伯特的博士Erich Hecke埃里希•黑克的《Lectures on the Theory of Algebraic Numbers代数数论讲义》，代数数论较早的还有大数学家Hermann Weyl赫尔曼·外尔的的《Algebraic Theory of Numbers代数数论》。

8、被誉为北京大学数学“黄金一代”的几个人中的其中回北大任教的3个国际数学奥赛金牌得主的满分肖梁、金牌刘若川、金牌袁新意都做代数数论（前2人都跟Kiran S. Kedlaya做代数数论博士论文、袁新意跟张寿武也做代数数论博士论文）-最近Kiran S. Kedlaya在2010年出版380页与上一本同名的书《p-adic differential equations》--肖和刘也是获得3届国际数学奥赛奖牌的导师Kiran S. Kedlaya的最先2个博士并已是北大数学学院副院长的刘若川的工作正是属于他导师这书的最后章的标题“p进霍奇理论”即“p-adic霍奇理论”，如此这书还是值得深入读的，当然内容是不断拓展的-在这网见他有不到20篇论文（这网常有重复等）或以美国数学评论为准但确有3篇顶级论文不过猜想问题满天飞特别是象他做的很多领域仍在等待着仿照加入p-adic又可相应衍生类似的领域还可一起附加其它限制以得到更多尤其和其它领域的联系如有6篇顶刊的与他合作的“一代”朱歆文做的p-adic代数簇所以遇上知音编委是关键（这“黄金一代”中还有满分恽之玮、另2个不参加奥赛的许晨阳、朱歆文都做代数几何并都在美国名校混得很不错，最后还有最先当选院士的张寿武的博士张伟当然与前一博士袁新意都做代数数论，以及最失意的宋诗畅在北方交大副教授算是失败，当然北京大学数学“黄金一代”这些人中刘若川、许晨阳是1999级以及袁新意、朱歆文、恽之玮、张伟是2000级肖梁是2001级的而这3年学生每年有约200人三年共约600人那肯定还有成就也不错的至少在其它行业（就如这里说“1999级的刘若川、许晨阳，2000级的恽之玮、袁新意、张伟、朱歆文，以及2001级的肖梁等杰出学者”，当然迟一二届的2002年的奥赛满分Botong Wang同2002年读北大做代数几何和组合数学交叉的王博潼[现是这页中部海南琼州大学的导师去合作的威斯康星大学的2届奥赛满分Jordan Ellenberg的同事]、2003年读北大后也跟张寿武做代数数论博士的年轻的刘一峰已控制浙大数学）怎能不算“黄金一代”-而这3个领域仅是这页代数学融合相关领域后的十几个领域之三（并我1985年考西南联大名师的研究生前我读过这3个主副导师编译的6本书就含这仨领域-当然许多领域的疆界一般是没有穷尽的，更多可参考这里的各数学领域）。

附最近的一篇相关文章“何为好数学？”，作者简介：上野健尔(Kenji Ueno)，京都大学数学系名誉教授，日本数学协会会长等（这会长所推崇的岩泽健吉还可参考他的名著《局部类域论》由冯克勤翻译1986年科学出版社出版等）

上野健尔 (Kenji Ueno)

好数学之含义随数学之发展一直在变化着，此话题亦和好教科书与好老师相关。我想从以下几个观点来论述。

复数和复分析

何为好数学？可以分为两种不同类型：针对学习而言，何为好数学；以及针对研究而言，何为好数学。当然，此两种类型亦是彼此相关联的。好数学之概念随数学之发展一直在改变。例如，虚数是卡尔达诺(Cardano,1501—1576)在其名著《大术》(Ars Magna)中首次引入的。为了求解两个数，其和、其积依次为10、40，而引入虚数（第37章，法则2），这令当时数学家很困惑。卡尔达诺本人对于虚数的实际意义也很犹豫，他写道：

“虚数就是这样可以像通常一样进行算术运算，这些令人感到神秘的最后结果犹如其名，真是又精致又不中用。”

奇怪的是，虽然《大术》主要致力于3次方程和4次方程的解法，但是他却没有考虑3次方程的虚数解，从而使他错过了发现虚数的重要性和有用性。不久，邦贝利(Bombelli,1526—1572)受卡尔达诺著作的激励，利用虚数完整地发展了3次方程理论。甚至，他用虚数还发现常用数的一些奇怪表达式，譬如 4=³Ö(2+11i)+ ³Ö(2-11i),其中i是虚数单位。因为 (2+i)³=2+11i，(2-i)³=2-11i，两边开立方便知，上述等式成立。

邦贝利的著作《代数》( L' Algebra)在整个欧洲数学家中受到广泛重视，其著作明确呈现出虚数在解代数方程中的重要性。但是，却没有多少数学家愿意接受虚数确实是数。

欧拉(Euler,1707—1783)是个例外。他自由地使用复数并发现一些优美公式，譬如 e^2pi=1.

