对称与群论等领域及其在物理、化学等的应用：

“被誉为20世纪上半叶出现的最后一位‘全能数学家’”Hermann Weyl(魏尔,也有译为外尔)的名著《Symmetry对称》由钟金魁翻译,商务印书馆1986年； 魏尔（H. Weyl）的这书还被翻译为《Symmetry对称性》由冯承天和陆继宗翻译,上海翻译出版社1991年；

我曾有百次去的华南理工大学的教务长誉文德,张德聪合撰的《群论与分子对称性》，华南工学院出版社1987年；

这里第一段概要说他从事我们组合数学和对称群表示论的Gilbert de Beauregard Robinson独撰的《Representation theory of the symmetric group对称群表示论》一书（这组合数学专家的博士导师是Maxwell Herman Alexander Newman纽曼，并博士师弟中有华人Sze-Tsen Hu胡世桢、Hsien Chung Wang王宪钟，还有剑桥大学历史上最著名的本科硕士生之一人工智能之父、计算机之父Alan Turing图灵-并正如下面最后北大黄铁军教授所述纽曼和图灵铸就现代计算机科学的基石）；

高松、陈志达、黎乐民院士合撰的《分子对称性群》北京大学出版社1996年（这书共6章第一章“群的概念、结构和性质”第二章“分子对称性群(对称操作群)”第三章“矩阵”第四章“群表示理论”第五章“群论在量子化学中的应用”第六章“群论和振动光谱”--可见这书就是群论及其表示论和对化学应用的； 这书第一作者高松的导师徐光宪院士和黎乐民、王德民合撰的《量子化学--基本原理和从头计算法》的上册最后3章是第6章群论基础知识、第7章群表示理论、第8章群论在量子化学中的应用、下册的中间3章是第二十章置换群的表示、第二十一章线性变换群的整式表示、第二十二章Lie群和Lie代数—也是群表示论及其对化学应用的，即这书也主要是基于群论对称群及其表示的--徐光宪院士最近08年已成为化学界第一个国家最高科技奖得主）；

唐有祺院士的《对称性原理（一）对称图象的群论原理》和《对称性原理（二）有限对称群的表象及其群论原理》科学出版社1979年、1984年；

华人第一批诺贝尔奖得主李政道大师的《对称与不对称》朱允伦等编，清华大学出版社2000年；（刚见最近台湾辅仁大学数学系毕业的江才健教授撰写的华人另一个第一批诺贝尔奖得主杨振宁大师的传记《规范与对称之美：杨振宁传》,广东经济出版社2011年）。

当代最伟大数学家Jean-Pierre Serre让-皮埃尔·塞尔也涉及对称群领域工作并他的代表作名著除了这里的《有限群的线性表示》，还有《A course in Arithmetic算术教程》、218页的《Lectures on the Mordell-Weil Theorem莫德尔-韦伊定理讲义》（海南琼州大学曾世界领先的历史悠久的哈密顿图领域的现代之父Oystein Ore的唯一师弟Ernst S. Selmer塞尔默提出并系统研究这里介绍的“Selmer group塞尔默群”-看到这群涉及到很多极其重要的课题特别是Mordell-Weil群也如百度这里说到上面塞尔的书名莫德尔-韦伊定理和这塞尔默群(Selmer group)还如最近徐克舰教授指导的这篇研究生论文第3、4、5句依次是“…E是Mordell-Weil群，由Mordell-Weil定理可知，E是有限生成的Able群…”（此论文说引自Joseph H.Silverman独撰的《The arithmetic of elliptic curves》）；

（就因上面介绍海南琼州大学曾世界领先的哈密顿图领域的现代之父Ore的唯一师弟Ernst S. Selmer塞尔默提出并系统研究的这里以他的名字命名的“Selmer group塞尔默群”-涉及到很多极其重要的课题特别是Mordell-Weil定理[1974年至1978年担任英国皇家学会副会长并同时1974-1978年任国际数学联盟副主席的J. W. S. Cassels最先命名“Selmer group塞尔默群”并他的博士Bryan J. Birch与Peter Swinnerton-Dyer 1960 年代提出千禧年7大难题之一的BSD猜想其核心猜想是“椭圆曲线的Mordell-Weil秩r等于其Hasse-Weil L-函数在s=1处的零点阶”并他的博士Scholl的博文“丢番图几何”也围绕Mordell-Weil秩、Mordell-Weil定理等为核心--L. J. Mordell就曾评论《丢番图几何》一书]，如此我有当代最伟大数学家Jean-Pierre Serre让-皮埃尔·塞尔独撰的上面世界名著《Lectures on the Mordell-Weil Theorem莫德尔-韦伊定理讲义》一书-其目录为：1、Summary概要， 2、Heights高度，3、Normalised heights标准化高度，4、The Mordell-Weil Theorem莫德尔-韦伊定理，5、Mordell’s conjecture莫德尔猜想，6、Local calculation of normalised heights归一化高度的局部计算，7、Siegel's method西格尔方法，8、Baker's method贝克方法，9、Hilbert's irreducibility theorem希尔伯特不可约定理，10、Comstruction of Galois extensions伽罗瓦扩展的构造，11、Comstruction of elliptic curves of large rank大秩椭圆曲线的构造，12、The large sieve大筛子，13、Applications of the large sieve to thin sets大筛子薄集中的应用，Appendix: The class number 1 problems and integrated points on modular curves附录：第1类问题和模块曲线上的积分点）。

