本页主要介绍动力系统--特别是微分拓扑动力系统（正如北大1号张筑生的书说“Poincaré、Birkhoff等人从经典力学和微分方程的定性理论的研究中，提出动力系统的概念。微分动力系统的现代研究，则始于本世纪六十年代初，在Smale和其他许多学者的倡导和推动下，这一学科的基本理论的研究取得了重大的进展…”）。
这领域就如哈佛大学丘成桐院士说动力系统开创者是George D. Birkhoff，如此可参考George D. Birkhoff独撰在1927年出版1966年重印的305页《Dynamical
systems动力系统》一书，并这使哈佛大学崛起的Birkhoff的这动力系统与分析力学的融合衍生这里的《George
D. Birkhoff系统动力学》是“经典力学的又一次飞跃”；
这领域有很多名著可参考，其中遍历性理论是研究动力系统全局性质的核心数学分支，可参考世界数学大师Harry (Hillel) Furstenberg希勒尔·弗斯滕伯格独撰在1981年出版的203页《Recurrence in
ergodic theory and combinatorial number theory遍历理论和组合数论中的递归性》（书中最核心的贡献之一是利用遍历理论的方法，给出了我们组合数学大师的Szemerédi定理的全新证明--即任一具有正上密度的自然数子集，必然包含任意长度的算术级数（Szemerédi刚又获得数学诺贝尔奖-阿贝尔奖）。这一证明不仅更具概念性，而且开辟了“动力系统在组合数论以及组合数学中应用”的全新研究方向--正如这书前言第一句“This monograph
is an account of some applications of the modern theory of dynamical systems to
combinatorics and number theory…这本专著介绍了现代动力系统理论在组合数学和数论中的一些应用…”，关于遍历理论是研究动力系统全局性质…就如下面书籍《动力系统的全局稳定性》就是遍历理论的，可参考海南琼州大学在里面攻读了3年多的中国第一个组合数学研究室的相关介绍）；还可参考我们祖伦组合数学的一些论文：蔡茂诚研究员和田丰副所长、马仲蕃合撰的“离散事件动态系统研究中图论方法的某些应用”，系统科学与数学1995年(03)期；Christian Beck独撰的“Higher
correlation functions of chaotic dynamical systems—a graph theoretical approach混沌动力系统的高相关函数---图论方法”； E. I. Alekseeva等的“Stability of
dynamical systems on a graph图上动力系统的稳定性”；剑桥博士Stephen J. Hogan合撰的“Graph theory
and piecewise smooth dynamical systems of arbitrary dimension图论与任意维分段光滑动力系统”，等等。
Morris
W. Hirsch和他的最富有色彩的导师Stephen Smale合撰1974年的《Differential
equations, dynamical systems, and linear algebra》一书在1986、87年分为上下册由高等教育出版社出中文版《微分方程，动力系统和线性代数》是这领域必看的经典（它铺垫较多相关领域知识不象一般的动力系统书较直入主题，更较适合当时的我们如此我身边仍存的这书是当时就已买的），同时我们读书时期的这八十年代动力系统有许多发展并这给海南琼大来过约十次信的最富有色彩的Stephen Smale的3个博士这时的书籍也值得注意参考：Michael
I. Shub独撰的Global stability
of dynamical systems、Robert L.Devaney独撰的An introduction
to chaotic dynamical systems和John M. Guckenheimer,主撰的Nonlinear
oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields，之前的可参考他的博士Zbigniew H. Nitecki独撰的2本书《Differentiable
dynamics》和《Fundamentals of
dynamical systems and bifurcation theory》，以及他的担任国际数学联盟主席兼世界科学院院长的博士Jacob Palis和Welington Celso
de Melo合撰1988年译为中文的《动力系统几何理论引论》；M. C.
