这学科专家都清楚: 琼州学院的下面3个猜想中,只要有1个成立,可能会引起世界吃惊！因为它仨中每个刻画都比下面诺贝尔奖的最小度型的进展大得多-则难度也大得多。而这最小度型都做了30多年-如此琼州学院的下面3个猜想的解决可能要花上个世纪。当然,若没有这里2012年的诺贝尔奖它们或仅是无名的世纪猜想
先说获得国家自然科学奖的“哈密顿圈及圈覆盖理论”。这哈密顿圈结果常称为“范条件”、“范类型”、“范定理”：即“若每2点组成的极集中有一点的度数至少是图的点数的一半，则该图存在哈密顿圈”。如此，要做的工作有①创立更优“类型”：琼州大学和美国WVU就创立“赵等型”：若每k(k³2)点组成的极集中只要有一点的度数至少是图的点数的一半,则该图存在哈密顿圈。因此“赵等型”推广发展“范类型”和下面以色列主编等的类型；②“范类型”可简述为若max{d(x),d(y)}≥n/2则有哈密顿圈。因此另一问题是改进“范类型”的界：近20年的诺贝尔奖-Fields奖得主占3人居世界第一的巴黎第11大学Adam Wojda院士和欧洲古老的法国奥大的运筹学奠基人Benhocine教授就一直想改进它，但只做到a(G)£n/2的max{d(x),d(y)}≥(n-1)/2则有哈密顿圈或例行图。再后来，清华大学的教育部数学与力学委员会副主任俞教授为首的3个著名权威也只做到a(G)£n/2的max{d(x),d(y)}≥(n-1)/2。最终，琼州大学、北京大学合作彻底解决max{d(x),d(y)}≥(n-1)/2；③④⑤琼州大学还创立深化突破…
“范定理”的重要性：因Szemerédi在2012年成为离散数学与运筹学界第1个获得百万美金的阿贝尔奖的(此奖是数学三大奖中奖金唯一超过十万的-并匹敌诺贝尔奖-如这里第2段说：The Abel Prize has often been described as
the mathematician's "Nobel prize")。如此,为了介绍Szemerédi在1970年起就涉及的k-th power哈密顿圈猜想-一直到90年代末他们对这猜想的突破性工作,最下面复印件我先给出“范定理”的简洁证明等，这仅是我提出下面在这“诺贝尔奖”得主解决的问题之上的3个新猜想之因--因诺贝尔奖得主做的问题是H圈上的某种结构-可还需深入揭示H圈上的更多结构特别是宋理事长说海南做得最好的的深化最小度型的邻域并等…比“诺贝尔奖”得主优的猜想看来只有下面Fan型、NC型和Ore型--其它企求似乎都无意义
“范定理”的重要性也正如它是获得国家自然科学二等奖“使该省属高校零突破”最重要成果（国家自然科学奖每年才奖约20项, 海南还没有得到突破此奖，但却每年都分到每年奖励约3百项的国家科技奖）。“范定理”还是包括30多个数学正教授的重点大学-陈景润的母校厦门大学等的福建省科技60年的“数学”中全省60年唯一成果-“范定理”“范条件”、几千年数学史上华人中载入史册的十几个成果之一，原普林斯顿大学Douglas West教授的《图论导引》是概括领域最全面内容最完整的图论著作--但如此全面的著作却仅收入一个中国人的定理-“范定理”和一个中国人的问题-管校长问题,足见重要（附:和这福大范校长同为校长的前辈中有极为传奇的卢嘉锡--他1981年从福大副校长直接调任中科院正院长-进而晋升为国家领导人！）
