这里说一类哈密顿图结构-最短路(测地)泛圈：已有一千多年的哈密顿图依其结构可分为哈密顿圈和各类复圈结构哈密顿图，而正如下面所说，刻画其各类结构性质有2条基本性的重要道路：即“度和型”条件和邻域并条件（关于后者-这里国家基金委网申请书填写的图结构领域的条件只有一个候选关键词-就是邻域并条件，而我们海南琼州大学对它的所有复圈结构的8个领域[若分有无参数则16个]还结合各类特殊条件都是世界最先取得突破的）。这页的下面主要说不久前出现的另一类圈结构-即“最短路径(测地)泛圈图”，虽然前面的各类结构性质更基本，但这类图的最基本的“度和型”条件-点击看这篇投到《离散应用数学》杂志的论文(Elsevier Editorial System(tm) for
Discrete Applied Mathematics, Manuscript Draft, Manuscript Number: DA846)见本来我们海南琼州大学也是最先解决的。然而却因我们山区条件受限使迟迟无法发表，使如这里的国家基金中见在我们这论文投稿后的第6年美国专家Nicholson和美国密大研究生院院长Bing Wei最近已发表度和型条件--虽然美国专家的阶稍多考虑而有更多的4类例外图-这还是多了些例外图-特别是这些例外图较杂乱无甚结构的规则性--这4类例外图虽比我们琼大的多些但若它的结构还算完整规则些也还更有些意义。而海南琼州大学比美国早6年投稿的结果仅有1类例外图且这类图只由完全图和空图构成的-并如此完美结构的例外图G的临界代表性非常明确比所要求的测地泛圈的结构还更清楚！（则至此应算完成课题[但要先发表啊-否则美国的也可推出就没有发表的必要了],虽再做就象前面美国Nicholson等的有过多杂乱的例外图-这表明阶段性在我们之时算已结束--当然再做肯定还会有它的其它一些方面必要）-因此我们海南琼大算是世界上第一个解决“度和型”的-可惜这因经费等受限而未能及时发表-实为令人扼腕甚是遗憾…
论文一(台湾四个专家的关于度条件的论文)、关于这“最短路径(测地)泛圈图”，它最先诞生于这个台湾图论实验室，它由詹教授、台湾科技大学图书馆原馆长现台湾商业大学副校长王有礼、张肇明院长（他和正校长在这里并排但只有他一个人是特聘教授）以及前任是教育部部长的台联大候选校长洪西进这4个人合作发表在《离散应用数学》杂志--他们在论文中得到下面2个定理（它也是詹宏章教授的博士论文“最短路径泛圈图”工作的主体内容-此文第5页说詹宏章从硕士读到博士历经九年研究）：
定理1¢ (詹宏章、张肇明、王有礼、洪西进).若连通n≥4阶图G的d≥(n+2)/2, 则图G是最短路径泛圈图(这定理是这里第七节的定理7.1)
定理2¢ (詹宏章、张肇明、王有礼、洪西进).若连通n≥4阶图G的不相邻的任两点u,v均有d(u)+d(v)≥(3n-2)/2, 则图G是最短路径泛圈图. (这定理是这里第七节的定理7.2)
最先研究这课题的上面这几个人在台湾是著名权威专家并是历经多年强力合作，如此海南琼州大学改进他们的上面2个结果-即见这篇论文（可因泛圈图难-多数专家也仍仅抓着一鳞半爪而在海南琼大之后仍再做了约20年-对更多其它条件在很多艰难方面起的作用更难有更多深入认识）即这段要说上面2个定理的条件d和d(u)+d(v)，其中最小度型d条件(即Dirac型条件)仅是起点可起先导性作用（即这个点或许是早期探索尚所需--现跳过它直接进入度和型需有更多深入积累-还因迄今几乎所有其没有例外图的度和型也尚没有-如此基本不需要引用它-那现在还如此则是拘泥迂腐--这观点似没有图论学家说过--因它过于让那些亦步亦趋的专家大惊-因为没有哪个权威大师敢怀疑最小度的基本性--但现在已几乎可在同时间尺度就跨越它俩-为何还要迂腐--再想想是否如此-当然做附注就各随其意）--而对各类哈密顿图起另一最重要实质作用的是度和型d(u)+d(v)条件(即耶鲁大学Ore院士条件)，更重要的是它常是登峰造极的最重要表达（就因和它常登峰造极的其它极致条件都有许多跨度大的例外图。