这页简介代数几何(这里另附它的一些相关的作用,并可知日本已有约3个诺贝尔奖得主的1985年我考他的研究生的西南联大名家有一个学生是中国不到十个学习研究代数几何的人之一并后来也还算有成就):

这代数几何,其发端自3个意大利人,再其后主要由Zariski法国Andre Weil(韦伊)2人为主导的一些数学家为之奠基,可见国际数学联盟主席David Mumford的《代数几何I》的“引言”的陈述并如这书说very hard to read”的下面代数几何上帝的书也说“献给ZariskiWeil”(其不易也如Mumford主席也说他的这本薄薄的186页书说是为哈佛大学2年级研究生写的,可这本书只相当于下面Hartshorne的《代数几何》的第1章)。关于Andre Weil,他是在上世纪30年代已参与创建Bourbaki(布尔巴基)学派,并在日后漫长的岁月中成为该学派的精神领袖,如“布尔巴基学派是一个对现代数学有着极大影响的数学家的集体。其中大部分是法国数学家,主要的代表人物是韦伊、迪多涅、嘉当、薛华荔等人”(如关于André Weil在如Summary说他是从事“algebraic geometry代数几何的法国数学家-并他也是获得2届沃尔夫奖20世纪排名7数学家Weil韦伊并撰写《椭圆函数》,如Weil提出椭圆曲线的重要猜想以及高度理论,是抽象代数几何学奠定人,但他的绝大多数博士都在美国培养,这就是下面要说的在这时期或其后代数几何便以各种形式转移到美国或在美国茁壮成长并逐渐成为世界中心,参考Serre的纪念文章、朗兰兹写的纪念文章、志村五郎的纪念文章等)

关于Weil的该国后学-1991年担任国际数学联盟主席1997年担任法国科学院院长等Jacques-L. Lions也说一下,他是法国5个中科院外籍院士之一并是唯一的数学院,他的博士许多都成了数学权威大师而他却数学三大奖都没有获得一个

不过Jacques-L. LionsEnrico Magenes合撰非齐次边值问题及其应用他俩就凭这方面的工作分别获得第一第二届国际工业与应用数学大会的拉格朗日奖(第三届获得者是Joseph Keller-其是Richard Courant的博士并比Lions6

Jacques-L. Lions的儿子Pierre-L. Lions1994年就获得数学界的诺贝尔奖菲尔兹奖,并也是做非线性偏微分方程Lions的博士Cédric Villani也已获得菲尔兹奖:刚看到Villani合作指导的博士Alessio Figalli也刚获得菲尔兹奖

被称为代数几何上帝的20世纪最伟大的数学家之一的Alexander Grothendieck格罗滕迪克是比Lions高一届的师兄我很多年前就已购买他俩的导师Laurent Schwartz洛朗·施瓦茨在这里第4撰写的广义函数论》一书--施瓦茨正是因广义函数论的工作而获得2菲尔兹奖(这获得6菲尔兹奖的是这被称为数学皇帝Alexander Grothendieck-其独著并得到他的另一导师Jean Dieudonné协助的《代数几何学原理》 I 概形语言和 II.几类态射的整体性质我都有[下面见这书“very hard to read-确实如此]Alexander Grothendieck指导的博士论文也做代数几何Pierre Deligne不仅获得菲尔兹奖也获得另2个和其同等份量的沃尔夫奖和阿贝尔奖-其神奇不逊其导师--他的博士论文做代数几何的徒孙Peter Scholze刚获得菲尔兹奖(所以,法国代数几何值得大书不仅因Andre Weil(韦伊)更因“20世纪的代数几何天才很多,上帝只有Grothendieck格罗腾迪克一个”,而Alexandre Grothendieck不仅因代数几何体系泛函分析中的核空间张量积而获菲尔兹奖他的博士Pierre Deligne也是因代数几何中的部分韦伊猜想而获菲尔兹奖),除了Pierre Deligne至今还有另3个人对菲尔兹奖、沃尔夫奖、阿贝尔奖这3大奖全都获得--第一个全获得的是法国代数几何大师Jean-Pierre Serre如他获得第一届阿贝尔奖的理由是“他在确立包括拓扑学、代数几何和数论关键作用”,代数几何上帝的书也隐意他和上面ZariskiWeil是对代数几何推动最大的3个人(顺便介绍Grothendieck格罗滕迪克的另一导师Jean Dieudonné狄多涅不仅独撰《代数几何历史》、并也写的《典型群的几何学》极为著名我国华罗庚大师的主要领域就有典型群,并其学生万哲先院士和龚升等都撰写典型群著作)。

