这里简介Class field theory类域论，它是数论的一个分支：

主要参考书有这个二十世纪最伟大的数学家排行榜中居于第7.Andre.Weil和第17.E.Artin的2本书：Emil Artin埃米尔·阿廷和他的2002年获得沃尔夫奖最近又获得阿贝尔奖的博士John Tate约翰·泰特合写的《Class field theory类域论》；

Andre Weil安德烈·韦伊独撰的“Basic Number Theory”（这书共有2部分，第1部分是数论基础，第2部分讲Class field theory类域论）。

也可参考这里清华大学张贤科教授的《代数数论导引》-但它主要讲基础部分。

Emil Artin埃米尔·阿廷的另一博士James Stuart Milne的《Class field theory类域论》,

阿贝尔奖得者John Tate约翰·泰特的博士Joe Peter Buhler编辑的《算法数论：格、数域、曲线和密码学》，

Helmut Hasse , Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. Teil I, 1965,135 pp. Klassenkörpertheorie. Teil Ia: Beweise zu Teil I. Teil II: Reziprozitätsgesetz. (German) Dritte Auflage. Physica-Verlag, Würzburg-Vienna,1970, 204 pp.

正如下面所说,日本在这领域的早期发展中也起关键的作用。其后还如Kenkichi Iwasawa岩泽健吉撰写出世界名著《局部类域论》（并开创下面很受重视的岩泽理论；岩泽健吉就是这里多次被提到的日本数学家）

这里倒数第2段的Yasutaka Ihara的博士Kazuya Kato合写的《Fermat的梦想和类域论》（参考最近日本写几本类域论方面的书籍，Yasutaka Ihara是上面岩泽健吉的博士，可见传承起关键作用）。

19世纪末，D. Hilbert在著名的“Bericht über die Theorie der algebraischen Zahlkörper”（它就是我们哈密顿图的现代先驱Öystein Ore在数学四大顶级期刊之一Acta Mathematica发表的这篇论文中的参考文献2）中有一章研究数域的素数阶循环扩张，在这一章中Hilbert证明了一系列命题，包括著名的Theorem 90以及Theorem 94，而后者引发了Hilbert对Hilbert类域的存在性的猜想，这可以算是类域论的起源其后经过P. Furtwängler，Teiji Takag (高木贞治 , 1875—1960)到上面E. Artin，Claude Chevalley，我也研读他的《格论》的Tadasi Nakayama (中山正) , 上面John Tate，Jean-Pierre Serre 完成了交换扩张的Galois群的表示之上同调理论, 即阿贝尔类域论 (Abelian Class field Theory)，也称为交换类域论。

关于日本在这领域的关键工作，还如日本数学之父弥永昌吉(Shokichi Iyanaga)的上面博士Kenkichi Iwasawa岩泽健吉20 世纪 50 年代在普林斯顿大学工作时 Iwasawa（岩泽） 提出传统类域论之外的一个新方向——交换 Iwasawa理论（即岩泽理论，如John Coates教授的研究领域是代数数论，特别是Iwasawa理论。特别是John Coates 的博士Andrew John Wiles（怀尔斯）更将岩泽理论与科利瓦金方法结合起来,从而证明费马大定理--费尔马猜想、我们海南琼州大学曾尝试的四色猜想和哥德巴赫猜想可是并为世界三大数学猜想）。

类域论的基本是用基域的算术性质去刻画它上面的阿贝尔扩张理论。研究数域上阿贝尔扩张的理论。设 k是一数域，I是k的一切非零的分式理想构成的乘法群,I也记作l(k)。对于k上的任一阿贝尔扩张K,存在I的一个狭义子群h与K对应,使得k的每个素理想P在K中分裂的充分必要条件是P属于h。.

