组合数论以及遍历理论、调和分析等中极其重要的Szemerédi的系列工作
主要是Endre Szemerédi(安德烈·塞迈雷迪)在60、70年代得到的Szemerédi正则引理和Szemerédi定理的演化，就如剑桥大学 Fields奖获得者Timothy Gowers教授在Ann. of Math.说Szemerédi Regularity Lemma的“precise statement is as follows”。
（Szemerédi引理：对每个e>0和m³1，有一整数M使得每个阶至少是M的图G(V, E)必有一e-regular.划分P（|P|Î[m,M]）（注：e-regular.划分P
就是“划分(V0 , V1,…, Vk)(m£k£ M)能使至多ek2个G[Vi, Vj] (1£i<j£
k)不是e-regular）。对做图论的人只需先掌握有严格定义的e-regular（e-正则）概念就可理解）。
其重要性可参考Timothy Gowers写的安德烈·塞迈雷迪(Endre Szemerédi)的工作，陶哲轩写的What
is Good Mathematics?有PDF（有翻译：什么是好数学？，也参可看他2006年写的一篇论文），Simonovits最近撰写的正则性引理与极值图论，
具体的描述也可参考牛津大学Alexander Scott教授下面的表达（Fields奖获得者Timothy Gowers和他的师弟Alexander Scott教授的导师Béla Bollobás院士曾在这里最后来信高度评价我们琼州大学的工作）：
剑桥Gowers和牛津Scott对引理的描述已非常清楚准确了。不过，既然上面M依赖于e和m，我就参考下面Lovász,主席的表达方式-把它们的关系更具体地表示出来如下：
Szemerédi引理：对每个e>0和每个m³1，存在整数k = k(e, m)和M=M (e, m)使得每个阶至少是k的图G(V, E)必有一e-regular.划分(V0 , V1,…, Vk)(m£k£M) 使至多ek2个G[Vi, Vj] (1£i<j£ k)不是e-regula。
只要了解密度(density d(A,B):=e(A,B)/|A||B|)、e-regularity(如果对所有满足|A¢|³e|A|和|B¢|³e|B|的点子集A¢ÌA，B¢ÌB，均有|d(A¢,B¢)-d(A,B)|£e)和e-regular.划分(满足引理结论的划分)就能理解上面引理-这就不详细解说了（上面Gowers的论文以及很多国外论文中都有它们-但似乎国内竟还没有见到在图论中如此重要如此基本的概念和引理以及下面定理？
下面László Lovász,主席的描述和Gowers的一样-仅是具体一点吧：
Szemerédi引理：For every e>0 and m>0
there is k = k(e, m) such that every graph G(V, E) on at least k nodes has an equipartition (V0
, V1,…, Vk)(m£k£
k(e,
l)) such that subsets for all but ek2 pairs indices (1£i<j£ k),
the bipartite graph G[Vi, Vj] is e-regular。（理解概念equipartition就可理解它, 此文中有此概念的定义）。
下面是Erdős和Turán的1936年提出的一个猜想基础上形式的Szemerédi定理，见下面陶哲轩的论文：
关于Szemerédi引理，原先只是为了解决Erdős和Turán在1936年提出的一个猜想而引进的引理。然而，其后却在图论等相关学科发挥非常重要的作用，成为在图论和相关学科中很重要很基本的概念，并有各种形式的引理并推广到很多学科中去。
For
ε > 0, a pair of vertex sets X and Y is called ε-pseudo-random,
如果满足|A¢|³e|A|和|B¢|³e|B|的点子集A¢ÌA，B¢ÌB，均有|d(A¢,B¢)-d(A,B)|£e。可见e-regularity和ε-pseudo-random是一致的。如此Gowers等推广引理和定理到Quasirandomness、Hypergraphs，在图论还有很多推广，如Scott 等推广到sparse graphs等。还可推广到其它学科，如概率、信息（Tao），分析（Lovász）等等
关于Erdős和Turán在1936年提出的一个猜想，长k = 1和k = 2是平凡的，最先，Klaus Roth在1953年证明k = 3时的情况，但他不是用图论的方法；再其后，Szemerédi在1968年解决1969年发表用图论方法（包括Szemerédi正则引理）证明k = 4时的情况；几年后的1974年Szemerédi再解决1975年再发表证明k 为任意长的情况。Hillel Furstenberg在1977年用遍历理论也给出这猜想的证明。把这引理和定理的推广到更多学科的各类形式，是一个近年来引人关注的课题。
注：下面几段介绍最先引用Szemerédi的工作的1989年当选美国国家科学院院士的Hillel Furstenberg（希勒尔·弗斯滕伯格）在1977年发表Ergodic
behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic
progressions. J. Analyse Math. 31 (1977), 204--256.；加入Yitzhak Katznelson为第二作者在1978年合作发表An
ergodic Szemerédi theorem for commuting transformations. J. Analyse Math.