关于法国,有一对都是世界领袖级父子即Cartan嘉当父子也为代数几何做出突出贡献(即Elie CartanHenri Cartan,杨振宁的“欧高黎嘉陈”的嘉是指老嘉当,而小嘉当是代数几何大师曾任国际数学联盟主席并小嘉当的博士Jean-Pierre Serre就是前面获得3届菲尔兹奖并是至今获奖时最年轻纪录保持者Serre比上面老Lions3小嘉当的博士René Thom也获得4菲尔兹奖[每四年颁发一届的4菲尔兹奖每届都只授予2]小嘉当享年105岁而Serre1926年生也已近百岁了--2个百岁老人的书我都各购买几本,他俩和上面20世纪最伟大的数学家之一Alexander Grothendieck都是法国的世界级代数几何大师-可见就是近半世纪来法国的代数几何仍完全可匹敌美国。也即至于美国学派,在意大利Castelnuovo为首开创这学科之后,Castelnuovo博士Zariski等人其后就移居哈佛大学等,使代数几何便以各种形式转移到或在美国茁壮成长并逐渐成为世界中心,上面国际数学联盟主席David Mumford的《代数几何I》第4章是“Chow’s定理”且是共8章中唯一标题中有人名的-其中的Chow是后面的周炜良,并他的导师就是荷兰B. L. van der Waerden-B. L. 范德瓦尔登并其独撰的《代数几何引论》也一直是较受欢迎的权威书籍(关于较著名的父子数学家中国也有姜立夫,姜伯驹和周达,周炜良父子等,其中姜伯驹是同调论先驱-与下面代数几何的上同调密切相关,而周炜良是前面美国代数几何先驱)。

关于近几十年来代数几何权威经典教材,公认的是美国R. Hartshorne的《代数几何》。以前我国过分宣染的克正说的他读研究生用书-就是这R. Hartshorne的这《代数几何》(正如李克正说他的Arthur Ogus对这书第一章开始,一章一章往下讲--它的各章依次是:代数簇、概型、上同调、曲线、曲面共五章这样写是该书说学派用概型同调语言重新叙述代数几何基础令人印象深刻-如此它俩构成本书的技术核心,用以研究代数曲线和曲面的经典理论中的课题。这作者Hartshorne在这书前言我在哈佛和伯克利教过这些材料,我用五个学期教过这些内容,基本上一个学期讲一章(这意味着什么-这可是研究生课而非本科生课-不信邪的吗)要知这书仅496

R. Hartshorne在这《代数几何》前言说“读过这本书后,就可以进一步去读更高深的著作”并他依次列出的书的作者书名为Alexander GrothendieckR. Hartshorne自己,比他早入学2的他的师兄国际数学联主席David MumfordIgor Shafarevich4人的书(最后的Igor Shafarevich的书是1965年的《Algebraic surfaces》,但一直没见有这本书--不过后面2卷的第2部分是代数曲面并是他和Iskovskikh合写的。再多说这最后的前苏联大师Igor Shafarevich(I. R.沙法列维奇)--他也撰写名著《基础代数几何(1)》和《Basic algebraic geometry基础代数几何(2)》并最近独撰《代数几何》1卷、主编2卷,其后他的博士Parshin接着主编3卷、4卷、5卷我国有售并大多是他的博士或徒孙撰笔写,这沙法列维奇和还他的博士A. I. Kostrikin柯斯特利金最近主编《Combinatorial and Asymptotic Methods of Algebra. Non-Associative Structures代数的组合数学方法与渐近方法. 非结合结构》(G.Faltings G.法尔廷斯就证明这沙法列维奇猜想也证明Louis Mordell猜想而使他享誉世界)(1970年获诺贝尔文学奖并被誉为“俄罗斯的良心”的索尔仁尼琴1978年在哈佛大学演讲“人无他路可走,除却向上”的中间“社会主义”一段说“著名数学家、俄科学院院士伊戈尔·沙法列维奇[就是这Igor Shafarevich]先生曾著有《社会主义》一书。该书深刻的分析指出:任何性质、任何程度的社会主义都将导致人性的彻底毁灭甚至人类的灭亡。这本好书两年前在法国出版,迄今为止没有任何人对其观点提出异议。此书不久也将在英美面世”。我们是否要批判Igor Shafarevich和这俄罗斯的良心观点立场思想本质人性-但其实他们纯粹是吃饱了撑的浪费时间精力-没市场的国家实没办法靠打打嘴仗可理解--你知道社会主义是什么?没有人知道!在不同国家都肯定很不一样,我国现在的官等是骗抢夺随心所欲肥得流油-怎么灭亡?而且我国是世界第一市场国-就是没有市场的象朝鲜等都活得好好的-且其本身就没市场就也没失,此外俄罗斯的良心还说亲身经历之后,我绝对不会为社会主义说话,这混蛋良心-你与中国相反的地广资源多又人稀的俄你不搞专制锁国-以让中国等其他国家对人均资源不公的气愤但无奈而消去;开放更让你国因处寒带几人愿长住-只为你没市场却利用各种市场而非专制计划方式拿走掠夺你的资源)