此外，上面现代哈密顿图之父Ore的唯一师弟Ernst S. Selmer塞尔默还在邀请海南琼州大学去北大合作的北京大学丁石孙校长独撰的《线性移位寄存器序列》方面也做出开创性工作,其成果直接影响了早期流密码设计与安全性评估--就如这里第一段说“Ernst S. Selmer是数论专家，也从事数学密码学研究”即说他只做上面2个领域；而关于Mordell-Weil定理的Weil，在二十世纪数学家排名, A.Weil居第7，而上面H.Weyl居第6；黎景辉、冯绪宁合撰科学出版社1991年出版的《拓扑群引论》的“序”说学了这书前三章便可理解André Weil安德烈·韦伊的《Basic number theory数论基础》一书中的论述）等

就如在百度所见André Weil安德烈·韦伊写了几本名著：《拓扑群的积分及其应用》（1940年-这书似不好找-但可参考这页黎景辉、冯绪宁合撰科学出版社1991年出版的《拓扑群引论》）；《代数几何学基础》（1946年）；《Basic number theory数论基础》（1967年）；《阿贝尔流形和代数曲线》（1948年）；《数论，从汉穆拉比到勒让德的历史研究》（1983年）。他还写了广受传颂的《数学史：为什么，怎么看》下面一文：

André Weil “History of mathematics: why and how”，Proceedings of the International Congress of Mathematicians，Helsinki，1978.。

这篇《数学史：为什么，怎么看》是André Weil安德烈·韦伊（1906–1998）在1978年赫尔辛基国际数学家大会上的报告，由席南华院士翻译、陆柱家校对（席南华，15岁参加高考，一心想读数学专业，结果数学只考了63分，被调剂黔阳师专--这可能一时失手，但也可见不要放弃很关键）。

就因André Weil安德烈·韦伊的相关工作，如此1967年，罗伯特·朗兰兹在给安德烈·韦伊的一封17页的信中提出了一组意义深远的猜想，这些猜想构成了朗兰兹纲领的雏形（为啥罗伯特·朗兰兹在给安德烈·韦伊而不是给其他数学大师写信，这是因为安德烈·韦伊的2个工作：韦伊群与函数域类比：是朗兰兹纲领的基石）

关于朗兰兹纲领-正如这里说是一系列称为朗兰兹互反猜想的构想，联系数论、代数几何和群表示论，使得阿廷L函数、自守L函数和Hasse-Weil L函数相匹配（即朗兰兹纲领是当今数学领域⾮常活跃的研究⽅向, 它联系了三种来源各异的数学对象: 伽罗⽡表⽰(算术对象)、⾃守表⽰(分析对象) 和代数簇的各种上同调理论(⼏何对象), 使得相应的三种不变量[阿廷L函数、自守L函数和Hasse-Weil L函数]相匹配，并自守形式与朗兰兹纲领领域的核心猜想之一-整体高阶Gan-Gross-Prasad猜想以及 Gross-Zagier公式和7个“千禧年问题”中的3个[霍奇猜想、黎曼假设、BSD猜想]都有深刻关系。在这里可见“阿廷L函数、自守L函数和Hasse-Weil L函数”）

