连分数和丢番图逼近（所谓丢番图逼近即研究种种有理逼近的一个数论分支，因为它与丢番图方程的研究密切相关，所以人们称之为丢番图逼近，或将这类问题称为丢番图分析，即丢番图逼近是数论中以有理数逼近实数的研究领域，其逼近程度通常以有理数的分母衡量。该理论通过连分数展开构造有理逼近。该领域起源于1842年狄利克雷的实数有理逼近定理，后经刘维尔、胡尔维茨等推进。20世纪后辛钦提出测度定理，施密特建立逼近代数的系统性理论。当前研究聚焦于组合数学及低维一致逼近中的未解问题-特别是在组合数论）：
连分数领域可参考海南琼州大学的导师去合作几年的威斯康星大学的博士Hubert S. Wall独撰的433页《Analytic Theory of Continued Fractions连分数的解析理论》（这作者Wall的博士论文“On the Pade Approximants Associated with the Continued Fraction and Series of Stieltjes”是连分数的，他的最先一篇论文和最后一篇都是做连分数的而他的绝大多数论文也是连分数的；即这Hubert S. Wall的博士导师是海南琼州大学的导师柳柏濂教授去美国合作几年诞生教育部审定通过的中国“第一本”数学研究生用书的上面威斯康星大学任教的1913年当选美国数学会正主席的Edward Burr Van Vleck）；
丢番图逼近可参考John W.
S. Cassels独撰的《An introduction
to Diophantine approximation.丢番图逼近》1957年166页（以及其后国内朱尧辰和王连祥的382页《丢番图逼近引论》科学出版社1993年）；
连分数还可参考Aleksandr Y. Khinchin亚历山大·辛钦的《连分数》刘诗俊、刘绍越译，上海科学技术出版社1965年；
以及Carl D. Olds奥尔德斯的《连分数》张顺燕翻译，北京大学出版社1985年；
还有德文版的希尔伯特和Sommerfeld索末菲的师弟Oskar Perron独撰的第二版524页德文版的Die Lehre von den
Kettenbrüchen连分数理论，2d ed. Chelsea
Publishing Co., New York, 1950. 524页。关于海南琼州大学在某些领域世界领先的非负矩阵领域的世界著名的Perron-Frobenius定理，就是1907年他提出了关于正矩阵特征值和特征向量的基本理论（Perron定理），后来由Ferdinand G. Frobenius推广至非负矩阵，形成了数学中的重要工具Perron-Frobenius定理。该定理在图论、马尔可夫链、生态学模型及Google谷歌的PageRank算法等领域有广泛应用（这个Oskar Perron和Constantin Carathéodory的博士Ernst F. Peschl的博士Bernhard
Korte的组合最优化领域当今世界第一名著《组合最优化：理论与算法》就已被高度评价海南琼州大学的工作的林诒勋教授翻译为中文版）；
再说说著名的百年难题-挂谷猜想，挂谷集（Kakeya
set）也被称为贝西科维奇集（Besicovitch
set），构造贝西科维奇集的方法有很多，最经典的是被称为“佩龙树”（Perron
tree）的技巧，它能够简化贝西科维奇的原始构造，上面以奥斯卡·佩龙（Oskar Perron）命名。
其源头是自百年前日本数学家挂谷宗一提出了一个趣味性的平面几何谜题。当把题目中平面的条件推广至一般的n维空间后，则由此发展出了名为“挂谷猜想”的重要命题。
然而，长久以来数学界仅解决了2维空间里的挂谷猜想，3维空间就像是坚不可摧的堡垒，人类发展至今的数学武器均难竟全功。
挂谷猜想脱胎于著名的转针趣题。1917年，日本数学家挂谷宗一
(Soichi Kakeya，1886-1947）提出了被后世以他的姓氏命名的著名问题：
在某些图形中，长度为1个单位的线段（一根针）可以转过180°，在这个过程中该线段总是保持在该图形之内，在所有这样图形里，哪种图形具有最小面积？需要注意的是，沿着线段方向前后移动，此时线段并未扫过任何面积。
据说挂谷的灵感来自遭到偷袭的日本武士，他把武士刀抽象成理想的不占空间的长针，同时为了方便，把问题限制在2维平面上。
挂谷评注道：日本武士有一把长刀用于自卫，他需要能够在任何空间内自由地挥舞武士刀，无论空间大小如何一一即使是在茅房里。
注：关于挂谷转针问题的原始表述和相关历史，不同文献给出的记录稍有差异，这里为了表述方便，采用上海科技教育出版社出版的“发现数学丛书”系列中朱利安·哈维尔（Julian
