矩阵论不仅在20世纪十大最好算法中占3个，它发挥重要作用的学科领域也很多,如这里湖南大学博士生课程涉及的泛函分析等等.

此外,在我读研时百次去和读的中国声纳第一人的合成孔径声纳和雷达也发挥极为重要的作用.

以及对这里中下部分的我百次去和攻读培养出电路无线电“中国超级班”冯秉铨教授的著作的专业所起的做用就如这书内容简介说“本书是剑桥大学电气与电子丛书之一”的《应用电路理论-矩阵和计算机方法》一书（当然,象这里中下部分就见有许多图论电路的著作，而图论与矩阵就是密切相生的。其密切的也包括80年代教师月薪仅几十元时每次都得约千万元经费全国最多的来信邀请海南琼州大学做集成电路的院士做的）

清华大学首批博士(罗飞路、欧阳钟灿、倪以信、朱东）之一的博士导师王先冲教授的《电磁场理论及应用》前言说“由于计算技术的发展,各种数值方法在电磁场边值问题中得到日益增多的应用。因此,场的数学描述除了用微分方程外,近年来差分方程、变分方程、积分方程等重新受到重视…”（当然,悠久些且以前就很强的大学的首批博士导师应没有多少意义,如与此专业相近的我也攻读他俩的著作的这里最后段该清华大学电路无线电专业的孟昭英院士和常迥院士应该比王先冲教授更具学科领军性/成就也更大。上一行我百次去的大学的第一个博士导师在这里中间段见就是上面冯秉铨教授的研究生，更如北京大学首批博士也有许多人）；  另一个领域-矩阵光学：参考《Introduction to Matrix Methods in Optics》作者：Anthony Gerrard和 James M. Burch,（美国数学评论收录评论就说明这应用数学领域有其地位，它就是已翻译并由邓锡铭院士校的这书《矩阵光学导论》-也可看其介绍），王绍民等的《矩阵光学原理》获国家教委优秀教材一等奖，还有这里的吕百达教授和卢亚雄也合写《矩阵光学》

还有,稀疏矩阵在机器人感知等领域也已发挥重要作用,而对稀疏矩阵结构的操作则比较复杂，和排序、消去数等图论技巧关系密切,就象刚见的大量依靠稀疏矩阵和概率图论的Frank Dellaert教授的《机器人感知:因子图在SLAM中的应用》，（可参考这里更多机器人感知相关内容）

海南琼州大学曾居世界先进的非负矩阵分解也已在计算机视觉和模式识别起很重要的作用-如可见很多国内顶级杂志的论文:“二维投影非负矩阵分解算法及其在人脸识别中的应用”，“一种基于加权非负矩阵分解的多维用户人格特质识别算法”，“增量式鉴别非负矩阵分解算法及其在人脸识别中的应用”，“使用稀疏约束非负矩阵分解算法的跨年龄人脸识别”，“基于非负矩阵分解算法的目标成像识别方法”，等等

海南琼州大学曾居世界先进的非负矩阵分解还在高光谱图像也起重要的作用--如可见很多论文: “改进的MVC-NMF(即最小体积限制的非负矩阵分解)算法在高光谱图像解混中的应用”，“基于约束非负矩阵分解的高光谱图像解混快速算法”，“端元约束下的高光谱混合像元非负矩阵分解”，“基于快速非负矩阵分解和RBF网络的高光谱图像分类算法”，“应用稀疏非负矩阵分解聚类实现高光谱影像波段的优化选择”，等等，

再如下面就简述的微分方程解和性质的矩阵论方法:   

    微分方程的差分逼近

    先看二阶自共轭常微分方程:-d2y(x)/dx2+s(x)y(x)=f(x),  a<x<b, s(x)³0;

    和两点边界条件 y(a)=a;  y(b)=b.

在区间a£ x£ b上取等步长 h=(b-a)/(N+1),并记离散问题的网络节点为 xj=a+j-(b-a)/(N+1)= a+jh, 0£ j£ N+1,

要导出上面二阶自共轭常微分方程的差分逼近,我们最熟悉的方法也许就是基于它的解y(x)的有限泰列级展开.

y(xi)简记为yi,则yi±1的有限泰列展开是yi±1= yi±hyi(1)+ yi(2)h2/2!± yi(3)h3/3!+ y(i+qh)(4)h4/4!, 0<|q|< 1,  

结合上面二阶自共轭常微分方程,可得 (2yi- yi+1- yi-1)/h2+siyi=fi- y(i+qh)(4)h4/12, 0£ i£ N,

注意到y0=a, yN+1=b, 我们有N个未知量yi的N个方程.用矩阵记号可以等价地写成 AY=K+t(y), 可把A写成具有正对角元素的对角占优阵.

