Bill Tutte将毕生精力投入到四色问题的研究，并因此开创的整数流以及子图覆盖（Integer Flows and subgraph covers）:

在一个有向图中，整数流是指为每条边分配一个整数值（流量），使得每个顶点的流入量等于流出量（即满足Gustav Kirchhoff基尔霍夫定律）；子图覆盖当然只考虑边的覆盖。

起因于1880年前后麦克斯韦和Edward Routh爱德华·劳斯等的师兄也是George G. Stokes乔治·斯托克斯等的师弟Peter G. Tait和Alfred Kempe分别发表证明世界三大难题-四色问题的论文（麦克斯韦、Routh和Stokes这3个人合作指导出博士Lord Rayleigh瑞利勋爵即John W. Strutt约翰·斯特拉特获得1904年诺贝尔物理学奖并隔年当选英国皇家学会会长3年后担任剑桥大学校长，而Lord Rayleigh瑞利勋爵得博士Joseph John Thomson约瑟夫·约翰·汤姆逊也获得1906年诺贝尔物理学奖并担任英国皇家学会会长还指导出约5个获得物理学诺贝尔奖得博士），前面四色问题的证明是建立在Tait的认为3正则、3连通的平面图都是哈密顿图之上即若此理论正确那他们证明四色猜想就没问题，后来人们发表他们的四色猜想证明都是错误的，但要证明有哈密顿图的理论又极其困难非常不容易。半个世纪后上面Bill Tutte(比尔·塔特)给出不是哈密顿图的3正则、3连通的平面图的例子，从而宣告Tait的基于有哈密顿图的理论的百年的四色猜想的证明是本质性错误的是无法修补的，从此Bill Tutte将毕生精力投入到四色问题的研究，开创了整数流理论，其关系就如Bill Tutte的著名定理：平面图可k-着色当且仅当它有k-流，并提出几个著名猜想如5-流猜想：没有割边的图有5-流（Paul Seymour证明有4-流并在1990年的国际数学家大会做的一小时报告就是整数流的）；4-流猜想：不含Petersen广义子图（minor）的无割边图有-4流；4-边连通图有3-流。

Fulkerson猜想：2-边连通图有6个偶子图构成的4-覆盖。这类4-覆盖成为Fulkerson覆盖（这里“数学竞赛与数学家的成长正文（上）―著名应用数学奖获得者背景”的第（六）个奖即德尔伯特·雷·富尔克森奖(Delbert Ray Fulkerson Prize/Fulkerson Prize)就以这个在海南琼州大学的导师去美国合作的大学博士毕业的他命名）

猜想：有哈密顿路的2-边连通图是Fulkerson覆盖。

就因如此,网络流领域的2篇奠基论文是：⑴ 上面这个海南琼州大学的导师柳柏濂教授去美国合作几年诞生教育部审定通过的中国“第一本”数学研究生用书的美国威斯康星大学博士Delbert R. Fulkerson和哈佛大学Lester R. Ford这2人合作的这论文， ⑵麻省理工3个博士Peter Elias（“5G标准”巅峰对决的就是他的博士Robert Gallager和徒孙Erdal Arikan）、Amiel Feinstein（他和伟大数学家辛钦最早分别独撰“信息论”著作）和Claude Shannon香农(这香农被认为完爆爱因斯坦媲美牛顿)合作的这论文，他们的这2篇论文独立创建了最大流最小割定理，这是网络流理论的基本重要性定理（哈佛和麻省理工的这2篇论文在和海南琼州大学合作发表多篇SCI论文的美国大师编写的世界名著《图、网络与算法》、上面哈佛大学3个高徒Ford、Lawler和Rockafellar的3本世界名著、超级书《图论》、以及与海南琼大同担任一区SCI杂志的第5个副主编Katta Murty独撰的这里使世界第一企业谷歌等起家的最优化领域都以其为重点).