Havil）所著的《不可思议:有悖直觉的难题及其令人惊叹的解答》一书的说法。
一个半径为0.5的圆是最容易想到的可满足条件的图形，但它显然不是所有满足条件的图形里面积最小的。
挂谷和他的同事以及其他一些人最初就推测，一个高为1的等边三角形就是能满足题中条件、具有最小面积的凸图形。极有才华和抱负的匈牙利裔数学家朱利尔斯·鲍尔（Julius
Pál）从匈牙利波兹索尼（现斯洛伐克首都布拉迪斯拉发）迁居到了丹麦的哥本哈根，并在1921年发表了相关证明，确认高为1的等边三角形就是满足挂谷条件的面积最小的凸形。
等边三角形就是满足挂谷条件的面积最小的凸形。| 图源：《不可思议:有悖直觉的难题及其令人惊叹的解答》，第13章
资助鲍尔定居哥本哈根的是数学家哈拉尔·玻尔（Harald
Bohr）——物理学家、量子理论先驱尼尔斯·玻尔（Niels
Bohr）之弟。极有可能正是这位数学家玻尔向鲍尔介绍了挂谷的转针谜题。
另一方面，挂谷和早期研究者猜测，对于非凸的图形，答案指向三尖瓣线。它是内摆线家族中的一个特殊成员。不过不久之后，人们就意识到还有面积更小的图形。
同样在1917年，来自俄罗斯著名数学家Andrei Andreyevich Markov的博士艾伯拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）解决了一个看似不同的问题。颇具巧合意味的是，贝西科维奇同样前往丹麦寻求研究职位，而他的主要资助者也是哈拉尔·玻尔。又过了好几年，贝西科维奇才听说了挂谷那个“具有引人入胜的表述直观性”的谜题，并且提供了一个完全不同寻常、完全出人意料的解答。
1917年，贝西科维奇当时在思考下面的黎曼积分问题：
假如在平面上有一个黎曼可积的函数f，那么是否必定存在着一个直角坐标系（x，y），使得对于每一个固定的y，f（x，y）作为以x为变量的函数黎曼可积，并且f的二次积分就等于重积分∫∫f(x,
y)dxdy？
贝西科维奇为了回答上述问题，构建了这样一个集合：一个包含了指向所有方向的单位线段，但面积（严格来说是勒贝格测度）为0的图形。
这个集合被命名为贝西科维奇集（Besicovitch
set）。因为这种线段集合的存在，所以上述问题的答案是否定的。
今天站在后来人的视角，可以看出这个问题本质上是对实分析中的重要定理——Fubini定理的探索和挖掘。然而数学的魅力往往就在于它的出人意料，在贝西科维奇集上应用所谓的“鲍尔连接”（前文提过的那位鲍尔），竟然可以证明，挂谷转针问题的答案是：不存在一个面积最小的图形，因为针扫过的面积可以任意地接近于0。
如此一来，殊途同归，分析学上的积分问题就和平面上的几何问题建立起奇妙的联系，贝西科维奇集也因此被称为挂谷集（Kakeya
set）。
此外值得一提的是，网络上常见的科普文章，以及一些出版物会犯一个错误。很多人误以为面积为0的贝西科维奇集的存在性本身，可以直接推出“针扫过的最小面积可以是0”这一结论。但是，把指向所有方向的针直接摆放到一起得到的图形，和把一根针连续旋转180°扫过的图形是两码事。实际上，针无法从贝西科维奇集里的一个位置连续地变到另一位置，且使扫过的面积是0。所以才需要“鲍尔连接”的技巧，同时，结论是针扫过的面积可以任意小，但并非为0。
构造贝西科维奇集的方法有很多，最经典的是被称为“佩龙树”的技巧，它能够简化贝西科维奇的原始构造，以奥斯卡·佩龙（Oskar
Perron）命名。
想象一个高为1的等边三角形（还记得这种三角形是最小的满足挂谷问题的凸形吗），把它平分，再把两个直角三角形稍微叠在一起，如下图。这个新图形面积比三角形小，但在其中，上面两个尖角的每个角内都能找出长度≥1的线段。
现在重新开始，把三角形平均分为 8 个，把它们两两叠在一起，再两两叠在一起，这种图形就叫作佩龙树。如果重复这个步骤，把三角形分为 16 个，32 个，……， 2^n 个，显然整个图形的面积可以越来越小，并且可以证明随着步骤增长，图形面积无限趋近于0。这样挂谷的转针问题似乎得到了完全的解决。所以这又是一个非常有趣、非常有难度的娱乐性数学问题。但也就仅此而已了吗？错！应用平面上的贝西科维奇集解决了转针趣题之后，数学家开始关注这个集合本身的性质，尤其是它们的分形维度。
由于它包含任意方向的单位向量，直觉上，该集合的维度不应该小于2。这就是最初的挂谷猜想。事实上对于零测集来说，维数有不止一种定义。总的来说我们用得最多的还是豪斯道夫（Hausdorff）维数和闵可夫斯基（Minkowski）维数。我们这里只介绍前者。