即使欧拉已经发现许多关于复数的有趣结果，仍然很少有数学家认识到复数是数。因此，在1799年，高斯(Gauss, 1777—1855)写作他的关于代数基本定理的论文，此文陈述了任何具有复系数的方程在复数范围内均有一个根的理论，他避免了利用复数来陈述代数基本定理。取而代之，他将定理改写为，任何具有实系数的方程均可以分解为1次、2次不可约多项式的乘积。

完全意识到复数之重要性是在柯西(Cauchy, 1789—1857)发现复变函数论（复分析）和黎曼(Riemann, 1826—1866)建立代数函数论以及黎曼曲面论之后的事。经过300余年，几乎所有数学家才认识到复数确实是数。

故事还在继续，在20世纪30年代量子力学诞生时，物理学家发现复数的使用是非常关键的。如此一来，复数不仅在数学的许多不同领域扮演着重要角色，在物理学依然如此。现在，复分析学已经成为最漂亮的数学学习课题之一。

可以想象，在高斯的时代就很难说，涉及复数的数学是好数学。你必须在数学上有好的直觉和鉴赏力才行。因此，历史上仅有柯西和黎曼才会深入研究复数。这告诉我们，可供研究的好数学实际上依赖于不同的人。只有随后的数学发展才能证明你当初的选择成功与否。这也告诉我们，只要你对某个课题非常感兴趣，它对你来说就是好数学。

好教科书

另一方面，可供学习的好数学就是学习时必须选择好课题。当然，找到相关的好教科书是非常重要的。我想强调一下，没有适合所有人的好教科书。

我有一段特别经历。刚进入大学时，我还没有学过复分析学就曾经试图阅读岩泽健吉(Kenkichi Iawasawa)的《代数函数论》。第一章开始是赋值论，从逻辑上讲要理解其推理并不困难。但是，我当初并不知道代数函数域的赋值对应着相应的黎曼曲面上一点这样的事实。因此，我难以理解赋值论的真正含义。这样就没法进一步阅读该书了。几个月之后，我再次阅读该书就稍有入门了，就这样反复重复地阅读这本书。最终，我便能理解该书的内容了，因为其间我不得不学习了一些其他的包括复分析方面的数学知识。

但是，这种方法只有在你找到适合自己的好教科书时才起作用。我还有另一段经历。几乎在阅读岩泽健吉《代数函数论》的同时，我还开始阅读一本关于复流形上的调和积分的书。从这本书中，我第一次了解到黎曼几何、复分析和纤维丛理论。对于当时的我来说，书中包含的许多新的数学概念是如此困难，我不得不反复多次阅读，直到我认为自己掌握了相关课题为止。后来，当我选择复流形论为我的研究领域时，我才发现从这本书中我几乎没有学到什么。这是因为作者在书中仅仅堆砌了已有知识，而没有自己的任何新见解。该书的品位不能和岩泽健吉的书相提并论（注:看这里的搜录）。当然，如果当初我在此课题上更有天资的话，通过学习调和分析主要结果，也应该独立地在自己的选题上有所建树！现在回头说这些话，无非是想说明一个道理：要为自己认真仔细地选择好教材，以便我们更容易在自己所学课题上发现好的观点和思路。

通常，以名著为教科书还是具有广泛适应性的。但是，如果我们感觉到对它没有多少阅读兴趣的话，那最好还是另换一本再试试看吧。

欧氏几何和非欧几何

初等几何对于训练正确的逻辑思维非常重要。但是，初等几何往往使人头疼，因为解题并不容易。你经常不得不做辅助线，一旦找到恰当的辅助线，问题便会迎刃而解。这会让你享受到发现的快乐。从这个角度而言，初等几何可谓最令人着迷的数学课题之一。在你苦思冥想证明方法时，你就得同时进行正确的逻辑推理。困难的是逻辑推理并不足以让你找到恰当的辅助线，这要求你得有良好的几何直觉。当然，逻辑推理对于得到证明思路是必需的，而要找到恰当的辅助线，你就得更加努力。常见的情况是，为了考试仅仅死记硬背一些定理和问题的证明过程，而不求甚解，这是一种不好的学习数学的态度和习惯。如果你只是记忆证明过程，就会失去提高你数学能力和数学直觉的良好机会。