关于上面这些书,我着重读获得菲尔兹奖的国际数学联盟主席David Mumford独撰数几何I197619811995出版的都是重印1976年版-至今也未见第II卷)和这批判社会主义的Igor Shafarevich(I. R.沙法列维奇)的《基础代数几何(2)》(我着重读这两书是因Mumford主席1976年出版的这《代数几何I最后第186页附3段中文说作者“1962年起一直讲授代数几何课程,本书是他十几年讲课的结晶。…。Igor Shafarevich所著的《Basic algebraic geometry基础代数几何》也是一本介绍代数几何的书,这两本书各有特色,内容相辅”,并且他俩一直以这2本书分别在哈佛大学和数学的世界第一强校-莫斯科大学给研究生授课。这2本书都是英文版-这领域的中文版书很少)。最近获沃尔夫奖的P. Griffiths和他的博士J. Harris的《Principles of algebraic geometry》也是着力读的内容丰富的巨著。

再说代数几何上帝的Grothendieck的书,如他的书竟还被Barbara FantechiLothar Gottsche、他的博士Luc Illusie(其《代数几何论题》被一些人推崇取代Hartshorne的《代数几何》,应一读也因其徒孙中有刚获菲尔兹奖的吴宝珠和其师兄Lafforgue[江泽民主席颁发的菲尔兹奖的2个得主之一])、Zariski 的博士Steven L. KleimanNitin Nitsur合作撰写名为Grothendieck的《基础代数几何学(FGA)》解读-如此多已是大师级人物解读-足见之难(这《基础代数几何学(FGA)》原著的第1卷是《Le langage des schémas概形语言》、第2卷是《 Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes几类态射的整体性质》、第3卷是《Étude cohomologique des faisceaux cohérents凝聚层的上同调1册和第2》、第4卷是《Étude locale des schémas et des morphismes de schémas的第1、第2、第3和第4》,第5卷是《Éléments de géométrie algébrique. I.》)(上面国际数学联盟主席Mumford的《代数几何I》的引言说Grothendieck这套书“very hard to read非常难理解-要知Mumford可是获得菲尔兹奖和沃尔夫奖的人,Mumford这书在1976年已出版,不过它不收录Grothendieck在此前已出版的另一套《代数几何Séminaire(研究班课程)

此外,特别不能遗漏的是,至今日本共有3获得过被誉为数学诺贝尔奖的Fields(菲尔兹)而且全都是因复代数几何而获奖-他们是1954菲尔兹奖获得者Kunihiko Kodaira小平邦彦1970菲尔兹奖获得者Heisuke Hironaka广中平佑1990菲尔兹奖获得者Shigefumi Mori森重文(而且看到前后2个是在日本国内获得博士的应值得尊重-如此也应读他们老大即小平邦彦的《复流形与复结构的变形》,此外,这里说的这小平邦彦撰写的《复分析》也应该看)。 在此,对它们的Hartshorne的《代数几何》简略述之。这《代数几何》的中心理论是第二章“概型”

其中,拓扑空间X,,配备了环层X,则称 (X, X) 为赋环空间。

若赋环空间(X, X)在结构层的每点处的茎都是局部环,则称其为局部赋环空间。

若一个局部赋环空间(X, X)同构于某个交换环的素谱(Spec A, Spec A),则称其为仿射概型。

若一个局部赋环空间(X, X)存在开覆盖X=ÈiÎIUi,使得(Ui, X|Ui,)皆为仿射概型,则称其为概型。当然,学习概型这章既要牢牢掌握概型及相关的所有概念本身的几何解释和意义为先,更要进一步知道代数几何特别是主要研究对象-仿射几何或射影几何中的代数簇等属于或对应于什么类概型等?及其分类和共性、不变性。下一章上同调也类似。

Hartshorne的《代数几何》的另一中心理论是第三章“上同调”。学这一章需要同调代数知识。若学过拓扑学的同调论,也就掌握一些。因拓扑学的同调论的发展过程产生的一些与代数有关的理论知识就属同调代数并且拓扑学的发展也需要许多同调代数理论做为基础。但若没学过拓扑学的同调论,而要学这书第3章那就得先专门学习一定的同调代数知识了。