在最下面也见“范定理”在内容和形式上都是对《以色列数学杂志》主编的著名定理等的飞跃，及见这主编的美丽的编委也做哈密顿图并也在2012年获得计算机诺贝尔奖-图灵奖-可见哈密顿图的作用（其实很多计算机诺贝尔奖得主都做过哈密顿图如这里中间的一些还有这里最后的几个）。（关于“范定理”，其证明尚复杂，则简化也是问题。不过，许多不得要领只算浪费时间和精力，如四川大学组合数学家柯召院士的早期研究生
“范定理”的一些简单证明：关于“范定理”，它发表于1984年。其后，1988年中科院系统所副所长田丰研究员给出“范定理”的简单证明，田所长2004年再进一步给出“范定理”的更简单证明。我下面附件上对“范定理”的简单证明被担任本专业世界最权威的2个杂志-《图论杂志》及《SIAM离散数学杂志》编委的Ken-ichi Kawarabayashi（他的博士论文“Study on Hamiltonian Cycles and Related Topics”是哈密顿圈的）称为“It is indeed a nice proof, so you could submit it to Discrete Math, which publishes Tian's paper.”，英国皇家科学院院士、剑桥大学Bollobas也说“Many thanks for your paper …. ”。我的证明基于我们2000年发表的基本思路和方法-其实更早以前就已完成，现在的确是我给出我的2个新证明后（一个见最下面附件，一个也将发表）才看这里第3个大师：即1979年被推举为第一届中国图论学会秘书长的中科院田丰所长的证明（还没有见到田所长1988年的论文，只找到他2004年的，它俩都发表在本专业世界顶级杂志而且是隔了那么久又发表，足见“范定理”之重要），因我和田大师的证明都同样简短-如此我真不知道Ken-ichi Kawarabayashi怎说我的证明为“It is indeed a nice proof”？(图论编委除了主编的在纽约哥伦比亚大学当教授的博士Maria和AMS院士等较年轻外, 都是包括国际数学联盟主席,美国科学院副主席,美国数学会主席,多个美国大学校长和诺贝尔奖得主等的权威)。当然，我这2个证明的思路途径方法都和田老师的有所不同，田老师的是想办法去选择最长路-进行了2次选择才得到一个较为特殊形式的图，使其前面的点的邻点全落在某限定的一边，但显然，这样做在最先的一段很长时间内是不可能知道会有什么形式的图的，这样特性的图更不会意识到，必定要经过很久很多的探索才知道竟还有这样特性的图类；而我的2个证明都是从一般形式上自然推导，即非常自然地向前推进和展开，如此花费时间就可能相对少些。当然从下面附件知我的证明用的全部知识都是80年代以前的
“诺贝尔奖”得主的工作和在更高层次上（也是承前启后层次-因此是这类课题最关键的层次）我们提出3类型条件下的3个新猜想：这既然我们已给出了“范定理”的2个证明等等--那就获得更多方面的深入认识-如此可提出3个或创新或拓展或深化上面“诺贝尔奖”得主的突破性工作的更高层次的猜想了（关于此奖，美国《科学》网说“Szemerédi获得数学的最大奖”等。其实, Szemerédi在60、70年代解决的30年代提出的猜想就早已产生重要作用--而他90年代末突破的上面60、70年代的猜想也早已产生很大影响--其影响也将促进波及相关学科等--从这看到他是解决几十年仍解决不了的猜想的高人-更铸就多年连续攻关的坚忍不拔的意志--最令人折服的是从70年代至90年代甚至新世纪仍做的上面猜想如刚见他2010年的工作：