如果能了解一点非欧几何知识，初等几何会变得更有吸引力。非欧几何的前期历史是久远的。欧几里得在他的《几何原本》卷I中，曾经利用第5公设来证明命题29。

命题29

若一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同位角相等，同旁内角的和等于两直角的和。

第5公设

若一条直线落在两条直线上所构成的同旁内角和小于两直角和，则把两条直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角和的一侧相交。

图1　第5公设

通过阅读《几何原本》卷I，可以感觉到欧几里得本人似乎对第5 公设心存犹豫。事实上，随后的古希腊学者一直在努力消除对第5 公设的疑问。他们或者寻求一个更加自然的等价公设来替代它，或者试图把它当作一条定理并给出证明。中世纪的阿拉伯学者也有过这方面尝试。直到17—18 世纪，欧洲数学家也开始卷入这个问题之中，其中的主要人物有萨凯里(Saccheri,1667—1732)。在证明第5 公设的所有这些努力清楚地表明，第5 公设等价于下面的平行公设。

平行公设

过已知直线 l 外一点 P 能且只能做一条直线与已知直线 l 平行。

有趣的是，如果把欧氏几何的平行公设变成双曲非欧几何的平行公设后，到底会发生什么？所谓双曲非欧几何的平行公设的含义是，过已知直线 l 外一点 P 至少能做出两条直线与已知直线 l 平行。如果这样的话，便容易推出过已知直线 l 外一点 P 有无穷多条直线与已知直线 l 平行。

图2　若过点 P 的直线 m_1 和 m_2 平行于直线 l，则过点 P 的位于 m_1 和 m_2 之间的直线 m 也平行于直线 l

这似乎是荒谬的。但是，在 1829 年罗巴切夫斯基 (Nikolai Lobachevsky, 1792—1856) 发表了关于新几何学的论文，从双曲非欧几何的平行公设建立了非欧几何。在1832 年波尔约 (Janos Bolyai, 1802—1860) 的有关非欧几何的内容也在他父亲的一本欧氏几何书的附录中出版了。现在，这种新几何学叫做双曲非欧几何。开始的时候，几乎没有数学家相信他们的结果，仅有高斯是个例外。高斯也曾独立发展过非欧几何，却从未发表过他在这方面的成果。后来，有几位几何学家发现了非欧几何的优美的现实模型，非欧几何才逐渐被数学家们所接受。但是甚至在19 世纪末，仍有数学家不愿意承认非欧几何。康德 (Emmanuel Kant, 1724—1804) 把欧氏几何作为他的哲学基础之一。当时的欧洲哲学界普遍认为欧氏几何是绝对真理的化身，它是无懈可击的，它是人类所生存世界的唯一几何解释。

以一种完全不同的面目，高斯在他的一篇论文中，研究了3 维空间曲面的内蕴几何性质。曲面上两点的最短距离不必是直线。黎曼把高斯的理论作为其中一个具体的模型，建立了更一般的几何学，即所谓的黎曼几何学，从而使各种几何学在数学上成为可能。黎曼指出，我们居住的现实世界的几何模型只能由物理来决定。这样一来，他便为爱因斯坦 (Einstein) 的相对论在数学上铺平了道路。

下面的图 3 是一种非欧几何的模型。它是一个单位圆盘，所谓的“直线”在这里对应着圆盘内部的半圆线，这些半圆线均垂直于边界圆，或者说直径。其中任意两个半圆线在交点所成之夹角为这两个半圆线在交点的切线的夹角。这是双曲非欧几何的一种简单明了、富有启发性的模型。庞加莱 (Poincaré) 就是利用这个模型建立了自守函数论。

图3　双曲非欧几何的一种简单明了的模型

以上历史说明，预测一种理论的未来并非易事。不过如果能够多少了解一些非欧几何，我们中学的初等几何学习会更令人兴奋，因为比较一下两种几何的相关定理是非常有意思的。譬如，双曲非欧几何不存在相似性概念。这难道不令人吃惊吗？在欧氏几何中，两个三角形的对应角相等只能得出这两个三角形相似，而非欧几何中这两个三角形必然全等。π —— 圆的周长与直径之比—— 在欧氏几何中完全独立于直径的大小，而在非欧几何中 π 事实上依赖于直径的大小在变化。因此，了解更高级的相关课题，并比较相关课题中的类似概念，可以深化人们的理解能力。这就是说，学习相关课题的更高级知识对于提高自己在课题上的理解力和鉴赏力作用甚大。但是，怎么才能做到这一点呢？仅仅依靠自己是很困难的。所以，有个好老师来点拨你，有一些好朋友来一起讨论大有必要，其效果不可小觑。

