极集度-邻域并条件

定理一(赵克文)：若2连通n≥6阶图G的满足d(x,y)=d(y,w)=2的任意三点都满足|N(x)∪N(y)|+d(w)≥n，则图G是泛圈图或K_n/2,n/2

琼州大学赵克文1991年创立了极集度-邻域并条件|N(x)∪N(y)|+d(w) ³n，并于1991年研究其泛圈性。后来也研究更深入的d(x,y)或d(y,w)=2的泛圈性，再其后还完全解决d(x,y)=d(y,w)=2课题。要知道后2者花费多于前者十倍以上的时间--特别是最后者非常困难（2008年林越分来我校的最先几个月我曾请他排版过很多论文-他应存底-其中这第8节用极集度-邻域并研究齐次H路、H连通、泛圈、点泛圈、边泛圈、泛连通的有十几篇--好象曾福庚博士也帮我排版这第8节的好几篇。然而，刚见日本在2008年的下面工作仅是我1991年的工作。下面日本2010年的还不错，但我也在90年代已完成此工作，所以条件差又没有一分钱经费是遗憾之至！其实琼州大学1991年左右更已考察研究比下面日本的更深远的d(x,y)=2和d(x, w)或d(y, w)=2，在很多论文中都已提到过。2003年我和吴炎院长在应用科学学报更试图解决d(x,y)=d(x, w)=d(y, w)=2的哈密顿性，并提出一个猜想--若这猜想成立-那是非常令人吃惊的-但或离开广州后就感到非常困难-或有反例。大胆提出这猜想是基于我们1991年完成的这篇论文。极邻域并的哈密顿性至今也还没有解决，确实，研究上面条件的3个距离中仅一个距离是2的泛圈性情况就已经非常困难--虽然我们1991年已解决的，但日本到2008年仍在做全都没有一个距离是2的情况），显然，我们的这定理[23]也包含推广上面世界大师Bondy1971年得到的里程碑性的定理3.1以及推出上面海南大学要发表的定理[12]。当然我们这定理[23]也包含上面英国Dirac的定理1.1和美国Ore的定理1.2以及包含上面Faudree校长等权威的定理1.10、定理1.11、定理1.12、定理1.13和定理1.14。我们创造这极集的条件|N(x)∪N(y)|+d(w)≥n的目的主要在用于更深入地探究高哈密顿图：特别是哈密顿连通、点泛圈、边泛圈、泛连通、路径泛圈等的结构和性质等。因迄今为止，刻划这几类高哈密顿图的条件几乎只有度型和邻域并，则研究赵克文条件|N(x)∪N(y)|+d(w) ³n也等于一并解决度型和邻域并！

本来琼州大学在1991年就已可在世界科学史上烙下这一系列工作深深的印迹。但因没有一分钱经费…非常遗憾的是：刚见日本东京工业大学博士和曾排名日本第一的庆应义塾大学博士和当时排名日本第一的早稻田大学博士这3个日本权威专家在最近的2008年合作在AJC第2期得到下面定理1（要知道日本是全世界最勤奋的民族--这也许与战争后遗症使然的危机感有关-如它一定时期内仍深感到亚洲人民讨债、苏联霸占其大幅领土、时时当美国的孙子等-你说这样的国家的民族意识会是怎样的？能躺着睡大觉吗？如此大多都象这个日本科学家一样，不成功便成仁-既有“宁愿以死谢罪的骨气”，还有什么做不成，怎能不领先世界；“再看看中国的学术界”，其结果是正如北京大学校务委员会副主任饶毅所说“单个日本科学家的论文可以超我国同一领域全体中国科学家”，这样的被鞭策意识必发挥出比别国更大的能量，如此要重视这几个日本图论专家的眼光和选题。然而，这结果我早在1991年已独立完成--就是这里我们《海南大学学报》1994年要发表的结果–而且海南大学学报要发表的还研究到距离是2的进一步的课题，因此实质上比这3个日本专家的定理1更深入更难--但因没有一分钱经费、月工资也仅几百元而非常…。这东京工业大学的Michio Sugeno1974年就创立后来被名为Sugeno模糊测度和模糊积分的著名博士学位论文-见下面第10节我们数学系俞峰的博士论文也做相关的研究。这Michio Sugeno（菅野道夫）1940生 ，1965年起到2000年退休前一直在这大学工作，现是这大学退休教授也偶尔在西班牙工作，曾是日本模糊理论与系统学会和国际模糊系统联合会主席，他和模糊数学之父Zadeh共同获得首届IEEE模糊系统先锋奖-2000年，虽不能和后者比但也足见利害）：