34 (1978), 275--291；加入1981年当选美国国家科学院院士的Donald S. Ornstein(唐纳德·奥恩斯坦)为第三作者在1982年合作发表The
ergodic theoretical proof of Szemerédi's theorem. Bull. Amer. Math. Soc.
(N.S.) 7 (1982), no. 3, 527--552.；前2个作者在1985年合作发表An
ergodic Szemerédi theorem for
IP-systems and combinatorial theory. J. Analyse Math. 45 (1985), 117--168.；前2个作者1986年再合作发表IPr-sets, Szemerédi's theorem, and Ramsey theory. Bull. Amer. Math. Soc.
(N.S.) 14 (1986), no. 2, 275--278.（Yitzhak Katznelson主要在调和分析领域做出很多开拓性工作并独撰1968年出版《An
introduction to harmonic analysis调和分析导论》一书--最近2002年Steele斯蒂尔奖即Leroy
P. Steele Prize for Mathematical Exposition就是因他的这本书而获奖）；Catlin, Paul A. On the
Hajnal-Szemerédi theorem on disjoint cliques. Utilitas Math. 17 (1980),
163--177.
其后引用的就是Jean-Paul Thouvenot；
而Hillel Furstenberg（希勒尔·弗斯滕伯格）的博士Vitaly Bergelson在1996年提出了一系列关于多项式遍历平均收敛性的猜想，这些问题一直受到组合数论以及遍历理论研究者的广泛关注，成为它们的交叉领域的重要研究方向，并推动了Furstenberg–Bergelson–Leibman猜想的发展（即Vitaly Bergelson和A.Leibman的这篇论文Polynomial
extensions of van der Waerden's and Szemerédi's theorems. J. Amer. Math.
Soc. 9 (1996), no. 3, 725--753.和Bergelson, Vitaly; McCutcheon, Randall. Uniformity in
the polynomial Szemerédi theorem. Ergodic theory of Zd actions
(Warwick, 1993–1994), 273--296, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 228,
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.）
W. T. Gowers在1997-8年也独立发表3篇：Lower
bounds of tower type for Szemerédi's uniformity lemma. Geom. Funct. Anal. 7
(1997), no. 2, 322--337.；在1998年柏林国际数学家大会上他获得菲尔茨奖的傅里叶分析、调和分析报告Fourier analysis and Szemerédi's theorem.
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin,
1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. I, 617--629；A new proof of
Szemerédi's theorem for arithmetic progressions of length four. Geom.
Funct. Anal. 8 (1998), no. 3, 529--551.
34岁在国际数学家大会作报告的匈牙利人József Beck，On a geometric problem
of Erdős, Sárközy, and Szemerédi concerning vector sums. European J.
Combin. 4 (1983), no. 1, 1--10
附：上面这几个人都是非常利害，如Erdős和陶哲轩(Tao) 高居世界历史上十位数学天才的第7和第10位。Gowers在国际奥林匹克数学竟赛中以满分42分获世界第一，Lovász,参加4届其中后2届都获满分-当时满分是40。国外参加这竟赛的大多是在业余时间只靠自已做准备，而我国是由顶级教师队伍来长期集中指导培训。这竟赛在1958年才开始-而上面2个数学诺贝尔奖获得者Klaus Roth和Hillel Furstenberg在1958年前已博士毕业，那应说也利害。看看这阵势-这或许是我国至今没有人做这课题一篇论文的原因吧？-按说中国人不会输给外国人,但很多氛围不允许你做如此艰巨的课题啊。