即类域的概念是D. Hilbert首先引进的，其1898年至1899年间作了如下的猜想：设C_k是k的理想类群，于是存在一个惟一的阿贝尔扩张K/k适合下列条件：①K/k的伽罗瓦群G(K/k)≌C_k；②k中每个素理想在K中非分歧；③设k的素理想P在C_k中所代表的类的阶为ƒ。则ƒ|h_k,h_k=|C_k|。令h_k=g·ƒ，于是P在K中分解成g个不同的素因子的积，它们对P的公共剩余次数为ƒ。 ^[1]

希尔伯特就h_k=2的情形给出了证明，以他的洞察力对一般情况作了如上的猜想。P.H.富特文格勒于1907年证明了如上的猜想。这个K/k被称为希尔伯特类域。

在推广希尔伯特类域的道路上，H.韦伯做了一步重要的准备工作,他在他的著作《代数学教程》第3卷中推广了理想类群的概念。k的每个素理想P决定一类互相等价的P进赋值，这个等价类称为k的一个有限素点,仍用P表示。此外,k还有r₁个到实数域R的实嵌入σ₁,σ₂,…,σ_r1和r₂对到复数域C的共轭的复嵌入决定出k的r₁+r₂个阿基米德绝对值如下：,其中| |表示复数绝对值。由决定的等价类称为k的无限素点，依次记作，前r₁个称为实素点,后r₂个称为复素点。用P表示k的全部素点，用P的元素作形式积 ，其中v_i≥0,μ_j≥0,而且只有有限多个v_i不为0。M称为k的一个整除子。所有整除子构成一个乘法幺半群,而且是一个高斯半群。称为M的有限部分。

每个整除子 M如下定义I(k)的一个模M的束子群：元素α∈k(k=k-{0})称为满足下列乘法同余式(*)α呏1(modM),是指①将理想(α-1)/M₀表成互素整理想的商U/,要求与M₀互素；②σ_i(α)>0对所有μ_i>0的实素点P_infin;i。所有满足(*)的α生成的主理想(α)的集合,记作S,构成l(k)的一个子群，称为模M的束子群。当M为单位整除子时，S₁=I 即主理想子群。

（上面Yasutaka Ihara和Kenkichi Iwasawa的导师的导师）“日本现代数学之父”Teiji Takagi高木贞治在1920年发表的文章中，应用H.韦伯的理想类群，成功地推广了希尔伯特的结果，并且建立了完整的类域论。设K/k为数域k 上一个n 次伽罗瓦群扩张，G为它的伽罗瓦群。k的一个有限素点P称为在K 中分歧，是指素理想P在K 中分歧；k的一个实素点P称为在K中分歧，是指与P对应的k 的实嵌入σ 在K上的每个开拓都拓是复嵌入。对于任一σ∈G 和K 的任一分式理想U,令。设B为K的一个素理想，且位于k的素理想P之上,令B对P的剩余次数为ƒ。则 _/k(B)=P。令_/k(I(k))={_/k(U)|U取遍K的非零的分式理想}。高木贞治得到以下的重要结果（正如这里说“1920年，他完全解决虚二次数域上的克罗内克猜想（即克罗内克青春之梦）。这个结果在20年代介绍到德国之后 ，引起类域论的巨大突破”，这个Teiji Takagi高木贞治的博士生导师正是数学之王希尔伯特）：

① 基本定理　设K/k为数域k上一n次阿贝尔扩张，则存在k的一个整除子M,仅含在K内分歧的素点(有限或无限)作为素因子，使得理想群h =_/k(I(K))S在I(k)内的指数为n。

② 分歧定理　设(h)的导子为F,则K的一个素点P在K内分歧的充分必要条件是P|F。

③ 同构定理　K/k的伽罗瓦群与I (k)/h 同构。

④ 分解定理　设P为k的与F互素的任一素理想;设h_F∈(h)为由F 规定的理想群；设ƒ 是最小正整数使得P∈h_F，则P在K 中分解成个素理想的积。

⑤ 存在定理　设h 为k的任一理想群，由整除子M所规定，指数(I(k):h)=n。则存在一个n次阿贝尔扩张K/k使得h=_/k(I(K))S。 ^[2]

于是,在k上有限阿贝尔扩张K/k和k的理想群（等价类）之间建立了一个一一对应。K/k 称为对应于h 的类域，同时h 称为对应于K/k的类群。(h)的导子称为K/k的导子。