Irwin的Smooth
Dynamical Systems以及Peter Walters独撰的《An introduction
to ergodic theory》，还如上面动力系统开创者George D. Birkhoff在这里撰写纪念他的担任美国数学会主席的父亲的诺贝尔物理学奖得主John
Hasbrouck Van Vleck-他的博士John Breakwell的博士Lawrence
Perko也独撰403页的《Differential
equations and dynamical systems微分方程与动力系统》等。
并如上面张筑生的书第一章第1节开头所述“s,tÎR,xÎRm,连续映射j满足j：R´Rm→Rm，具有j(s+t,x)→j(s, j(t,x))和 j(0,x)→x,则称j为Rm中的动力系统或流。其后人们考虑对s,tÎR,xÎ拓扑空间X的更一般的连续映射j：R´X→X，如果满足j：R´ X→X，具有j(s+t,x)→j(s, j(t,x))和 j(0,x)→x,则称j为X上的拓扑动力系统。本世纪初George D. Birkhoff等人开展了拓扑动力系统一般理论的研究，虽然拓扑动力系统研究的对象很普遍，但由于没有在相空间引入微分结构，缺少强有力的分析工具，难于进一步深入，到料本世纪六十年代，Stephen
Smale和下面北大廖山涛院士等，对微分动力系统的研究作出了卓越的贡献。（张锦炎和她爱人钱敏教授的书：当j是Cr映射（r≥1）则称j是一个Cr微分动力系统），即类似地设X是拓扑空间(Cr微分流形)，s,tÎR,xÎX, j：R´X→X是连续映射（Cr映射），满足j：R´ X→X，具有j(s+t,x)→j(s, j(t,x))和 j(0,x)→x,则称j为X上的C0流（Cr流）或C0动力系统（Cr动力系统）”--Cr已表明j是Cr映射那j也就是Cr微分动力系统 … 动力系统至今已陆续形成了微分动力系统、拓扑动力系统、遍历论、哈密顿动力系统、复动力系统、光滑动力系统、符号动力学、以及下面都有书籍的高维动力系统、无穷维动力系统、586页的《随机动力系统》、模糊随机动力系统以及在非常多领域应用性的如生物动力系统以及在细分的非线性生物动力系统、非齐次分布生物动力系统、单种群生物动力系统、时滞生物动力系统等等分支并各种动力系统又有很多方向领域，不过这些分支的界限并不严格，常有交叉重叠（还再如基于所处特殊空间叶彦谦教授的1991年科学出版社出版的《曲面动力系统》又分别研究微分流形、环、瓶、带、射影平面等上的动力系统）。
因北京大学廖山涛院士的“微分动力系统稳定性研究”获得1987年国家自然科学一等奖如此这里主要介绍微分动力系统，而它主要围绕结构稳定性和双曲性这2个概念展开，并因如众所周知，一个周期轨道是结构稳定的当且仅当满足双曲性条件，有限的周期轨道的情形类似。因此在此主要介绍2个微分动力系统最有中心代表性的领域-双曲不动点和双曲集：线性同构A: E→E称为双曲的，如果E有直和分解E=Es⊕Eu，在A下不变A(Es)=Es, A(Eu)=Eu,并且存在两个常数C≥1和0＜l＜1，使得|Anv|≤Cln|v|,"vÎEs,n≥0；|Anv|≤Cln|v|,"vÎEu,n≥0，这时称Es为A的压缩子空间，Eu为A的扩张子空间，称dim
Es为A的指标。注：当压缩子空间Es，扩张子空间Eu是{0}时, A称为扩张型的或压缩型的，否则称为鞍型的；显然若A是双曲线性同构，则A-1也是；由于Es在A下不变，定义中的不等式所涉及的其实不只是vÎEs的正向迭代，而是v的所有迭代，也就是说|An(Amv)|≤Cln(Amv)|, "vÎEs,mÎZ,n≥0；Eu的情形类似。对g＞0，记Cg(Es)={vÎE||vs|≤g|vu|}，Cg(Eu)={vÎE||vu|≤g|vs|}，（vs和vu分别表示向量v在Es和Eu中的分量），分别称为Es和Eu的g-锥。
称SÌE为A的一个不变集，如果A(S)= S。一个点xÎE的正半轨x, A x, A2x,…,总有许多收敛的子序列，称yÎE为x的一个w-极限点，如果有正整数的一个子序列Anix→x。x的全体w-极限点的集合称为x的w-极限集，记为w(x)。A的紧不变集S称为是拓扑传递的简称传递的，若存在xÎE使得w(x)= S；设OÌE的开集,
A:
O→E为C1映射。称A的一个不动点pÎO为双曲的，如果导算子DA(p): E→E称为双曲线性同构。p的指标称为DA(p)的指标。…
George
D. Birkhoff的如下工作是这领域的基石：设S为A的紧不变集，以下三个条件等价：1、S为传递；2、对S的任意两个开子集U和V，存在n≥1使得An(U)ÇV¹Æ；3、存在xÎE的正半轨在E中稠密。
双曲集：设M为一紧致无边C¥黎曼流形。设A: M→M为一微分同胚。有定义，A和A-1都是C1。称A的一个不变集SÌ M双曲的，如果对任意xÎS，切空间TxM有直和分解TxM=Es(x)⊕Eu(x)最为子空间族在TA下不变TA(Es(x)=Es(Ax), TA(Eu(x)=Eu(Ax),并且存在两个常数C≥1和0＜l＜1，使得|TAnv|≤Cln|v|,"vÎEs,n≥0；|TA-nv|≤Cln|v|,"vÎEu,n≥0。特别地，若S是单独一个轨道，则称为一个双曲轨道。…其有很对和上面“双曲不动点”对应的性质。