定理1 (日本3个专家，2008年)：若2连通n≥6阶图G的不相邻的任意三点x、y、w都满足|N(x)∪N(y)|+d(w)≥n，则图G是泛圈图或GÎK_n/2,n/2,

这3个日本专家中第1作者博士毕业于东京工业大学现是诞生诺贝尔物理奖的芝浦工业大学教授，特别是第2、3作者八、九十年代多次和巴黎大学及美国等合作。

我也刚看到这3个日本专家最近的2010年又在AJC,47的另一篇论文中得到下面定理8.2（比日本的这定理好的上面琼州大学的定理[20]已说《中国科学》1999年已三审我的论文-其实我在此之前几年已完成。而且，我的这定理[20]的条件更好：研究到x、y的距离是2，而这三个日本专家现在才仅做到x、y不相邻；我的论文结论也更好：我研究到4-泛连通图，而这三个日本专家仅做到5-泛连通图。我条件或结论之一就更艰难得多，一般专家是不敢做的。即可别想得简单，如这领域美国密西西比大学研究生部主席卫兵教授和世界级领军权威朱永津在1998年合作仅做到6-泛连通图 如此他们提出猜想“G是5-泛连通图？”。而我们都知道小圈和短路结构段是最艰难的瓶颈所在，即大圈或长路结构时常是较显然的，如此，他们的工作相比我1992年和1995年发表的工作，难说得上突破。而迄今为止除了琼州大学的工作外，全世界最好的论文确实只有密西西比大学研究生部主席卫兵教授这篇和日本的这2篇，其它的进展是非常艰难的如以我国的为例象教育部数学和力学委员会副主任的这篇泛圈图的、以及这里我国多个大学对这里一个简单问题都做了20年的，就足见邻域并|N(x)∪N(y)|+d(w)有多艰难？这是为什么这么多年进展如此之缓慢吧？！？）

定理2 (日本3个专家，2010年)：若2连通n≥6阶图G的不相邻的任意三点x、y、w都满足|N(x)∪N(y)|+d(w)≥n+1，则图G是5-泛连通图或几类例外图

海南琼州大学还得到下面比包括日本3个专家的上面2个定理以及其他国家专家的更深刻的下面结果（众所周知，下面d(x,y)=2将有非常多地方是3个日本专家的无法触及的，其难度甚至是根本不可解）：

定理二(赵克文)：若2连通n≥6阶图G的满足d(x,y)=2的任意三点都满足|N(x)∪N(y)|+d(w)≥n，则图G是4-点泛圈图或GÎ{K_n/2,n/2, G_h: (∪K_n-h-1) for h=2,3}

定理三(赵克文)：若2连通n≥6阶图G的满足d(x,w)=2的任意三点都满足|N(x)∪N(y)|+d(w)≥n+1，则图G是4-泛连通图或几类例外图

定理四(赵克文)：若2连通n≥6阶图G的满足d(y,w)=2的任意三点都满足|N(x)∪N(y)|+d(w)≥n+1，则图G是最短泛圈图或GÎ{ K ₂: (K _(n-3)/2ÅK^-_(n+1)/2-i)}

定理五(赵克文)：若2连通n≥6阶图G的满足d(y,w)=2的任意三点都满足|N(x)∪N(y)|+d(w)≥n+1，则图G是5-边泛圈图或GÎ{v(i;d)_{i£(n+1)/2; 2£id£(n-1)/2}:G_(n-1)/2∨K^-_(n+1)/2-i,}

显然{v(i;d)_{i£(n+1)/2; 2£id£(n-1)/2}:G_(n-1)/2∨K^-_(n+1)/2-i,}和图1及图2的交为空. 其中G_(n-1)/2表示(n-1)/2阶图, K^-_(n+1)/2-i表示(n+1)/2-i阶空图, G_(n-1)/2∨K^-_(n+1)/2-i表示前部分图G_(n-1)/2和K^-_(n+1)/2-i的联图， v_{2£d£(n-1)/2}:G_(n-1)/2∨K^-_(n+1)/2-i表示不在G_(n-1)/2∨K^-_(n+1)/2-i中的第i个点和G_(n-1)/2的d个点相邻, 而且这样的i个的邻域不交。