除了存在定理⑤以外，还有一个具有给定的局部性质的有限阿贝尔扩张存在的定理，就是1932年发表的格鲁恩瓦尔德定理。王湘浩于1948年发现该定理包含的错误，并于1950年给出了正确的更一般的陈述和证明。从此以后人们称之为格鲁恩瓦尔德－王定理。它是著名定理“数域上中心单（结合）代数为循环代数”成立的主要根据之一。

有理数域Q上的分圆域是类域的一个雏形。设K=Q(ζ)为m(m>1)分圆域,ζ为一个m次本原单位根,当m为偶数时,假定4│m。此时K是Q上φ(m)次阿贝尔扩张,它的伽罗瓦群 ，K 的每个自同构σ由它在ζ上的作用惟一决定。若 ζ=ζ，σ可记成 σ_r，(r,m)=1，Q只有一个无限素点即实素点p。在K内分歧的素点恰由m的素因子和p组成。设p是任一个与m互素的素数,P为p在K中的一个素因子,ƒ为P对p的剩余次数。于是N_K/Q(P)=p，而且对应于p 的弗罗贝尼乌斯置换是 σ_p:ζ捚=ζ。于是。其次，Q 的每个非零分式理想是一个主理想，而且可由一个正有理数生成,与m互素的分式理想可写成 ，其中每个素数 p_i与m互素，v_i∈Z。于是。

由此可知， (α)属于阿廷映射ω 的核，其充分必要条件是。 所以。这就是有理数域上m分圆域的互反律。

C.谢瓦莱于20世纪30年代末引进了伊代尔 (idele)概念以替代理想概念，从而将有限阿贝尔扩张的阿廷映射推广到任意（有限或无限）阿贝尔扩张上去。对于数域k的每个素点P，有一个局部域 (局部紧致拓扑域)，k的乘法群k是局部紧致交换群。除有限多个无限素点外,对每个有限素点P, k有一个极大紧子群即k的单位群U。作直积 ∏k，它的元素α可写作α=(α),α∈k。如果α除去有限多个分量(其中包括全部无限素点上的分量)外，其余每个分量都是k的单位，那么α称为一个伊代尔。所有伊代尔集合是∏k的一个子群，记作J_k。J_k显然是所有这种子群的并集，其中S 是k的素点集的任一个包含全部无限素点的有限子集。因而，由∏k的乘积拓扑诱导出的J_k的拓扑是局部紧的。若α=(α)的所有分量α=α∈k，则α显然是一个伊代尔,称为主伊代尔。所有主伊代尔构成J_k的一个子群，且与k同构,仍记作k。于是商群C_k=J_k/k*，称为伊代尔类群。

自从H.哈塞利用局部域上的布饶尔群以建立局部类域论以来，人们逐步认识到群的上同调理论和类域论之间的联系,经过许多人的努力，应用群的上同调理论,对类域论作了系统处理。首先建立局部类域论，然后由局部类域论组织成整体类域论。设K/k为数域k上任一有限阿贝尔扩张，G为它的伽罗瓦群。对k的每个素点P,取定K的一个素点B使得B|P。K 和 K分别为K和k对B和P的完备化。G表示B的分解群,G就是K/k的伽罗瓦群。根据群的上同调理论，可以直接定义同态，称为范剩余符号。这个映射是一个满同态而且这就是局部域上阿贝尔扩张的互反律，称为局部互反律。然后用范剩余符号去定义阿廷符号(α,K/k)如下：对k的每个伊代尔α=(α),规定：映射α(α,K/k)是伊代尔群J_k到 K/k的伽罗瓦群 G 的一个满同态，而且这就是用伊代尔群表述的阿廷互反律。 这样，阿廷符号就可以以自然的方式开拓到k的任意阿贝尔扩张上去。

应当指出，数域上的类域论可以平行地推广到有限常数域上一元代数函数域上去。

阿廷在他与J.T.塔特合写的类域论(1951～1952)的讲稿中提出了类结构的概念，将局部的和整体的、数域的和代数函数域的类域论纳入同一个公理化体系中。