但众所周知，度和型条件的分数式不是令人愉悦的进展演绎--而是整数式，即长期以来，主流图论学家通过不断尝试而对度和型条件分数式的作用已极其小心翼翼因陷进去可能会进退两难-已很极其戒备甚至多大的诱惑也已不抱期望不再考察分数式，所以上面第2个定理选择错了发展方向--也就选错了前进的道路，也即这领域最关键的度和型条件还没有做--为了结束遗憾-我们下面给出整数表达式结果：从上面他们的定理2¢和下面我的定理2比较看-也看出分数式和整数式的差别非常大；另外，上面已说若稍站高一点，最小度即他们上面定理1¢也仅就做个附注--即有下面定理2就根本不需要上面定理1¢，而且若考虑到这里六个主流领域全都已做到d≥n/2，那在第一时间就想到上面定理1¢应做到下面定理1似也很自然，而从例外图之跨度看-其很难成为经典。关于上面说全世界没有图论学家说过、也没有想过的大多情况下可忽视最小度的观点，我从没有正式说，还是让大师们来评说吧--因在很大程度上依各人深入在更多相关领域实践程度才可能更接近达成公论，但就是最小度有些意义的个别情况上-度和型都仍永远优于它并在所有条件中它和邻域并的绝对重要性已是无疑的）：
论文二(海南琼州大学赵克文改进的关于度条件论文)、
定理1(赵克文)（即这网的定理[22-2].若连通n≥4阶图G的d≥(n+1)/2, 则图G是最短路径泛圈图或Ю。
定理2(赵克文)（即这网的定理[22-1].若连通n≥4阶图G的不相邻的任两点u,v均有d(u)+d(v)≥n+2, 则图G是最短路径泛圈图或G（它也是我上面编号是DA846的论文的一个定理。不过到写上面国家基金申请书之前这2个定理以及与这领域有关的工作-我都还没心情发表一个字）
论文三(海南琼州大学赵克文开创的邻域并条件的论文)、
定理3(赵克文):若2连通n≥4阶图G的NC≥(2n+5)/3, 则图G是最短路径泛圈图或W（其艰难程度极其大-堪比这篇）。
论文四(海南琼州大学赵克文开创的无爪图度条件的论文)、
定理4(赵克文):若连通n≥N(e)阶无爪图G的(d+e)≥n/5, 则图G是最短路径泛圈图或Y。
定理5(赵克文):若连通充分大阶无爪图G的的不相邻的任两点u,v均有d(u)+d(v)≥(2n+5)/5, 则图G是最短路径泛圈图或F。
论文五(海南琼州大学赵克文开创的无爪图邻域并条件的论文)、
定理6(赵克文):若2连通充分大阶无爪图G的NC≥(2n+5)/6, 则图G是最短路径泛圈图或P（艰难比论文三小）。
本来海南琼大是世界上最先把一般图的最短路(测地)泛圈做到最好的，那多这段要说的各类特殊图的最短路(测地)泛圈要做到最好已是轻车熟路的-一般就套这框架做就行就是碰到点卡克也已知主要的变法即已熟悉了很多类图的变法--然而因海南五指深山区的琼州大学困难重重就如这里说我1993年回海南深山的琼州大学就去海口找周绍辉和王德这两个海南这方面最权威的医生住院直到1999年才出院并这几年真的一点数学都不看更不会动手做一点问题不会些几句数学之话如此虽然上面超越台湾得到最好的系列结果都是基于1993年回海南以前打下的深厚根基而偶然见之就顺手做出的而此时此事同样也将必定会非常遗憾因仍无暇顾及以台湾为主的地区自然就会再做的这段后面各类特殊图类的最短路径(测地)泛圈图等等：如On the Geodesic Pancyclicity of Crossed
Cubes发表在《WSEAS Transactions on Circuits and
Systems》---海南琼州大学是这同一学会在2003年出版的另一个杂志《WSEAS
Transactions on Computers》的副主编即这里第19（与包括海南琼州大学同任这杂志副主编的有3个华人紧排列着即另2个副主编是华东交通大学校长助理卓力教授和英国贝德福德大学Dayou
Li教授（即李大有教授并他是欧盟第七框架项目（ECROBOT）首席代表而中科院沈阳自动化研究所是ECROBOT参与单位）还如这英国Dayou