引子：再回到上面诺贝尔奖得主解决的问题-普林斯顿大学大师Seymour的k-th power哈密顿圈猜想。现只证明充分大时猜想成立，则就象开头说的他们的方法对下面的3个猜想更起不了作用？此猜想的进展是在这诺贝尔奖获得者Szemerédi-塞迈雷迪1970年的工作和其后一些工作的基础上，最终他和他的团队在九十年代解决阶充分大时猜想成立，使他们团队足可载入史册（附:Szemerédi的导师是被公认为20世纪第一数学大师的Gelfandg而Gelfand的导师是名气很大的Kolmogorov，其贡献如在概率论伊藤清就说“没有什么比‘概率即是勒贝格测度’这句话更能说明概率的数学本质了。从这角度讲，随机变量指的是可测函数，而事件则表示可测集合”并说其精确的表达方式归功于Kolmogorov；同时也看到俄罗斯学派在这学科中的作用，如这概率论的约11个大数定律、极限定理中俄罗斯K和他师兄辛，切
说多了，再回到上面诺贝尔奖得主取得决定性突破的P-S猜想：1962年Pósa提出最小度型的k=2时的猜想，1964年Erdös大师收录此猜想在他的问题集中，1973年Seymour大师提出最小度型的3£k£n-1时的猜想:“图的最小度≥顶点数´k/(k+1)，则图含有k-th power哈密顿圈”，简称P-S猜想（Seymour不仅是数学系教授也是普林斯顿大学计算机系9个合作教授中唯一来自数学系的）。
在数学大师Erdös 1964年整理为一个虽次之但比Pósa猜想更整体化问题的几年后的1970年诺贝尔奖获得者Szemerédi和Hajnal院士证明这问题-简称S-H定理：“图G的最小度≥顶点数´k/(k+1)，则图有|G|/(k+1)个不交的Kk+1.”，它基于图的色数和补图的团的对应关系（近几年对S-H定理的其它证明或推广有：诺贝尔奖得主和他的博士对k=3的新证明及他的博士CB的、他的博士MR的、他的博士ZY的，K和K大佬合作的，剑桥大学Lo的等，还可推广到有向图、权图…）。因“k-th power哈密顿圈”含“|G|/(k+1)个不交的Kk+1.”，则这结果仅是上面Pósa-Seymour猜想的一个简单阶段-但也具自身意义，Pósa-Seymour猜想的实质性突破在九十年代才逐渐演进，即在九十年代突破猜想后，因这猜想是哈密顿圈上的一类结构，而做为在哈密顿圈上的更多种结构H连通, 泛圈, 点泛圈, 边泛圈, 泛连通居世界领先的琼州大学，而且不仅做某一型-而是在所有最有效的Ore型、邻域并型、Fan型研究这些哈密顿圈上的结构都居世界领先成为世界中心之一的琼州大学-就有必要考查这3型的猜想（另外,在上面最小度型的哈密顿图-琼州大学陈德钦院长的居世界领先，他做到(n-3)/2，他之前世界最好是做到(n-2)/2。而上面诺贝尔奖得主做的Pósa猜想虽是k-th
power但强到2n/3--这看似并不难的猜想竟都做了那么多年, 推而广之的Seymour猜想虽更power但因结构更强-则难度应相差无几。我想哈密顿图专家大多会同意我的看法：这么强的结构,使得在最初很长一段时期内似乎总感到应该不难-对随时遇上的攀登危机险情,
似乎总可找到化解症结的新的攀登途径。因这么强的结构,
就是途径需要挖隧洞,并遇上坚石,
也感到可能仅需几道,
因此总是坚持不放弃不怀疑,
总相信很快会接通的--可实际上要做了才知道如何之艰巨。而什么是挖隧洞?-这就似山宽只半里-若越不过去,而尝试绕几座或几十座山再回到山那边-那也可以.