由上面矩阵方程,我们定义方程AZ=K.的解向量Z为上面解y(x)的离散逼近. 注意这个逼近是简单地略去AY=K+t(y)中向量t(y)而得到.这是因离散逼近Z随h®0而收敛到解y(x). 当然

进一步需要讨论的是:一般二阶常微分方程的差分逼近.特别是考虑方程:- d/dx{p(x)dy(x)/dx}+ q(x)dy(x)/dx+s(x)y(x)=f(x),  a<x<b, s(x)³0;

和一般的两点边界条件:a1y(a)-b1y¢(a)=g1; a2y(b)-b2y¢( b)=g2;

进而看:高维微分方程的差分逼近的导出.先看二阶自共轭椭圆型偏微分方程: -(P(x,y)ux)x-(P(x,y)uy)y+s(x,y)u(x,y)=f(x,y),  (x,y)ÎR,

R是平面上一个开的有界连通集，边界条件如下:

 a(x,y)u+b(x,y)u/n=g(x,y),  (x,y)ÎG, 此处G是R的边界，假定它是充分光滑的.

假定第一式的所给的函数在R的闭包连续并大于0,第二式也给类似假定.并定义矩形网络,即在平面上作一组平行于坐标轴的直线,显然每一节点(xi, yj)对应闭区间ri,j-称属于这一节点的网眼区域. 我们在ri,j上积分

 -òòri,j{(Pux)x+ (Puy)y}dxdy+òòri,jsudxdy=òòri,jfdxdy,

由Green定理,可得  -òòri,j(Puxdy-Puydx)+òòri,jsudxdy=òòri,jfdxdy,

可导出Au=K+t(u), 其后再来研究矩阵A的性质,这里略去

    抛物型偏微分方程的矩阵方法等的讨论也在这里略去.

 

   下面再看一个能有怎样衍绎的有趣方向:即下面要描述的通过关系式B=SAST与已知矩阵A相关联的所有矩阵B的集合具有什么不变量？

   让f是二次连续可微函数，实矩阵H(x)=[hij(x)]=[2f(x)/xixj]ÎM

   称为f的Hessian矩阵，它最先由Otto Hesse提出。

    显然，一个二次连续可微的实值函数的Hessian矩阵总是实对称矩阵。

   任一二阶线性偏微分算子L可以写成形式

   Lf=åi,j=1naij(x)2f(x)/xixj +诸低阶项，x=[xi]ÎD

    如果作自变量到新变量s=[si]ÎD的非奇异变换，则每个si=si(x)，而非奇异性则说明Jacobi矩阵S(x)=[si(x)/xj] 在D的每一点都非奇异（Jacobi的博士有上面Hesse并Hesse的最后5个博士都是和基尔霍夫合作指导的）。这个假定保证变量x=x(s)的逆变换在局部存在。直接应用链法则可证，在这些新坐标下，算子有形式

   Lf=åi,j=n [åp,q=1nsi/xp apqsj/xq] 2f(x)/xixj +诸低阶项==åi,j=1nbij(x)2f/sisj +诸低阶项

   因此，新的系数矩阵B=[ bij(x)]与旧的系数矩阵A=[ aij(x)]的关系可用关系式表示 B=SAST

   如果微分算子L与某个物理定律有关（例如，拉普拉斯算子L=V2和静电势），尽管对自变量的坐标选择显然会影响L的形式，但它决不会影响该定律。因此，我们不禁要问，通过关系式B=SAST与已知矩阵A相关联的所有矩阵B的集合具有什么不变量？

  我们说其中没有低阶项的Lf=åi,j=1naij(x)2f(x)/xixj给出的微分算子L是椭圆型的，是指系数矩阵A是非奇异的且它的所有特征值有相同的符号。称微分算子L是双曲型的，是指系数矩阵A是非奇异的且它的n-1的特征值有相同的符号，而另一个特征值有相反的符号 

 