Hartshorne的《代数几何》的引论说“最后第四章和第五章讲述古典材料,即非异射影曲线和曲面,但是采用上面概型和上同调技巧,我希望这些应用会使人感到为了吸收前两章的全部专业内容而作出的努力”。

他这书的引论还说“由于这里没有篇幅来讨论代数几何与我比较喜爱的那些相邻领域之间的联系,我建议参看Cassels[1]的综述文章(与数论的联系)和Shafarevich[2,第III部分](与复流形和拓扑学的联系)”-其中复流形是复分析和拓扑微分流形的结合体-即不仅是微分流形更在坐标卡相交部分遵循复分析的全纯性。

关于代数几何与我们组合数学的关系,就如这里第一段已说:我的导师钟老师的全国高等学校教学用书和课也主要参考HodgePedoe所著的《代数几何方法》,即因代数几何主要研究对象是代数闭域上仿射空间或射影空间中的代数簇,而正如海南琼州大学的导师钟集教授独撰的高等学校用书《高等几何》说“高等几何…,使学生认识射影空间的基本特征和研究方法,以及射影空间与仿射空间…”如此我导师钟集教授这《高等几何》列出它的主要参考书依次是:海南琼州大学师爷叔Oswald Veblen和其指导的博士生全都做图论的Paul Joseph Kelly的《射影几何》、英国皇家学会主席(5年届则等待的人多就少有数学人当主席)20世纪最伟大的数学家之一的Atiyah的导师William Vallance Douglas HodgePedoe的世界名著《代数几何方法》、Beniamino Segre的《Lectures on Modern Geometry》、C. V. Durell的《代数几何》、指导Roger Penrose博士论文是“Tensor Methods in Algebraic Geometry代数几何中的张量方法却荣获诺贝尔物理学奖John Arthur Todd的书等。我导师钟集教授这书之受广泛重视程度就如中国计算机学会正理事长的名著《计算机视觉》就主要参考我导师的这书-且只有一本数学参考书 (即关于这相关领域-海南琼州大学的导师钟集教授独著的书是理事长的《计算机视觉》这书唯一参考的数学书«而上面独写《代数几何》的国际数学联盟主席David Mumford的博士朱松纯教授,三次问鼎计算机视觉领域国际最高奖项是世界计算机视觉权威我看到一个代数几何书籍目录

 

关于Hartshorne的书基本上一个学期讲一章就似刚看到“赚一个亿和刷完GTM52所有习题(各节课后习题共464)哪个难度大?”(这是从普通学生起点问)以及下面“基础数学PhD跨不去的坎:代数几何GTM 52”一文(网络等发达使学生的八卦挺细的。注:GTM52就是Hartshorne的《代数几何》

(鄙人大四寒假看了交换代数,下学期在中科院上孙笑涛老师的代数几何,感慨还得从头抓起啊,幸亏同调代数基础很扎实。不下苦功夫学不了代数几何!)