若这也不行常就得打隧洞了。而打隧洞常需要创新方法技术等特别是践行常很苦--而数学证明上打隧洞仅是个类似说法-主要特征是所有通往的途径中最短的,常是创新汇聚所有直接相关及潜在相关的最有效方法技术等集中处理,
也并不总是那么现实-偶似到月亮-而你还当是在地球上攀登白费劲拚搏--可见要做才知道艰巨困苦在哪？） 也即此,琼州大学就提出进一步的下面3型猜想。本来下面猜想应归更有功劳的人来提-但看着这么多年没有人来做我们只好掠人之美--确实这应终归于Erdös
大师及普林斯顿大学Seymour教授等的先导性和诺贝尔奖得主等的突破性（注：其对这猜想的锲而不舍如刚见“诺贝尔奖”得主Szemerédi塞迈雷迪等2010年再用别的方法证明Pósa-Seymour猜想的Pósa情形）：
猜想1（Fan型）：存在某个数,当阶大于这个数时的图的距离是2的任意两点的最大度≥顶点数´k/(k+1)，则图含有k-th power哈密顿圈（上面诺贝尔奖得主等在最简单的最小度型猜想仅知道这个数很大但不知道大到怎样；下面Chau教授知道这个数是2´108，但是否更小甚至是最小的3？这是P-S的目标。我们猜想这个数不仅小于2´108、而且很小、甚至是3--这可以举出很多例说明猜想的合理性，但因比这两个猜想容易十倍百倍的最小度型猜想都仅知Pósa的是2´108，Seymour猜想更毫无所知，及从上面“注”，则能证明其中一猜想存在这个数就已是非常重要的工作了）
猜想2（NC型）：存在某个数,当阶大于这个数时的图的距离为2的NC+最小度≥顶点数´2k/(k+1)，则图含有k-th
power哈密顿圈。
猜想3（Ore型）：存在某个数,当阶大于这个数时的图的不相邻的任意两点的度和≥顶点数´2k/(k+1)，则图含有k-th
power哈密顿圈
现在我们来简要说明琼大的上面3个猜想的合理性：因为任意两点的距离k都满足1£k£n-1。当k=1时，对Fan型猜想, 组合数学杂志1984年第3期用2页多和我在贵州大学学报2000年第4期简化少于半页证明它，关于k=1的NC型猜想我在贵州大学学报2000年3期给出简单证明（由于我们很简单就证明上面两个猜想的有一定代表性的情形k=1，才使我们更确信这两个猜想。不过,虽我们已解决这2个猜想的k=1情形，但因“诺贝尔奖”得主等人都还没有解决1962年提出的最小度型猜想的k=2时的小阶图，则这3个猜想将更为困难，据此来说提出这3个猜想也是极其大胆的--只因我们完成哈密顿圈上的各种泛结构特别是2000年在贵州大学学报的巧妙证明才给我们很多直觉灵感和潜在暗示--因科学的直觉要建立在这方面积累的很多工作的基础上--特别是2000年的解决证明若很别扭-是不敢冒险提出猜想的）；当k=n-1时，关于Fan型猜想若图存在不相邻的2点则必存在距离是2的两点x,y,则max{d(x),d(y)}£n-2，从而min{max{d(x),d(y)}:
x,yÎV,d(x,y)=2}£顶点数´k/(k+1)-1，矛盾。所以图必是完全图，因此k=n-1时Fan型猜想成立。关于k=n-1的NC型猜想若图存在不相邻的2点则NC£n-2，从而NC+最小度£顶点数´2k/(k+1)-1，矛盾。所以图是完全图，因此k=n-1时NC型猜想成立。至此上面两个猜想所要解决的只剩下2£k£n-2了。按我们下面几节得到的H连通图、泛圈图、点泛圈、边泛圈、泛连通图和最短路泛圈图等的这类条件的图结构来分析，两头成立的话中间部分一般都成立至多有个别例外图，而这类图有极类似性，则这两个猜想是合理的，因而第3个也合理（有了这3个猜想，目前再提任何猜想和问题都暂时无多大意义--因除它仨之外最有意义的-应是可用我这篇创立的极度型条件或者是陈主任要我做的NCk去刻画-但要么它俩大有可能不成立-就是成立-都不可能越过它仨去搞它俩，因若其成立那这3个猜想也就成立。而其实，要搞清楚它俩也得在这3个猜想解决后至少再花费大大几十年甚至是百年以后的事了-就是这么不可思议的艰巨-没有办法-因非常简单的最小度型猜想都做了这么久…）。