关于我的导师的学科，世界第8个信息科学诺贝尔奖奈望林纳奖和1993年18项之一的教育部科技一等奖就分别属于我导师的教育部批准的我国第3本数学研究生教材《组合矩阵论》的第一章和第三章，第四章是发展这里陆家羲获得国家自然科学一等奖以及可比肩牛顿、爱因斯坦的信息论之父的重要理论等，第五章发展历史上34个大师之中的英国的Cayley、Hamilton和法国Hermite等人的关键领域,等等。这里只介绍下面我的已是美国“第一大学”终身教授的师弟做的第二章的领域的部分相关铺垫内容：我们知道n阶随机矩阵刻划所谓n个状态的马尔可夫链。设某系统具有n个可能状态S1, S2,…, Sn. 若对任意i, j=1,2, …, n ,此过程从状态i移到状态j的概率pij与时间无关称其为一个有限齐次马尔可夫链。记此系统在时刻t处于状态Si的概率是pi(t)³0，åi=1npi(t)=1，则下一个时刻t+1处于状态Sj的概率是åi=1npi(t) pij。我们知道图G和H同构当且仅当它们的邻接矩阵A, B置换相似。一个同构可看作是一个实n2维空间Rn´n的一个点，P是n阶置换矩阵的集，P(A, B)是G和H的所有同构的集，P(A, B)-表示空间Rn´n的凸多面体(convex hull)，其顶点(extreme points)是G和H的同构P(A, B)-={ åicipi| åici=1, piÎ P(A, B)}。双随机矩阵是转置矩阵也是随机的。记Wn(A, B)={X| AX=XB, X是双随机阵}。记Wn是所有的n阶双随机矩阵，则有P(A, B)-ÍWn(A, B)ÍWn。若一个图G的邻接矩阵是A,且P(A)-=Wn(A)，则称G是紧的(compact)。G的所有非负自同构的集是一个在O的锥(Cone)，记作 Cone(A)={X| AX=XA}。 G的自同构集P(A)生成P(A)Ù={åPÎP(A)cpP| cp³0}。显然P(A)Ù ÍCone(A)。若P(A)Ù =Cone(A)，对应的图G称为超紧的(supercompact)。即刚见湖北省2013年数学讲座特聘教授只有5人（依排名是：研究本原矩阵指数的喻革新、其次是黎雄、Rybin Oleg、陈迪荣、黄养新。其他全部3华人都是读过湖北的大学而被它们聘即圣位神职先让校友嘛而喻革新的大学和硕士生都读广州同一大学又也不是湖北人-即与湖北省的大学没有关系可人才济济的湖北省仍都选聘他，除聘“讲座特聘教授”外,另一聘职“楚天学子”是主要聘刚毕业不久的优秀博士-就不说这低层次的），这排在第一的我的师弟即上面柳柏濂教授的研究生喻革新教授就是这里课题八中美国历史上第二悠久大学CWM的终身教授--而1999年做上面我介绍的领域的论文《关于奇、偶双随机矩阵的一些注记》最后说“得到了导师柳柏濂教授的大力帮助”的作者就是我这师弟喻革新教授正在读硕士研究生时发表的--然而仅13年后他就是美国第 2悠久大学的终身教授-上面湖北省才特聘教授-刚看他网见已是正教授（在百度见公认的美国国父-美国第一任总统乔治·华盛顿简介只唯一写毕业于我这师弟担任终身教授的这CWM大学、还有美国第3任总统Jefferson的毕业院校也唯一只写我这师弟担任终身教授/正教授的这大学[这2个总统也是美国开国三杰中的2杰--另一杰是一生只在学校读了这两年书的本杰明·富兰克林]。其实还有如美国第5任总统Monroe等等也唯一在这CWM大学读过书--足见这大学以前特厉害--确实美国第一悠久的哈佛大学的哈佛只是活了31岁的新牧师当然不要说我们就是名贵也多望尘莫及-而喻革新的大学名CWM的W和M分别是2个英国国王名字-如此创造很多美国历史上的第一如美国第一所从学院成为大学的学校等等-那时美国还是英国殖民地--其后1776年美国通过了《独立宣言》-1778年法国正式承认美国-2年后的1780年哈佛学院才改为大学）-不过-刚仍见2014年喻革新的大学本科排名全美国第2，那担任它的终身教授正教授还是很不错的--也如这CWM大学早期的一个毕业生也创办麻省理工学院并任首任校长-美国很多著名大学也源于此）--但在上面美国《数学评论》见我的这非常聪明的师弟2000年硕士毕业至获得美国博士前夕的2005年也仅有3篇论文,而且第一作者论文仅有上面发表在广东职业师范学院的这《关于奇、偶双随机矩阵的一些注记》，然而他读博士学位的最后一年起就连续不断结出硕果成为非常活跃在国际科学前沿的专家，这也说明在美国各方面有条件帮助合作有心情做研究，使我这师弟成为美国历史上第二悠久大学的终身教授（在美国世界新闻报道中喻革新教授的大学在美国12个必去的历史景观被列为第二、全美最美的校园第8位)。但喻革新教授硕士毕业至获得美国博士前夕的2005年也仅有3篇论文且第一作者是我导师开创的这上面学科的这一篇论文。足见这个领域这学科有些问题非常困难，也如迄今为止仅知道树、圈、完全图Kn.及K*n.等及它们的补、完全补是紧图，则有问题：还有哪些图类是紧的？而关于非负矩阵指数，可归类为：