因动力系统是常微分方程（或者说向量场）给出的点随时间沿解曲线的流动，如此，在此先讲常微分方程的一类很重要的向量场：正如国际数学联盟主席兼世界科学院院长Jacob Palis和de
Melo的《动力系统几何理论引论》的“Morse-Smale向量场的通有性与结构稳定性”这章开头说“动力系统理论的中心目标是描述微分流形上的向量场的轨道结构”，Morse-Smale向量场，让M是n维紧流形，XÎcr(M)，我们称X是Morse-Smale向量场，只要（1）X有有限个临界元（奇点与闭轨），它们都是双曲的；（2）若s1与s2是的临界元，则Ws(s1)与Wu(s2)是匀断相交的；（3）W(X)等于X的临界元的并集。其中cr(M)是M上的所有的Cr向量场的集合 …
以前除了一些因素促使对这领域的影响外，其后给海南琼州大学来过十封信的“当代最富有色彩的著名数学家史蒂芬·斯梅尔(Stephen
Smale)以及使哈佛大学崛起的海南琼大师爷Birkhoff是这领域的主要开创者；这给海南琼州大学来了十封信的Stephen
Smale有一个博士是国际数学联盟主席发展中国家科学院院长Jacob Palis雅各布·帕里斯在巴西发展的动力系统学派也很壮观，这主席和其博士Welington Celso
de Melo（Artur
Avila的导师）合写1988年由科学出版社出版上面中文版《动力系统几何理论引论》--这领域除了参考国外的外--国内的可参考高度评价海南琼州大学工作的张景中院士为第一作者与熊金城教授合撰的《函数迭代与一维动力系统》四川教育出版社1992年；北大的3本书：张芷芬、丁同仁、黄文灶、董镇喜1985年科学出版社出版的《微分方程定性理论》（他们的老师是Yu-Cheng Shen申又枨-丁同仁的常微书说“纪念我国微分方程界先辈申又枨教授”，偏微在复旦）、张锦炎等在北大出版社出版的《微分动力系统导引》、张筑生1987年在科学出版社的《微分动力系统原理》；南大3本书：叶彦谦教授独撰的《曲面动力系统》一书科学出版社1991年（它类似《极限环论》的布局写法）、罗定军和滕利邦的1990年高等教育出版社出版的《微分动力系统导引》（两者的关系科参考罗定军的“纪念恩师：叶彦谦教授百年诞辰”）还可参考叶彦谦教授的2个博士朱德明和韩茂安教授合撰的《光滑动力系统》一书华东师范大学出版社1993年，还可参考南大毕业生陈兰荪和陈键的1993年科学出版社的《非线性生物动力系统》，廖山涛院士的1992年由科学出版社出版的《微分动力系统的定性理论》虽主要偏于定性理论但主要内容曾获1987年国家自然科学一等奖以及最近出版的《廖山涛论微分动力系统》一书的对北京大学全校至今唯一获得国家自然科学一等奖的廖山涛院士缅怀部分的第一篇文章是这南大叶彦谦教授写的；其它院系可参考郑伟谋研究员和郝伯林院士合撰的《实用符号动力学》上海科技出版社1994年以及最近周作领也出版《符号动力学》，黄琳院士的《稳定性理论》北大出版社1992年，以及20世纪最伟大的数学家之一、动力系统大师Vladimir
I. Arnold阿诺德独撰的高被引的名著《Geometrical methods in
the theory of ordinary differential equations》，秦元勋等1963年的《带有时滞的动力系统的运动稳定性》；廖晓昕等译Joseph P.
LaSalle的1983年中文版《动力系统的稳定性》；余贻鑫院士和邹斯勤译维尼柯夫主编的《动力系统中的数学方法和计算机》；李炳熙的《高维动力系统的周期轨道理论和应用》；Stephen Smale的博士John
Guckenheimer和Philip Holmes合撰的459页的“Nonlinear oscillations, dynamical systems, and
bifurcations of vector fields”，并上面这些动力系统的书籍我都有；还有上面Vladimir I. Arnold阿诺德也写一套“动力系统”好象有到我读研究生结束的90年代初的第4卷-不过我一时找不到）并就是它写的《Ordinary
differential equations常微分方程》一书的最后的第5章也是“Differential Equations manifolds流形上的微分方程”即它与上面Jacob Palis和de Melo的书《动力系统几何理论引论》相近（正如Vladimir I. Arnold在序言说“The exposition of many topics in the course
differs widely from the traditional exposition. The author has striven
throughout to make plain the geometric, qualitative side of the phenomena being
studied本课程中许多主题的处理方式与传统的有很大不同。作者自始至终都在努力强调所研究现象的几何和定性方面”，如我国的以前的常微没用几何去处理，而定性都主要是讲稳定性的一些较简单初等的）。
关于无穷维动力系统，可参考Jack K. Hale和他的博士Luis T.