GTM 52应该是GTM系列里面比较难念的一本书。很多数学系研究生耗费很多时间辛苦研读而没念好。我知道的例子里面,MIT代数几何大牛Michael Artin以前一个中国得过奥赛金牌的学生 ,念这书一年多没多少进展,过不了QUALIFY 因此和Artin关系日渐恶化,最后离开了MIT
这本书难念,原因之一是需要一定预备知识。要念懂GTM 52,至少需要交换代数一学期的内容,另外要对同调代数有最基本的训练,至少对它的的思维方式不至于陌生。这些准备内容,大陆一般院校的本科教学里面并没有COVER
这本书难念更重要的原因是第23章介绍的HUGE MACHINNERY of high techGTM52 第一章处理VARIETY,优点是简明扼要,缺点是材料太少,不足以给学生足够的几何直觉,支撑第23章的学习。GTM 52的精华是第23章,介绍SCHEME和它上面的COHOMOLOGY THEORYSCHEME的概念已经高度抽象,初学者会觉得学习很多概念时HIGHLY UNMOTIVIATEDSCHEME 上的COHOMOLOGY理论的建立更需要很多技术上的准备。初学者很容易陷入技术细节的推导上,一叶障目,不见森林。
我个人认为GTM 52其实不应该做为代数几何FIRST COURSE的教材, 虽然它PRETEND读者没有代数几何的任何基础。(数学成熟度比较高或者有天才的读者另当别论。) 要是你不准备今后从事代数几何研究,但是希望学好代数几何最基本的知识,我个人觉得SHAFAREVICHBASIC ALGEBRAIC GEOMETRY那样的课本肯定是更好的选择。它的优点是有大量具体的例子,另外处理DIVISOR, DIFFERENTIAL FORM, INTERSECTION THEORY,都是对最简单的PROJECTIVE VARIETY做的。这样处理,几何意义反而最明晰。SHAFAREVICH 里面对SCHEME 上的COHOMOLOGY应该没有讲透。但是念了它以后,读者再念GTM 52的第23章就应该很容易了。
念懂GTM 52的研究生,应该还是有一定数学能力的。不过这个标准充其量也就是衡量研究生低年级阶段数学能力的标准。衡量数学家的能力,当然还是要看他工作是否重要,而不是念懂了什么难念的书。 GROTHENDICK20世纪后半叶最重要的极少数几个数学家之一,我完全赞同。但是GROTHENDICK之所以伟大,是因为他基本从无到有,把GTM 52的基本框架建构起来,而不是他把他以前的数学家的教材或者论文念得特别好。就是这个GROTHENDICK,当他朋友访问他抱怨当时新建立的EHS没什么数学书籍时,他的回答是:We do not read books; we write books.
没有人否认GROTHENDICK的伟大。但要把这种个人崇拜推到只有GROTHENDICK风格的数学才是好数学,那就荒唐可笑了。就拿复数域上的代数几何来说,本来就有纯粹代数的和超越的两种APPROACH,这本来是数学的幸事。对深刻的东西,我们自然希望可以从不同的角度理解。要把超越的复代数几何赶出代数几何,对代数几何本身肯定是不幸。
不管数学的分支是什么,有好的思想,有原创力的数学就是好数学。应用数学家里面也有PETER LAX那样伟大的数学家,他对数学的贡献超过绝大多数的纯粹数学家。而内容空洞,没什么新意的数学, 即使打着抽象代数几何的旗帜,也是坏数学。
能把里面的前三章习题一个一个过一遍就差不多了。要不基本就是走马观花。
但这只是把代数几何里面的基本语言,定义,定理,工具熟悉了一下。
其实和代数几何里面重要的问题联系还是很少,就是个语言。
古典代数几何最大的缺陷就是很难用一些精确而且好操作的数学语言把那些代数几何里面的事实给准确的写出来。 GTM 52里面的语言就是为了这个目的。
如果这本书也用不熟,基本只能瞎折腾或者用复几何的工具去做了。可能好多问题都读不懂。
把这本书搞的滚瓜烂熟,也不见得怎么样。和现代代数几何学还差得远。
如何在经典代数几何和现代代数几何搞出来的时髦东西之间找到一个平衡,也是一种能力。
习题也不一定都得一个一个去做。一个韩国人,YALE PHD 1999毕业,STANFORD POSTDOC 现在在韩国首
尔大学做副教授。代数几何的论文在Inventiones mathematicaeJOURNAL OF ALGEBRAIC GEOMETRYMath Annalen 这样的杂志发表了大概2030篇了。这个哥们,当年学HARTSHONE 时顶多选择了少部分习题。
当然也有做很多习题的。一个中国学生, COLUMBIA代数数论 PHD,有ANNALS论文发表。当年做了很多Hartshorne的习题。习题解答, 手写的工整的解答一共有将近 600A4的打印纸。他自己认为他应该是解答这本书习题最多的人了,和网上各种AVAILABLE 的习题解答比较。不过他的解答也还没包括123所有的习题。
我的意思就是学数学应该没有固定的办法。有些人可以做少数的习题就到达很好的理解。适合自己的就是最好的。
做习题是一个很好的训练,做完所有的习题也很难。中国很多代数几何的做的好的都走过了这个过程。
做论文时,不会东西也总是要东补西补。习题里没有,也是要想办法弄明白的。只是过程不同而已。Hartshorne的习题就是一个很好的汇总。
学习代数数论和代数几何还是好多区别的。
代数数论的就喜欢看着什么有用就拿来试一试。他们还是对他们数论里面的问题感兴趣。
他们很多时候也是在做数论问题,和代数几何的问题也有很多不一样。
代数几何里面有很多很硬的骨头,就是需要很硬的功底才能做的动。De Jong应该就是很擅长此类事情的吧。
数学的发展到一定历史时期就有哪些重要的和不重要的,能体会的好,把握住发展潮流的都是俊杰。做数学也不能一概而论。不过能对发展潮流有感觉的人,应该大多数都是天才。

GTM52的习题参考答案

GTM52习题一共是464道。下面是可以参考的解答:
www.math.purdue.edu/~jinhyun/sol2/hart.html
www.lomont.org/Math/Solutions.pdf
3
这是berkeley
math.berkeley.edu/~reb/courses/alggeom/
4
下面是harvard:

modular.fas.harvard.edu/AG.html

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