第一部分、Maximum Index

Pn(n阶本原矩阵)            g(A)£(n-1)2+1              Wielandt(1950年发表)

Pn(d)(含d个正对角元的n阶本原矩阵)         Holladay and Varga(1958) (他俩的PAMS的这论文On powers of non-negative matrices的极值完全刻划问题由海南琼州大学仅用半页解决-而我国大师用八页解决),其后下面的斯洛伐克科学院院长发表和H-V的同标题的论文

Pn(n阶本原矩阵)            g(A)£n+s(n-2)             Brandon大学校长Dulmage and Nathan Mendelsohn主席(1964)（后者是组合数学大师内森•门德尔逊-也见Nathan Saul Mendelsohn或看这里）

 Tn(n阶竟赛矩阵)                                                   Moon和Pullman(1967) （前者是Leo Moser大师的博士，后者是二十世纪后半叶世界概率学界教父---钟开莱的博士 )

Fn(n阶完全不可分矩阵)                                      Stefan Schwarz (1973) (他是斯洛伐克科学院院长)

DSn(n阶本原双随机矩阵)                                   Lewin (1974)

CPn(n阶本原循环矩阵)                                        Kim-Bulter and Krabill(1974)

NRn(n阶本原几乎可约矩阵)                               Brualdi and Ross(1980)

Sn(n阶本原对称矩阵)                                           邵裕嘉(1986)          (上面已说邵理事长的这篇1986年的论文我们海南琼州大学也给出很简单证明--当然除了对这2篇最受重视的结果给出更好方法之外-上面已说我们海南琼州大学还创造发表“非负矩阵”的很多世界先进水平的新的论文成果。但邵教授这篇论文是本领域最受关注的如在琼大升本科的2006年之前已被国内引用54次，而如伟大的陈景润院士证明哥德巴赫猜想的论文已发表30余年了也才被引用11次-且大部分是地市专科或省市级杂志引用（倒是在期刊网见贵州民族学院黎鉴愚一生只有7篇论文且全是在1984年-1986年发表并除了英文和2篇省级的外的其余4篇都和陈景润大师合作并这4篇的引用都超过陈景润大师包括哥猜所有论文-其中3篇更是远超陈景润大师的所有论文-那这怎么说）-那也是否研读艰难/突破艰难特别是延展性难等的结果就少被引用？你看仅这1个哥德巴赫猜想贴吧就见爱好者和研究者数以万计，却至今才一共有11篇论文引用陈景润的论文。再如我2006年看期刊网见我国的哈密顿图开宗第一大师-中国图论学会第一届主席朱永津教授至今48篇论文中除和山东师大王江鲁教授合作的一篇被山东师大师生引用9次外，以及和北京大学朱若鹏合作的组合排列方面的论文被引用5次外，朱永津教授的其余共46篇论文主要是哈密顿图的但一共竟只被引用8次。这教育部数学与力学指导委员会副主任也做世界三大难题而仅 被引用1次

S0n(迹为零的n阶本原矩阵)                                柳柏濂、McKay院士、Wormald主编和张克民教授合作(1990)（他们的这篇论文也很有影响及McKay院士很有名因此我同样也给出它简单证明发表在这杂志。McKay在国际数学家大会作45分钟报告是SCI收录的《E组合数学杂志》创刊主编-也是澳大利亚科学院历史上第205个院士，Wormald是图论组合界最权威的JCT主编）