Li李大有教授邀请东北大学和沈阳新松机器人公司、中科院沈阳自动化研究所合作成立的国内“985高校”首个机器人学院的东北大学机器人科学与工程学院常务副院长吴成东教授和机器人视觉与自主导航研究所所长方正教授（东北大学机器人学院院长由新松公司中央研究院院长徐方兼任徐方还和清华副校长等是中国人工智能产业发展联盟副理事长）；我们仨下一位副主编是伦敦Shuliang Li(李书良)教授再有是香港Cong Wang(王聪)教授），并第一副主编Maurice Margenstern是在小型通用图灵机领域最多产的而这是计算机科学等一直的研究热点而且Maurice Margenstern的导师Shanin的导师是20世纪居于前列的数学大师Pavel Sergeevich Aleksandrov也是与20世纪第一数学家Andrei Kolmogorov(柯尔莫哥洛夫)是1927年和1935年毕业的师兄弟也就他还是柯氏的师兄；；还有论文Geodesic pancyclicity and balanced
pancyclicity of Augmented cubes发表在《Information Processing Letters》；；Geodesic-pancyclicity and
fault-tolerant panconnectivity of augmented cubes发表在《Applied Mathematics & Computation》；；Geodesic pancyclicity of twisted cubes发表在《Inform. Sci.》；；Geodesic pancyclicity and balanced
pancyclicity of the generalized base-b hypercube发表在《Discrete Applied Mathematics》；；Geodesic pancyclicity and balanced
5-pancyclicity of 3-ary n-cube发表在The 25th Workshop on Combinatorial
Mathematics and Computation Theory；；On the Geodesic Pancyclicity of Mobius
cubes；；以及最近大陆也才做起着方面工作如k-ary n立方体中的测地泛圈Geodesic Pancyclicity of k-ary n-cube发表在《Journal of
Minnan Normal University(Natural Science)》等等等…
在詹宏章教授的主页见他至今只有2篇杂志论文-另一篇是博士毕业几年后发表的，足见他从硕士到博士历经九年钻研的哈密顿图非常不容易。詹宏章教授的2个博士导师是原台科大计算机学院院长现台湾商业大学副校长王有礼教授和台湾联合大学第4任候选校长洪西进（洪的前3任都是重要大学的校长并都是院士，即台联大第1任校长是中研院副院长兼中央大学校长刘兆汉院士，第2任代理校长吴妍华院士在代理期间被聘为台湾交通大学校长、第3任校长曾志朗院士更是台湾教育部部长等。
关于非常不容易的哈密顿图，有非常多著名博士都远超9年才毕业，如这里见欧盟数学会主席的儿子1986年起跟国际数学联盟主席攻读的硕博士都是做哈密顿图而且直到1997年才毕业--毕业至今的论文也很少。顺附些趣闻解闷: 全美国最聪明的天才儿童一文 前三人依次为：1· Lenhard Ng，2· Terence Tao，3·
Ngo Bao Chau，其中第2个Terence Tao(即陶哲轩-曾是十大数学天才）和第3个Ngo Bao Chau 都早已获得数学诺贝尔奖，第1个Ng在10岁的时候做SAT测试已经取得了800分满分。这三人都各参加三届国际数学奥林匹克竟赛，Tao
获得1届金奖，Ng和Chau各获2届金奖。当然国与国是不同的（如世界历史上十大数学天才的Tao获得金奖的那届仅34分，而同届的中国的Hongyu He得满分42分但He现仍仅是助理教授），因我们中国是为竟赛而长期专门培训，美国短期培训可能有，也如Ng获金奖的那届国际数学奥林匹克竟赛全世界仅有大陆的Hong
Zhou和台湾的Hung-Wu
Wu的分数比Ng高，那没有经竟赛长期培训的Ng已如此那应是天才。和这哈佛大学天才Ng共同提出k-ordered哈密顿图的Schultz的博士导师是表达愿意和琼州大学合作的世界第3的图论大师Gary Chartrand并且Schultz至今29篇论文中和Gary Chartrand合作的就有20篇…