Magalhães以及Waldyr
M. Oliva合撰1984年出版的《An introduction
to infinite-dimensional dynamical systems—geometric theory无穷维动力系统导论——几何理论》（更多可参考这里的无穷维动力系统），这书作者之一Waldyr M. Oliva的博士导师Paulette Libermann合撰这里列出的“分析力学”书籍。
拓扑动力学可参考John
Monroe Van Vleck当了3任代理校长的Wesleyan University教授Walter Helbig Gottschalk为第一作者和他的导师Gustav
Arnold Hedlund合撰1955年出版的《Topological
dynamics拓扑动力学》；前面Wesleyan University教授Walter Helbig Gottschalk的宾大指导的博士Robert.Ellis独撰1969年出版的211页《Lectures on
topological dynamics拓扑动力学讲义》；Konstantin S. Sibirsky独撰1975年翻译为英文版的《Introduction to
topological dynamics拓扑动力学导论》，James R. Brown独撰1976年《Ergodic theory
and topological dynamics》以及J. de Vries独撰1993年出版的748页的《Elements of
topological dynamics拓扑动力学基础》；博士论文做组合数学流形的Marshall
M. Cohen在普林斯顿大学指导的博士Ethan J. Akin独撰最近1997年出版265页《Recurrence in
topological dynamics拓扑动力学中的递归性》Recurrence也有称为复复性；
族的概念最早可追溯到数理逻辑和一般拓扑学中滤子的使用，在族的观点下研宄系统动力学性质的思想最早由Walter Helbig Gottschalk和Gustav Arnold Hedlund合撰1955年出版的《Topological
dynamics拓扑动力学》引入，并由Harry Furstenberg发扬光大。Furstenberg在其经典著作中深刻阐述了这一思想，将拓扑动力系统与遍历论的应用运用到组合数论中，对后者发展起到了深刻的推动作用。Wesleyan
University教授Walter
Helbig Gottschalk的宾大指导的博士Robert.Ellis开创的Ellis半群理论是研究拓扑动力系统的另一个有力的工具。
元胞自动机（就是细胞自动机(英语:Cellular automaton),又称格状自动机、元胞自动机）也是一类动力系统，上面Wesleyan
University教授Walter
Helbig Gottschalk的导师Gustav Arnold
Hedlund和与Morton Landers Curtis和Roger Conant Lyndon共同提出的Curtis-Hedlund-Lyndon定理是细胞自动机理论中的一个核心定理，它建立了细胞自动机的全局行为与其局部规则之间的深刻联系。该定理表明，一个映射是细胞自动机的全局转移函数，当且仅当它满足两个关键的数学性质：连续性和移位交换性。
动力系统就是抽象的“流”，点的流动就形成了“轨道”．动力系统经典的例子是常微分方程（或者说向量场）给出的点随时间沿解曲线的流动．为简单起见我们假定每条解曲线都定义在整个时间轴（一∞，∞）上，从而点流动起来不必担心“出界”，最特殊的轨道由一个点组成，即向量场的“奇点！，也就是“流”的不动点，比如常见的汇点、源点、鞍点．如果附近的点以指数速度趋近或远离，则称之为“双曲”奇点。还有比较特殊的就是周期轨道. 如果附近的点以指数速度趋近或远离，则称之为“双曲”周期轨道．奇点和周期轨道是最简单且最重要的轨道。
每一个学科发展的背后都有许多故事．动力系统也是这样，上世纪60年代初Peixoto于1962年和1963年在Topology杂志讨论2维的结构稳定常微系统，并证明一个关键定理，这个定理说：在可定向闭曲面上，一个向量场为结构稳定当且仅当它是简单的（这里“简单”是指只有有限个奇点和周期轨道，每个是双曲的；每个点正向或负向都趋于一个奇点或一个周期轨道；没有鞍点连线），而且，结构稳定向量场在全体向量场的空间里稠密。