分形结构（Fractal Structure）是一种自相似的几何图形，即无论放大或缩小多少倍，都能看到相同或类似的形状。分形结构具有无限的复杂度和细节，常常出现在自然界中，比如雪花、树叶、海岸线等。有研究表明，当事物的形态出现某种自我重复的模式时，会在我们的大脑里唤起轻松的感觉，从而降低压力，让我们感到舒缓放松。人类文明早在懵懂之中，就下意识地学会利用这一特征：想一想家里床单、墙纸和窗帘上的图案。这被称为“分形流畅性”。原理大概是重复的视觉元素可以降低大脑处理视觉信息时所用到的运算资源，所以会令人感到轻松愉悦。
分形的存在维度不是一个整数。我们可以用豪斯道夫维数定义它。不管被测图形多么复杂，我们总能用一块块半径为e的小圆形覆盖（允许彼此部分重叠）住它（因为我们可以用小圆形覆盖住全平面，所以当然可以覆盖住平面上的任意图形）。
还可参考Oskar Perron独撰的第四版204页德文版的Irrationalzahlen无理数，4te, durchgesehene und ergänzte Aufl.
Göschens Lehrbücherei, I. Gruppe, Bd. I. Walter de Gruyter \& Co., Berlin,
1960. 204页
Andrei
Andreyevich Markov的博士Tamarkin的博士Derrick
Henry Lehmer的博士Harold
Mead Stark独撰的An introduction
to number theory. Markham Publishing Co., Chicago, IL, 1970. 347页（Derrick
Henry Lehmer有几个博士的论文做连分数）；
John
Edensor Littlewood约翰·李特尔伍德的徒孙1970年荣获数学界最高荣誉菲尔兹奖的尼斯阿兰·贝克（Alan
Baker）的《Transcendental
number theory超越数论》
两篇有影响的论文：W. T. Scott, H. S. Wall， Continued
fraction expansions for arbitrary power series. Ann. of Math. (2) 41
(1940), 328--349.
E. D. Hellinger,
H. S.Wall， Contributions
to the analytic theory of continued fractions and infinite matrices. Ann.
of Math. (2) 44 (1943), 103--127.
下面附一些博士论文做连分数的著名数学家：
Pafnuty Lvovich Chebyshev切比雪夫的博士Andrei Andreyevich Markov安德雷·马尔可夫的博士论文做连分数
Godfrey Harold Hardy戈弗雷·哈代的博士Tirukkannapuram Vijayaraghavan的博士论文也做连分数
上面John
Edensor Littlewood约翰·李特尔伍德的博士Frederick G G. Maunsell的博士论文也做连分数
海南琼州大学的师爷美国数学之父Eliakim
H. Moore穆尔的博士Thomas Emery McKinney的博士论文也做连分数
Leopold (Lipót) Fejér的博士Vera T. Sós的博士论文也做连分数（Vera T. Sós和John von Neumann约翰·冯·诺依曼、Paul Erdős保罗·埃尔德什都同师从Leopold (Lipót) Fejér的博士）
不仅以前很多世界名家的博士做它，最近所做也仍受重视如最近武汉大学数学系吴军教授最近说“连分数与丢番图逼近是数论中十分重要的内容，它与数学的其他分支，如动力系统，调和分析，度量数论，分形几何等均有着非常密切的联系”，武汉大学还有马际华等年轻一代也做连分数（所谓丢番图逼近即研究种种有理逼近的一个数论分支，因为它与丢番图方程的研究密切相关，所以人们称之为丢番图逼近，或将这类问题称为丢番图分析，即丢番图逼近是数论中以有理数逼近实数的研究领域，其逼近程度通常以有理数的分母衡量。该理论通过连分数展开构造有理逼近。该领域起源于1842年狄利克雷的实数有理逼近定理，后经刘维尔、胡尔维茨等推进。20世纪后辛钦提出测度定理，施密特建立逼近代数的系统性理论。当前研究聚焦于组合数学及低维一致逼近中的未解问题），
吴军教授最近已到华中科技大学数学与统计学院，曾任船舶与海洋工程学院副院长，该校王保伟，徐剑，谭波等也做连分数。