关于上面3个猜想的意义：上一段最后部分已足够说明它仨是优先的课题，而必要性是做为居于承上启下的基本条件它们还全都包含上面“诺贝尔奖”得主等做的最小度型猜想，其意义不仅更一般更深化-其突破也将促进学科的重大进展-其在今后非常长段时间内的宏微观整体层次上也将是起基本的带动的工作--必越来越基本--然而不要说解决它仨-我想就是世界各国专家为解决其一都将变得极为悲观甚至不敢奢望能发现有重大突破。即从上面众多世界权威专家在最小度型猜想的进展上都非常缓慢和艰难来看，要解决这3个猜想肯定将非常困难，这需要方法等上有诸多突破，不妨可以先考虑k-th
power哈密顿路或先做Ore型。（附：我刚才见美国Phong
Chau教授在今年2012年证明上面两个猜想包含的Ore型情况的最简单的k=2的情形。Chau教授2005年已是正教授，从这里看到他2009年才获得博士学位而且博士论文和他前面Ore型的k=2的情形的论文完全一样，也看到他的博士学位论文仅61页则也就仅够解决k=2及把前因后果相关工作交代清楚，他的导师是这领域国际权威足见解决Ore型的k=2这已够难够可以了，包括尚未出版的,他至今仅有4篇论文，他也仅正式出版一篇论文-是把上面诺贝尔奖得主解决的k=2下最小度型的充分大数降到2´108--可别小看这么点阶数的不大又难求更小的工作-这可是大师权威们一直求之又不得的--若你能再进一步解决Ore型或就算是最小度型的仅k=2的更小阶图都肯定让人刮目相看，在目前这种困境下是有意义的，这意义更源自于方法。当然我奉劝还是从某种程度的总体上切入去工作。Chau的导师可是在这问题一直奋斗的权威，可知这领域是极其不容易。Chau教授任职大学的数学与计算机系有38个教师，他是分管晚上工作的系主任）。下面是我证明“范定理”的2篇论文中的其中一篇论文和我提出的发展推进“诺贝尔奖”获得者Szemerédi-塞迈雷迪工作的3个猜想。（小结：上面Szemerédi做的问题是在一定度密度条件下使哈密顿圈上具有一类正则均匀和渐进状态；而这里的Erdős和Turán在1936年的猜想造就的Szemerédi在60、70年代做的这里的Szemerédi引理是边密度下图的正则均匀状态，他的Szemerédi定理是边密度下的渐进状态。其实，它们的“边密度”和“度密度”条件是一致的。或许透过表面现象才能揭示本质才能找到真正的规律。如此，我们以前做的泛圈、点泛圈、边泛圈、泛连通、最短泛圈等都是考察在度密度下的一类正则均匀和渐进状态。显然，这些类状态是很普遍存在的现象和规律，就看你是否愿意花点心思-这或许就可足够推广到所需要的学科中。另外，从探求Szemerédi引理对付E-T猜想上也似看到：更艰巨的问题或可推动以便更深刻揭示其本质的方法的升华与创新-这也是我们上面新猜想的期望）
看这里范校长的论文上见已说Bermond在1976年得到度和型结果“最长圈之长至少是min{n, d(x)+d(y)}”。其实，《以色列数学杂志》主编Nati Linial在同一年的1976年的这论文也得到度和型的相同结果“最长圈之长至少是min{n,
d(x)+d(y)}”（这主编的编委都是资深教授--第4个最年轻又美丽的Goldwasser也做哈密顿图并刚获得计算机诺贝尔奖-Turing
Award--这里有她的更多哈密顿图文章。这弹丸之地的以色列竟有105个国际知名数学家而中国仅54个--虽仅是笼统数但值得思考）。我不清楚他们怎么在同一年得到，因他们都是仿1952年的Dirac型c/2及对1960年的Ore定理的推广。显然，只要有了1952年和1960年的结果-做这学科的都能够想到度和型结果“最长圈之长至少是min{n, d(x)+d(y)}”，它们的证明也比“范定理”简单得非常多，而我上面附件对包含它们结果的“范定理”的证明全只用1972年以前的知识就足够。因此，怎么恰在隔了这样久的同一年得到，仍是迷。不论如何，“范定理”在内容和形式上都实现创新和飞跃--正是“创新来源于对传统理论的挑战”，当然这挑战不是抛弃而是扬弃经典使理论得到升华-特别是在扬弃中独辟蹊径使其独树一帜或可独领风骚，如此我们不仅在上面做了对“范定理”的简单证明，我们还做改进推广突破“范定理”的工作--见这里