这里，称一个向量场为结构稳定的，如果它“附近”的所有向量场的轨道拓扑结构都与它相同，不论从哪个角度看，结构稳定性都是一个重要的概念．但这个概念比较抽象，涉及“附近”的所有向量场，较难把握．而上述定理提出的判别条件却只涉及一个向量场，而且只涉及很少几条有关奇点和周期轨道的信息，具体直观，这个漂亮的整体性定理立刻吸引了众多数学家的注意，其中就有世界最富有传奇色彩的Stephen
Smale-史蒂芬·斯梅尔（如《传奇数学家斯梅尔》一文说“当代富有色彩的著名数学家,首推美国史蒂芬·斯梅尔(Stephen
Smale)教授”），他后来在一篇回忆文章中记下了下面这个有趣的故事（上面我们海南琼州大学升本科前我和Steven Smale通信有好一段时间有约十封信--得到他热忱表达会给琼州大学的杂志写稿等-这是在以前杂志等很少的时代-否则是不应该去占用人家的时间--但后来杂志泛滥得太快使我感到不太珍贵而渐冷淡也不再值得浪费他们宝贵时间和心血，因他之级别如全世界每隔十年或每年都提及1930年7月15日,美国数学家史蒂文·斯梅尔（Steven Smale）诞辰 。关于Smale对这学科的奠基性，可参考我国微分动力系统第一人廖山涛院士在《微分动力系统的定性理论》所说廖院士也肯定前面的Peixoto的工作并说他1961年就已投入研究，但他更肯定是Smale推动这学科发展，或 见Guckenheimer和Holmes的这学科的里程碑性著作“Nonlinear
Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields”前言就根本没有提过Peixoto的名且说Smale在1967年的经典论文给出引领这学科的一系列杰出问题从而激发这学科产生大量工作推动这学科向前发展。但Peixoto还是有他的历史地位的，也许是巴西人见他远不如Smale，他既没有名导师他的博士生也不出名，就相对显得冷清一些，听说Smale和Peixoto之间有些传奇的故事如对Peixoto不长的12行维基网的介绍中就有3行说Back to Princeton,
Peixoto met Steve Smale, the mathematician that would later become a
reference in dynamical systems. Smale was interested in Peixoto's work and
realized he could extend his own based on it. Their contact intensified and,
when Peixoto came back to Brazil, the American mathematician spent six
months at the Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada at Rio
de Janeiro
Smale起初猜测Peixoto定理对高维空间也成立，但微分方程专家Levinson写信告诉他这不对，说自己研究过一个3维的常微分方程，有无穷多个周期轨道，而且扰动不掉．Smale半信半疑找出Levinon的文章来仔细揣摩，天天带着一打纸和一支笔，到里约热内卢的海滩上思索，累了就游游泳，他终于确信Levinson是对的．实际上，Smale从Levinson的文章中抽象出了这里陈述的关键机理，即如这里的一个方形，与流线方向横截．在流动中，它渐渐变瘦变长，并弯成马蹄的样子，又转回来，与它自己相交，也可见如图（这里把故事做了点简化）．Smale发现，就是这个简单的机理，蕴含了扰动不掉的无穷多个周期轨道，为了更简洁地说明问题，他把这个3维流的问题约化为一个2维映射的问题，即把流“转一圈”的过程记为一个映射f：Q→R2，这样，f的一个不动点就对应于流的一个周期轨道．f的一个2-周期点也对应于流的一个周期轨道，只是“转了两圈”．Smale证明了f有无穷多个周期点，而且扰动不掉．这说明Peixoto定理在高维确实不成立，也就是说，在高维，结构稳定性并不总表现为有限个周期轨道的简单形态，而可能与高度的复杂形态（后来被称为“混沌”）共存．这个重要的发现成为现代动力系统兴起的标志（可参考张景中院士等的关于Smale马蹄的一个简单模型以及他们的Smale马蹄及其Ω稳定性，北京大学张锦炎教授的关子Henon映像中的Smale马蹄，最近郭柏灵院士等的离散扰动NLS方程组的Smale马蹄与混沌(Ⅱ)——Smale马蹄，以及现为英国拉夫堡大学数学学院院长赵怀忠教授的Hénon映射产生的Smale马蹄等）．本书第三章将讲到这个“马蹄”映射.