上面这最大流最小割定理、海南琼州大学证明的Whitney定理（Whitney在哈佛大学毕业就一直留在哈佛大学和曾偶尔到爱因斯坦的普林斯顿研究院-是美国第一个获得数学界影响最大最重要的“诺贝尔奖”Wolf奖的世界领袖-“Whitney”的中文名为“惠特尼”，而海南琼大就证明这个“惠特尼定理”-并这里的第5个参考资料见“Kewen Zhao, Sanya”即第5个参考资料是中国海南三亚的，它也常称为“连通性定理”等，但图论诞生几百年来全世界的所有证明都用归纳法、而至今全世界只有三亚Kewen Zhao的证明不用归纳法并竟然还简捷有5倍-这是惊人的）-并它俩和拓广的Menger定理、Dilworth定理等几种变形在同维度上都是可直接互相推出的等价的，正如Diestel的当今图论世界第一名著《图论》第三章最后的“注解”说“毫无疑义地说连通性定理属于图论中最自然也最实用的结果”“Menger定理可能是图论中应用最广的经典结果”，而且横跨几个重要领域起着基本重要性作用的这几个结果等价，因而可称是“图论”中最重要的结果（而图论在数学甚至计算机科学上的地位如《图论》书被引用率排名数学历史上第五，并且(Graph Theory)图论已经吞噬世界（也如北大才子UIC校长汤涛院士在这视频4分半钟处说“计算机包括阿里很多人做的都是跟图论有关的”。顺注:与这汤涛校长合写这书的密比大丁玖写的这篇文章只分别说5个人：顾静徽、吴健雄、诺特、哈佛大学女校长、以及最后段的和海南琼大合作多篇SCI论文的张平教授-张教授曾说会邀请图论论文总数排名史上世界第4的Gary Chartrand和我们海南琼大合作并此君的书《图论导引》说“Whitney以多种方式对数学作出了贡献，在1944-1949年是AJM杂志编委，1949-1954年是美国数学评论编委，1953-1956年是美国基金数学组主任”-虽然Whitney的这1区的AJM是顶级杂志但影响因子比海南琼大当编委的这些杂志的都低-所以不要唯影响因子论-且虽前不久琼州大学2012年担任到100个编委时海南大学还没人当国际编委、以及琼大是美国数学评论的海南唯一评论员和欧洲数学评论海南唯一评论员十年后海南才有第2个评论员--但现在已泛滥其影响的因子已不值一谈）。

如此以前很多大师都想给出它们的更简单证明,如在对Menger定理等的证明中国际数学联盟主席László Lovász(拉兹洛·洛瓦兹)就为此竭力即他在1970年已给出证明，其后1978年又给出新的解决方案（前半世纪Menger可能比Whitney有声誉-这除了辈份稍高那代历史机遇更好以及Whitney成果尚待形成影响外-还主要因Menger的学生博士太厉害如这里中间部分说的“He also started up the Mathematical Colloquium[创办了数学学术讨论会] in Vienna in 1928 which was addressed by leading mathematicians”并再下几段说“Kurt Gödel had joined his Mathematical Colloquium. While in the United States, Menger kept in touch with the Colloquium in Vienna through Georg Nöbeling and also corresponded with Gödel.而这参与Menger主办讨论会的Gödel哥德尔可是下面爱因斯坦说比他厉害之人-也即这20世纪世界第一数学家还是史上第一逻辑学家的Gödel哥德尔不仅是Menger的本科生，还应是实质硕士博士生-即和Menger同研究组的哈恩仅是Gödel挂名导师（如Gödel在1929年才博士毕业，而之前1926年已博士毕业的Witold Hurewicz都已是Menger和哈恩合作指导的并Menger也应已是他的实质导师--因哈恩一直身体不好并1934年就逝世了）；关于创建给上面定理的Menger的本硕博学生哥德尔是何等世界科学巨人-就如天才中的天才、神一般存在的科学巨人冯·诺依曼等就称哥德尔是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家”（关于亚里士多德和逻辑学对现代科学的作用,可参考母校大师开创的中国逻辑学中心这页所述，也如Hegel黑格尔说：“从亚里士多德以来，逻辑学未曾有过任何进展”，而只有到了哥德尔的工作才算是进展）---因而哥德尔和亚里士多德可并称史上最伟大逻辑学家；可哥德尔还是20世纪最伟大的数学家、哥德尔还被誉为现代计算机科学之父和人工智能之父，就如爱因斯坦说:“我自己的工作没什么意思，来上班只是为了有幸和哥德尔一起散步回家”；如哥德尔的不完备性定理,堪称数学、计算机科学、人工智能和逻辑理论中最伟大的发现-可参考霍金所述“哥德尔不完备性定理”以及哈佛大学王浩院士的《逻辑之旅》等--如此我们海南琼州大学就也在哥德尔发表这“不完备性定理”的杂志也发表重要论文-可惜遗憾的是我们海南五指山深山区不仅环境差更一直没有分文经费来向更深更广推进）。另-Menger的博士还如刚见2018年全国卷II高考作文题是根据《消失的弹孔》材料写作文的这材料就是Menger的博士Abraham Wald的故事，还有华人第一个世界大师陈省身院士的导师Wilhelm Blaschke和Menger的博士Hans Hornich是师兄弟等）

