量子图也可称“量子图论”：量子图的研究汇集了图论以及组合数学、图谱理论等领域的工具，它在量子混沌、控制理论、微电子学、光子晶体、纳米科学、动力系统等都有广泛的应用。

它属于是数学物理中的一个重要领域，主要研究波在由边（键）连接形成的顶点（节点）的度量图上的传输或传播问题。这类系统自然出现微分算子，如拉普拉斯算子，其频谱对应于系统的本征频率。

现代量子图的开创性论文就是Pavel Exner和Petr Šeba在1989年的论文“Free quantum motion on a branching graph”-其实他俩1987年已发表此文的捷克文，他俩1989年还发表“Quantum waveguides modelled by graphs”，他俩和Pavel Stovicek合作1988年的论文“Quantum interference on graphs controlled by an external electric field”等。

量子图的历史可追溯至20世纪30年代，例如Linus Pauling在化学键研究中的工作，即获得2次诺贝尔奖得化学家Linus Pauling在他的1936年的论文中提出来的。其后50年代Klaus Ruedenberg和Charles W. Scherr等也作出许多先驱性的贡献。而量子图态在量子信息科学中特指用图论工具描述的多量子比特纠缠态。其数学定义可表述为：给定图G=(V,E)，其中顶点集V对应量子比特，边集E表示对关联顶点施加控制相位（CZ）门操作。每个量子比特初始制备为|+⟩=(|0⟩+|1⟩)/√2态，通过CZ门操作建立纠缠，形成图态基矢，它是由Raussendorf,等提出的。总之,量子图和量子图态其结构可以由图论中的图简明地表示，前者在声学和电磁波导网络、人造材料中得超导性、量子霍尔系统等都用重要应用；后者量子图态在量子通信和量子信息中将得到越来越广泛的应。80年代后，随着纳米电子设备的发展，该领域迎来复兴，并在数学物理、算子理论和微分方程中广泛应用。它介于微分方程、离散数学和代数几何之间，涉及数论、zeta函数等相邻领域，近年来仍不断有新结果出现，如度量图上的拉普拉斯算子被发现能产生晶体测度示例。其核心在于处理准一维系统的简化模型，例如波在薄邻域或纳米结构中的传播。当然,不论是量子图还是量子图态都要更多可参考量子力学的相关领域。

当前研究前沿包括谱理论的深入分析、量子混沌的探索，以及在材料科学中的应用，如设计新型光子晶体或超导器件。该领域持续发展，为数学和物理问题提供新的视角。

还可参考我们现代图论之父Frank Harary和Paul G. Mezey主编合作的论文“Embedding and characterization of quantum chemical reaction graphs on two-dimensional orientable surfaces”，Discrete Appl. Math. 19 (1988), no. 1-3, 205--214.

以及苏联第一个数学诺贝尔奖-菲尔茨奖得主S. P. Novikov 的合作者也是俄罗斯最年轻的院士之一曾给海南琼州大学来过几次信请求帮助向我国高等教育出版社告知关于它们访问俄罗斯时曾商谈出版他和苏联第一个菲尔茨奖得主S. P. Novikov 合写的几本书的事宜，而苏联第一个菲尔茨奖得主S. P. Novikov 就发表几篇量子图方面的突破性论文“Schrodinger operators on graphs and topology”和“Schrodinger operators on graphs and symplectic geometry”（2000年dedicated to V.I.Arnold’s 60-th birthday）--它俩被后面Peter Kuchment的量子图论的论文都引用，Peter Kuchment的“Quantum graphs I. Some basic structures”“Quantum Graphs II: Some spectral properties of quantum and combinatorial graphs”，307页的会议论文集《Quantum graphs and their applications》。

M. Karowski, Robert A.Schrader合作的A combinatorial approach to topological quantum field theories and invariants of graphs. Comm. Math. Phys. 151 (1993), no. 2, 355--402.

J. Gratus, C. J. Lambert, S. J. Robinson, R. W.Tucker，Quantum mechanics on graphs. J. Phys. A 27 (1994), no. 20, 6881—6892；

著名物理学家Tsampikos Kottos和德国科学院院士Uzy Smilansky 1997年的论文“Quantum chaos on graphs”以及他俩1998年的论文“ Periodic Orbit Theory and Spectral Statistics for Quantum Graphs”，以及Uzy Smilansky最近发表的“Quantum chaos on discrete graphs”

F. Barra, P. Gaspard，On the level spacing distribution in quantum graphs. J. Statist. Phys. 101 (2000), no. 1-2, 283--319.

关于上面量子图的开创者Pavel Exner，刚见丘成桐院士的第七届世界华人数学家大会说“已确定6位世界顶尖科学家作杰出学者报告”其中就包括

1、Richard Schoen美国斯坦福大学

沃尔夫奖Wolf Prizes (2017)

罗尔夫·绍克奖Rolf Schock Prize (2017)

海因茨·霍普夫奖Heinz Hopf Prize (2017) etc. ；

2、Vaughan Jones美国加州大学伯克利分校

菲尔兹奖 Fields Medal(1990) ；

3、Hélène Esnault 柏林自由大学

康托奖Cantor medal（2019）

莱布尼茨奖Gottfried Wilhelm Leibniz Prize (2003) ；

4、Pavel Exner 捷克科学院

杜布纳联合核子研究所

JINR First Prize (1985) ；

5、Michael Rapoport 波恩大学

海因茨·霍普夫奖Heinz Hopf Prize(2011)

莱布尼茨奖Gottfried Wilhelm Leibniz Prize(1992) ；

6、Kenneth Ribet加州大学伯克利分校

布劳威尔奖Brouwer Medal（2017）

费马数学研究奖Fermat Prize(1989)