Smale很快发现，这个问题有很深的历史渊源，它与20世纪前期我们海南琼州大学师爷叔Birkhoff的一些工作有关（如丘成桐说Birkhoff在前世纪20年代出版了经典著作《动力系统》--可道客下载-文档下载）．基于马蹄映射和随后Anosov的重要工作，Smale提出了“双曲集”的概念，并和Palis 一起提出了相当于Peixoto判别条件的高维形式，即对整个学科产生很大影响的“稳定性猜测”，这一猜测引发了包括他们自己和Robinson，廖山涛，Mane在内的许多学者的重要工作，推出了动力系统的一个全盛期，至于稠密性，则情况很不相同．Smale以及后来的许多学者发现，在高维，结构稳定系统不稠密．也就是说，在高维系统组成的空间里，存在这样的开集，里面每个系统都不是结构稳定的．Bonatti和Diaz甚至发现，存在这样的开集，里面每个系统的任意邻近，可以在差一迭代的意义下出现任何系统！世界的奥秘和神奇，就这样被一代一代的探索者们一步步揭开……可参考最近的McMullen映射动力系统与具有旋转域的有理映射的Thurston型定理（它涉及组合数学以及图论的方法和技巧。这Thurston就一直致力于研究3维流形的叶状结构，进而提出几何化猜想，并指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。佩雷尔曼就证明几何化猜想并也获得诺贝尔奖。其实，这2个诺贝尔奖获得者William Thurston和Curtis
McMullen的这理论，就是用组合方法来研究叶状结构，进而研究Teichmuller空间理论。关于叶状结构可参考Conlon和其博士的《Foliations I》和《Foliations II》或参看Moerdijk等的《叶状结构与李群胚引论》） (还可参考海南琼州大学师爷叔Birkhoff的博士H.
M. Morse和Steven
Smale最先得到的Morse-Smale向量场，莫尔斯-斯梅尔微分同胚，莫尔斯-斯梅尔系统等) 。数学大师陈省身撰写的“纪念几位数学朋友”中的胡世桢（Sze-Tsen
Hu）的师弟H.Brian
Griffiths主撰1993年出版的435页《Mathematics of models:
continuous and discrete dynamical systems模型数学:连续动力系统和离散动力系统》由这个大学的萧礼、张志军教授翻译科学出版社1996年出版（最近2001年创办《Discrete and Continuous Dynamical Systems离散和连续动力系统》杂志）。
再说一个动力系统领域-就是张跃、王光远院士合撰的《模糊随机动力系统理论》科学出版社1993年，目录：第一章 绪论，第二章 复模糊集合论基础，第三章 模糊复分析基础，第四章 模糊随机变量理论，第五章 模糊随机过程论，第六章 模糊微分方程，第七章 模糊随机系统，第八章 模糊随机动力系统的反应分析理论，第九章 离散线性模糊随机动力系统的反应分析，第十章 结构模糊随机地震反应，第十一章 研究展望（张跃的1991年的博士论文是“模糊随机过程论与模糊随机振动理论”
；最近2003年已当选为中国工程院院士的大连理工大学副校长欧进萍在1987年的博士论文是“模糊随机振动”，他俩的导师都是王光远院士）。
本页主要动力系统中得Solomon Lefschetz的博士Courtney Coleman这篇1959年在数学影响因子最高的杂志《数学年刊》的论文“A certain class of integral curves in 3-space. Ann. of Math. (2)
69 (1959), 678—685”和Palis主席的博士Maria Izabel Tavares Camacho的论文“Geometric properties
of homogeneous vector fields of degree two in R3. Trans. Amer.
Math. Soc. 268(1981),no.1,79-101”，介绍沿着它们为主线的这领域的发展状况：
首先Solomon Lefschetz的博士Courtney Coleman这篇1959年在数学影响因子最高的杂志《数学年刊》的论文“A
certain class of integral curves in 3-space. Ann. of Math. (2)
69 (1959), 678—685”最近才被一些引用：
Sebastian
Johannes van
Strien，Geovan
Tavares dos
Santos，Moduli
of stability for germs of homogeneous vectorfields on R3. J.
Differential Equations 69 (1987), no. 1, 63--84.
Jaume
Llibre，Yulin Zhao赵育林，On the polynomial vector fields on
S2.
Proc. Roy. Soc.
Edinburgh Sect. A 141 (2011), no. 5, 1055--1069.
Zhao
Jun Liang梁肇军，Brian D. Sleeman，The invariant closed cones of
homogeneous vector fields of degree two in R3. Acta Math. Sci. Ser. B
(Engl. Ed.) 21 (2001), no. 1, 29--36.
Xin An
Zhang张兴安，Lan Sun Chen陈兰荪，Zhao Jun Liang梁肇军，Global topological properties of
homogeneous vector fields in R3. Chinese
Ann. Math. Ser. B 20 (1999), no. 2, 185--194. （张兴安教授的博士生导师是上面写《非线性生物动力系统》一书的陈兰荪）
Jianfeng
Huang,; Yunlin Zhao，The limit set of trajectory in quasi-homogeneous system in R3. Appl.
Anal. 91 (2012), no. 7, 1279--1297.
Jianfeng
Huang, Yunlin Zhao，Extended quasi-homogeneous polynomial system in R3. NoDEA
Nonlinear Differential Equations Appl. 20 (2013), no. 6, 1771—1794；
黄健沨 Jianfeng
Huang, Yunlin Zhao赵育林，The projective
vector field of a kind of three-dimensional quasi-homogeneous system on
S2. Nonlinear Anal. 74 (2011), no. 12, 4088--4104.