可供研究的好数学

到底何为可供研究的好数学？这涉及数学的许多不同领域和其他学科，它也是不断发展变化的。经常见到的情形是，在数学的某个领域发展的高峰时期，人们感到它非常漂亮和重要。但是，令人遗憾的是剩余的有趣问题异常难解。如果你能解答如此难题，你会无比幸运。不过通常这样的问题确实是非常困难的，你不懈努力却进展甚微。因此，为自己找到一个感兴趣的新兴课题不失为一种明智的作法。另一方面，这种选题的重要性只有未来才可检验，新人是容易捷足先登的。

在我的学生时代，泰希米勒(Teichmüller)空间理论发展到高峰（上面日本天才Shinichi Mochizuki望月新一就写关于此理论的书），我错误地认为它似乎难有新的进展。但是几十年之后，它在几个不同方向都发展迅速。它和映射类群论相关，亦和物理学纽结理论(knot theory)以及弦理论(string theory)相关联。一个相关案例是纽结理论。在我的学生时代，纽结理论仅是拓扑学的一个小分支，老师建议我们做这方面研究得有好的几何直觉。那时候只有一种纽结不变式，即所谓亚历山大(Alexander)多项式。亚历山大多项式不够强大，不足以用来区分不同的纽结，因此必须有好的几何直觉，才能区分复杂的纽结。新的进展发源于完全不同的领域，即算子代数论（上面吉林大学江泽坚教授做的领域）。琼斯(Jones)发现了以自己命名的关于纽结不变式的琼斯多项式。这个发现之后，各种新的纽结不变式应运而出，从而呈现出3维流形拓扑类和纽结理论具有深层关联。现在，纽结理论已经成为数学的最活跃领域之一。这也说明，一个新的发现会彻底改变数学的面貌，使一个非常专门化的领域成为整个数学的中心。

我的一位朋友是纽结理论方面的专家。他曾告诉我，在他年轻时候有许多朋友甚至老师劝他放弃他的研究领域，换成当时的一个活跃领域。但是，他对纽结理论的重要性很自信而没有改变。他做对了。可是不可能每个人都能像他一样幸运。即使你在自己感兴趣的领域辛勤工作不懈努力，也可能难有重要进展。

因此，选取一个新领域或者当时还不活跃的数学领域来研究实际上也是一种冒险。但是，没有这样的挑战，数学就不可能发展。最后，我想概括一下我的观点，可供研究的好数学就是你本人最感兴趣的那些数学，离开它们，你便无法继续你的研究。

本文原载于丘成桐等主编“数学与人文”丛书第11辑《好的数学》，北京：高等教育出版社，

关于Kenkichi Iwasawa岩泽健吉，志村五郎(Goro Shimura)说“The course Shimura enjoyed most was taught by Kenkichi Iwasawa”； 岩泽健吉Kenkichi Iwasawa的导师是日本数学之父Iyanaga那岩泽健吉Kenkichi Iwasawa就有很多世界级的师兄弟如获得沃尔夫奖的佐藤斡夫(Mikio Sato)关于此君最近Schapira写“Mikio Sato, a visionary of mathematics洞见数学之人”，其师兄弟还有现代随机分析之父Kiyosi Ito伊藤清并其写“Yasuo Akizuki秋月康夫老师的数学观”，Yasuo Akizuki秋月康夫的博士Teruhisa Matsusaka松阪辉久的博士János Kollár 的博士有上面Chenyang Xu许晨阳，并这秋月康夫和岩泽健吉的师弟铃木通夫(Michio Suzuki)合写《高等代数学》I和II，还和上面森重文的导师Masayoshi Nagata永田雅宣合写《近世代数学》以及《代数几何》；其师兄弟还有Kunihiko Kodaira小平邦彦做代数几何并写了很多书如《复分析》就很著名；也可参考日本数学之父及其高徒们对格伦的贡献，以及这页倒数第2段、或者这页还如这页等）；而关于上面吉林大学为啥在我国计算机学会以及人工智能分会有如此重要的地位-就如1957年上面王湘浩请来苏联梅索夫斯基赫教授帮助建立吉林大学计算数学专业这是因如这里“计算机教育的‘以俄为师’”说当时1956年教育部“十二年科学远景发展规划”只有吉林大学和北京大学设置“计算数学”专业而这个梅索夫斯基赫就是I. P. Mysovskikh见有60周年庆贺文章（作者Z. I.Borevich的导师是Dmitry Faddeev,，I. K.Daugavet是诺贝尔奖得主康托罗维奇的博士也是梅氏的师弟）、70周年庆贺文章（作者G. A. Leonov的导师V. A. Yakubovich是康托罗维奇的师兄弟，V. V.Petrov的导师Yuri V. Linnik；吉大除王湘浩管纪文还有刘叙华姜云飞金淳兆刘大有金成植徐立本等）。