即朗兰兹纲领的智识源头可以追溯到埃米尔·阿廷（Emil Artin）的互反律（reciprocity law）。阿廷互反律是高斯二次互反律的深远推广，它为一类特殊的数域扩张——阿贝尔扩张——建立了深刻的联系。具体而言，它将代数数论中描述对称性的伽罗瓦群（Galois group）的结构，与数论分析中的特定函数（L函数）联系起来。对于一个伽罗瓦群为阿贝尔群的数域扩张，阿廷互反律将该群的一维表示与特定的狄利克雷L函数（Dirichlet L-series）等同起来。这在数论的两个分支之间建立了一座至关重要的桥梁。当然，阿廷的理论仅限于伽罗瓦群是交换群（阿贝尔群）的简单情况。罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）在1967年致安德烈·韦伊（André Weil）的信中提出的革命性洞见，在于他构想了如何将这种对应关系推广到更为复杂的非阿贝尔伽罗瓦群及其高维表示…（Emil Artin埃米尔·阿廷在上面二十世纪数学家排名中居第17，在百度见他的3本书：《Γ函数引论》（1931）、《伽罗瓦理论》（1942）和《代数几何学》（1957）其中Γ函数叫Gamma函数，《伽罗瓦理论》有中文版学过代数的应该都关注过或有这书，而《Γ函数引论》可能扩展为很薄的《The gamma function》，但《代数几何学》（1957）是否是《几何代数学》（1957）?）。

还要关注因抗议逮捕索尔仁尼琴并驱逐出境而也被捕其后中断学术研究的Suren Arakelov在七十年代提出的“Arakelov几何”（他1974年博士毕业就在1974年加拿大举办的国际数学家大会做报告有些不可思议并此报告后只2007年没有这姓氏数学论文）--这领域是一种联系代数几何、复几何和数论的算术几何或称丢番图几何理论，旨在通过引入“无穷远点”的复几何性质，将数论对象几何化以研究丢番图方程，并由Faltings运用该理论的思想证明了Mordell猜想并获得菲尔茨奖,而使其受到广泛关注，也经Gillet与Soulé（最早合作的这篇以及这篇于算术Chow群建立了它的任意维数情形并证明了算术Riemann-Roch定理）等发展完善。它被Paul Vojta用于给出莫德尔猜想的新证明，也被法尔廷斯用于证明莫德尔猜想的Lang推广。该理论还催生了望月新一引入的椭圆曲线的Hodge–Arakelov理论等后续方向。

关于计算机之父图灵和上面纽曼联手造就“世界上最伟大的论文”(此话可能应加限制词)，就如北大黄铁军教授最近撰写的“电脑前传(2)：计算”的“图灵”说到：

1935年春天，图灵修读“数学基础”课程，授课教师是麦克斯韦·纽曼(Maxwell Herman Alexander Newman, 1897—1984)。这门课涵盖了当时尚未解决的判定问题，纽曼把希尔伯特寻求的“确定的方法”称为“机械过程”：用于解决某个问题的一组明确（但无意识的、非智能的）指令集。

1935年5月，图灵考虑到数理逻辑圣地普林斯顿大学，申请宝洁奖学金未果，但没影响这位年轻研究员的心情。初夏时节，图灵躺在剑桥大学的格兰切斯特草坪上，想到了解决判定问题的思路。第二年春天，图灵把《论可计算数及其在判定问题上的应用》论文草稿交给了纽曼。

就在阅读草稿那几天，纽曼收到了邱奇寄来的短文“判定问题的笔记”（1936年3月发表）[3]，基于另一篇已刊出的论文（1936年4月出版），邱奇对判定问题给出了否定回答。

按照惯例，邱奇已经解决了问题，图灵的论文不能再发表了。但纽曼意识到，图灵的方法与邱奇有很大差异，而且更简洁明了，因此他建议《伦敦数学学会发表》图灵的论文。伦敦数学学会记录的收文时间是5月28日，正式出版于1936年的11月和12月两期，1937年12月又发表了三页的修订。在论文序言部分，图灵引用了邱奇的两篇论文，声明邱奇“有效可计算性(effective calculability）”概念和自己的“可计算性(computability)”是等价的。

把论文发给伦敦数学学会后，纽曼很快（5月31日）给邱奇写了一封信，比较了两人证明方法的不同，并直言“我觉得如果可能，明年他应该和你一起研究。”结果是，1936年9月，图灵来到普林斯顿大学就读邱奇的博士。…

（1936年,图灵在《伦敦数学学会学报》上发表《论可计算数及其在判定问题上的应用》的论文。如今,这篇论文被认为是现代计算机科学的基石；还有读了Windows编程界大师、世界顶级技术作家以“论可计算数及其在判定性问题上的应用”为核心最近出版的《图灵的秘密》的一读者说《论可计算数及其在可判定性问题中的应用》是世界上最伟大的论文—但很多学科也很重要那它们的奠基性论文也就很伟大了）

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