Xin An
Zhang张兴安, Zhao Jun
Liang梁肇军, Lan Sun Chen陈兰荪，The global dynamics of a class of
vector fields in R3. Acta
Math. Sin. (Engl. Ser.) 27 (2011), no. 12, 2469--2480.
Palis主席的博士Maria Izabel Tavares Camacho的论文“Geometric
properties
of homogeneous vector fields of degree two in R3. Trans. Amer.
Math. Soc. 268(1981),no.1,79-101
而Palis主席的博士Maria Izabel Tavares Camacho的论文“Geometric
properties
of homogeneous vector fields of degree two in R3. Trans. Amer.
Math. Soc. 268(1981),no.1,79-101”引发的下面一系列工作：
其中作者张祥教授是上海交通大学数学、欧洲科学与艺术院院士，Jaume Llibre巴塞罗那自治大学数学系教授
Jaume Llibre;
Zhao, Yulin赵育林;. On the polynomial vector fields on S2. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 141
(2011), no. 5, 1055--1069.（赵育林教授的博士生导师是上面搞这相近领域的张芷芬）
·
R3中一类二次系统的5个极限环，杨翠红，梁肇军，张兴安，数学年刊A辑(中文版) . 2010 ,31
(04)
·
2 R3中一次齐次向量场的切向量场在球面上的轨线全局结构 孟晓明，梁肇军
华中师范大学学报(自然科学版)
1994-02-28 期刊
·
3 R3中二次齐次向量场过原点的不变平面的存在性 李以云，张兴安
华中师范大学学报(自然科学版)
1994-11-30 期刊
·
4 R3中一次齐次向量场的全局拓扑结构 张兴安，梁肇军
华中师范大学学报(自然科学版)
1996-02-29 期刊
·
5 R3中一类二次齐次向量场的拓扑结构 田森平,吴舜英
武当学刊
1998-06-30 期刊
·
6 R3 中一类二次齐次向量场的拓扑结构 田森平,吴舜英,滕建新 华南理工大学学报(自然科学版) 1998-09-28 期刊 1
·
7 R3中一类二次齐次向量场的大范围几何性质 张兴安
数学年刊A辑(中文版) 1999-08-25 期刊 8
·
1 R3中二次齐次向量场的一些性质和分类问题
吴葵光
科学通报
1988-09-27 期刊
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8 R3中三次齐次向量场的一些性质 杨丁,周明华
河北师范大学学报 2000-06-25
1954年,三位数学家科尔莫戈罗夫(Kolmogorov)、阿尔诺德(Arnold)和莫泽(Jürgen
Moser)证明了一个非常重要的动力学定理:KAM定理（这3人都是宗师其中Kolmogorov是世界第一、Arnold写上面多本书、Jürgen Moser是1983年数学联盟主席1994年沃尔夫奖得主）
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1、Liénard方程极限环的存在唯一性定理，曾宪武，数学学报1978-06-30这些论文引用它“（武汉东湖中学，xianwu zeng曾宪武先生,毕业于清华大学,中科院硕士研究生,赴美攻读博士后学位。学成,荣获美休斯顿、密执安等五所名牌大学特聘数学教授,为振兴中华,他毅然 辞聘,现任武汉大学一级数学教授）
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[1] 近几年liénard方程极限环研究的若干动态和思考[J]. 吴洪武.中山大学研究生学刊(自然科学版),2000(04)
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[2] 近几年liénard方程极限环研究的若干动态和思考[J]. 吴洪武.中山大学研究生学刊(自然科学版),2000(04)
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[4] 二次系统极限环的唯一性[J]. 蔡燧林,张平光.高校应用数学学报A辑(中文版),1991(03)
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[6] 一个生物化学反应方程的极限环的唯一性[J]. 张平光.高校应用数学学报A辑(中文版),1987(02)
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[7] 微分方程(?)=φ(y)-F(x),(?)=-g(x)的极限环的存在唯一性[J]. 何启敏.数学年刊A辑(中文版),1986(02)
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[9] 关于Liénard方程极限环唯二性定理的一点注记[J]. 王裕民.数学研究与评论,1986(01)
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[10] 极限环的参数展开摄动法[J]. 王克志.南方冶金学院学报,1983(02)
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[13] 关于 Liénard 方程至多存在 n 个极限环的一个充分条件[J]. 张芷芬,何启敏.数学学报,1982(05)
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[14] Liénard方程在有限区间上极限环的存在唯n性定理
[J]. 丁孙荭.中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学),1982(09)
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[15] ON THE UNIQUENESS OF LIMIT CYCLE OF LIENARD'S EQUATION[J].