再①:上面Dilworth定理是：在任何一个有限格中，不可比元素的最多数目等于用来包含所有元素的链的最少数目（这属于这里海南琼州大学的导师钟先生担任主席的委员撰写中国第一本书的下行Lovász主席做出其关键开拓对后量子密码很关键的领域）-这Dilworth的博士Juris Hartmanis是1993年计算机诺贝尔奖图灵奖得主；

再②:上面与海南琼州大学同任副主编的Katta Murty的导师David Gale大师在1957年的这篇论文也得到存在可行流的比上面最大流最小割定理稍弱的充要条件结果，比上面几个最重要定理稍弱些的还有Edmonds-Karp定理（Karp是1985年的计算机诺贝尔奖图灵奖获得者并他的博士邢波(Eric P.Xing)是全球首所人工智能大学校长），以及完成第二次世界大战最伟大壮举换救了数百万人生命的W. T. Tutte的变形拟阵情形。

再③:上面几个定理还等价于变形的几个著名定理：这页最后段美国数学会以其名冠奖的大师的Delbert Fulkerson定理，国际数学联盟主席Lovász的导师Gallai的导师的Dénes König定理，Philip Hall定理（Hall定理的最好证明属于Richard Rado院士并看到其经历也非凡-如包括和我的副导师杨照华教授改进其工作的Davenport 合作--刚见上面繁忙的汤涛校长都发布的“向日葵引理”就是Richard Rado和上面第一行与海南琼大同当编委的Paul Erdős共同提出的向日葵猜想-并最新进展是和我同名Kewen的伯克利博士生等做出的。可惜就如他与海南琼大同当编委的这杂志发布的Paul Erdős讣告见其只担任这杂志编委20个月就逝世-而他的逝世对离散数学界是难以估量的损失--关于Paul Erdős何等伟大也见这页），等等。

关于图论，海南只有2篇错误论文的1991年前海南琼州大学已在很多领域都做出开拓性贡献并如香港数学会理事长评价为“具有国际领先水平，对该学科有较大的推动作用”，而图论的作用除了如上面汤涛校长所说马云多次是首富的中国第一强企业阿里很对人做图论外，其它还如京东2个副总裁主持的图论计算团队并领衔撰写了《图深度学习》,等等；国外的更如多次位居世界第一企业的谷歌在这里最后可见谷歌就是靠PageRank图论算法起家、谷歌“图论”算法现在又大显身手，一直是世界首富的比尔·盖茨成为首富前只有一篇科研论文并是发表在《离散数学》杂志上的“组合数学”图论论文，等等（即正如这里所说“图论正在吞噬世界，其趋势已无法逆转”、“图论的彻底颠覆一切还如在图数据库的公司已超过微软”【此外还如图论正在吞噬世界、无法逆转的彻底颠覆一切也如这页图论正在更多的世界高尖端前沿技术“国之重器”行业领域发挥不可替代的重大作用】，也如上面所说的使也曾是世界第一企业谷歌等起家的最优化领域（更准确地说是靠图论），并还如这里见最近涌现出很多涉及图论与机器学习、人工智能交互的极受重视的领域…、特别是图神经网络等被认为是人工智能的未来等等).因而就如上面Sanya三亚证明图论世界第一定理…以及海南琼大曾开拓许多领域世界领先的图论…