曾宪武.Science in China,Ser.A,1982(06)
[J]. 曾宪武.中国科学(A辑 数学 物理学 天文学 技术科学),1982(01)
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[17] 关于Liénard方程极限环的唯二性问题[J]. 张芷芬.数学学报,1981(05)
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QUALITATIVE INVESTIGATION OF THE DIFFERENTIAL EQUATION OF
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相似论文：
R3中一类二次系统的5个极限环，杨翠红，梁肇军，张兴安，数学年刊A辑(中文版) . 2010 ,31
(04)
R3中二次齐次向量场的一些性质和分类问题，吴葵光，科学通报1988年18期”引用：
2 R3中一次齐次向量场的切向量场在球面上的轨线全局结构 孟晓明，梁肇军
华中师范大学学报(自然科学版)
1994-02-28 期刊
3 R3中二次齐次向量场过原点的不变平面的存在性 李以云，张兴安
华中师范大学学报(自然科学版)
1994-11-30 期刊
4 R3中一次齐次向量场的全局拓扑结构 张兴安，梁肇军
华中师范大学学报(自然科学版)
1996-02-29 期刊 13
5 R3中一类二次齐次向量场的拓扑结构 田森平,吴舜英
武当学刊
1998-06-30 期刊
6 R3 中一类二次齐次向量场的拓扑结构 田森平,吴舜英,滕建新
华南理工大学学报(自然科学版)
1998-09-28 期刊 1
7 R3中一类二次齐次向量场的大范围几何性质 张兴安,赵育林,孟晓明
数学年刊A辑(中文版) 1999-08-25 期刊 8
8 R3中三次齐次向量场的一些性质 杨丁,周明华
河北师范大学学报 2000-06-25
[1] 微分方程
dx/dt=h(y)-F(x),dy/dt=-g(x)极限环的存在性[J]. 黄克成.数学学报,1980(04)（只有4篇论文，数学评论6篇其中1片石专辑1篇是翻译极限环论）
[2] 非线性方程极限环的存在性，吴葵光，数学学报1982(04)”：
[3] 极限环的存在性定理. 余澍祥.数学进展,1965(02)。
[4]
A. O. Ignat’ev，Estimate for the amplitude of the limit cycle of the Liénard
equation，Ordinary
Differential Equations，53, 302–310, (2017)
[5] Dean A.
Neumann，L. D.
Sabbagh，Periodic
solutions of Liénard
systems. J. Math. Anal. Appl. 62 (1978), no. 1, 148—156
被下面论文引用：
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[1] 一类非线性系统解的有界性[J]. 赵丽琴;李媛媛.数学杂志,2008(02)
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[2] 关于系统x=φ(y)-F(x),y=-g(x)的极限环之唯一性[J]. 张谋.重庆大学学报(自然科学版),2002(06)
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[3] 一类非线性微分系统零解的全局渐近稳定性[J].
梁兆芬.常德师范学院学报(自然科学版),2000(04)
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[4] 一类非线性系统解的有界性和零解的全局渐近稳定性[J]. 刘炳文.常德师范学院学报(自然科学版),2000(02)
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[5] 一类非线性方程极限环的存在性[J]. 陈新一.甘肃教育学院学报(自然科学版),2000(01)
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[6] 一类非线性系统极限环的存在性[J]. 陈新一.甘肃教育学院学报(自然科学版),1999(04)
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[7] 一类微分方程极限环的存在性[J]. 陈新一.甘肃教育学院学报(自然科学版),1999(02)
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[8] 一类微分方程组极限环的存在性[J]. 陈新一.甘肃科学学报,1999(01)
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[9] 平面自治系统极限环的存在性[J]. 杨启贵.数学研究,1996(04)
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[10] 方程（dx）/（dt）＝φ（y）－F（x），（dy）/（dt）＝－g（x）的极限环存在定理[J].
梁锦鹏.广东工学院学报,1996(04)
方程极限环的存在性
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张祥教授是上海交通大学数学、欧洲科学与艺术院院士，Jaume Llibre巴塞罗那自治大学数学系教授
李时敏,陈挺*,刘玉记,黎小丽, 平面折射系统极限环的存在和唯一性, 中国科学:数学 51 (2021) 605-614.
李时敏*，Jaume Llibre, 一类pitchfork分支的全局相图, 中国科学：数学，49(2019), 1201-1208.
李时敏*, 赵育林, 岑秀丽, 一类不连续平面二次微分系统的极限环, 中国科学:数学, 45(2015), 43-52.
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QUALITATIVE INVESTIGATION OF THE DIFFERENTIAL EQUATION OF
BRUSLATOR IN BIOCHEMISTRY |
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