分支理论（或分岔理论或分歧理论bifurcation theory，其中说到“50年代，苏联学者A.A.安德罗诺夫推广了庞加莱的结果…”的安德罗诺夫就是下面2本书的第一作者，在1991年已创立International Journal of Bifurcation and Chaos《国际分叉与混沌杂志》可见这领域当时就已受到足够重视，并这杂志的荣誉主编Honorary Editor-in-Chief就是L O Chua即涉及我们图论学科领域很多的蔡少棠大师）。
正如我读大学时较闲些的一年级几乎每天晚饭后都散步去的中山大学数学系的王高雄等编写的《常微分方程》的“非线性微分方程”这章-它给出一个含参数的常微分方程，指出当参数变化时的解特别是平衡解和性态发生变化即方程结构不稳定时，称此方程为分支方程（也称分歧、分岔方程）。并根据系统是否具有时间依赖性，可分为静态分岔（如 鞍结分岔 、 叉形分岔 ）和动态分岔（如庞加莱-安德罗诺夫-霍普夫分岔理论，通称为“霍普夫分岔”理论，在下面最后附注）。
要掌握的相关概念领域分支方向：闭轨（close orbit）；极限环（Limit Cycles）等，可参考北大张芷芬等的《常微分方程定性理论》科学出版社1985年、海南琼州大学超越的徐登洲的其书籍《线性微分方程的非线性扰动》的部分章节引用的尤秉礼的《常微分方程补充教程》人民教育出版社1981年、叶彦谦的《多项式微分系统定性理论》上海科学技术出版社1985年等虽各有偏向有所侧重但内容极丰富的国内书籍。
还可参考Aleksandr A. Andronov和他的几个博士写的2本书：
Aleksandr A. Andronov, E.A. Leontovich,
I.I. Gordon, A.G. Maier，Qualitative Theory of
Second-Order Dynamic Systems. New York: Wiley 1973，可见数学评论（引用这书为文献的论文有：余澍祥，连结奇点的轨线，数学年刊A辑(中文版1988年(06)期）；
Andronov, A.A.,
Leontovich, E.A., Gordon, I.I. and A.G. Maier，Theory of Bifurcations of Dynamic
Systems on a Plane. New York: Wiley 1973.
以及Solomon Lefschetz所罗门·莱夫谢茨宗师的Differential equations:
Geometric theory. Wiley, New York 1963这书有中文版。
叶彦谦教授等编写的英文版《Theory of Limit
Cycles极限环论》有中文版《极限环论》上海科学技术出版社1984年。
Hsin
Chu，A note on the existence
of periodic solutions of a differential system. Dynamical systems (College
Park, MD, 1986–87), 94--99, Lecture Notes in Math., 1342, Springer, Berlin,
1988.
引用它的2篇论文：Makoto Hayashi，On the
non-existence of the closed orbit for a Liénard system. Southeast Asian
Bull. Math. 24 (2000), no. 2, 225--229.
吴开腾，关于一类n次多项式系统的研究，《云南大学学报》1998年S2期
上面是我见部分人爱引用的资料书籍。
可参考在中国知网被引居前几名的“分岔”论文-都不是纯数学论文可见应用较广并都是院士级的论文可见是重要领域：郝柏林院士的“分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它---关于确定论系统中的内在随机性”，物理学进展1983年(03)期；
薛禹胜院士和周海强，顾晓荣的“电力系统分岔与混沌研究述评”，电力系统自动化2002年(16)期；
徐小峰，张文，一种非稳态油膜力模型下刚性转子的分岔和混沌特性，振动工程学报2000年(02)期；
华南理工大学电力学院副院长张波教授和曲颖的“BUCK
DC/DC变换器分岔和混沌的精确离散模型及实验研究”，中国电机工程学报2003年(12)期；
最近的2篇已是高被引：已当选院士的项昌乐等的“行星齿轮系扭转非线性振动建模与运动分岔特性研究”，机械工程学报2011年(21)期；
王在华，胡海岩院士最近的论文“时滞动力系统的稳定性与分岔:从理论走向应用”，力学进展2013年(01)期；
以及数学专业角度发展的下面这相关领域的论文：韩茂安，平面定常系统有无闭轨的判别法，南京大学学报(自然科学版)1985年(02)期；
罗定军，韩茂安，朱德明，奇闭轨分支出极限环的唯一性(Ⅰ)，数学学报1992年(03)期；
韩茂安，罗定军，朱德明，奇闭轨分支出极限环的唯一性(Ⅱ)，数学学报1992年(04)期；
韩茂安，罗定军，朱德明，奇闭轨分支出极限环的唯一性(Ⅲ)，数学学报1992年(05)期；
韩茂安，同宿异宿奇闭轨分支出极限环的个数，中国科学(A辑)1993年(02)期；
余澍祥, 极限环的存在性定理，数学进展1965年(02)期；
余澍祥，二维流形上周期解的存在性，数学学报1980年(05)期；
陈兰荪,井竹君，捕食者-食饵相互作用中微分方程的极限环存在性和唯一性，科学通报1984年(09)期；
黄克成，微分方程dx/dt=h(y)-F(x),dy/dt=-g(x)极限环的存在性，数学学报1980年(04)期；
丁大正，Liénard方程极限环的存在性，应用数学学报1984年(02)期；
刘正荣，Liénard方程全局稳定性的条件，数学学报1995年(05)期；
崔伟业，周期闭轨的存在性定理，齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版)1995年(02)期；
金铁英，一类三次系统极限环的存在性不存在性及唯一性，锦州师范学院学报(自然科学版)1999年(04)期；
更多可参考北大张锦炎教授的《常微分方程几何理论与分支问题》北京大学出版社1981年（只唯一有张锦炎这书为文献的论文：周良金，二维系统闭轨的不存在性，数学通报1995年(01) 期）。
关于上面庞加莱-安德罗诺夫-霍普夫分岔理论，通称为“霍普夫分岔”理论，是首先由庞加莱在1892年对平面系统进行研究的（Henri Poincaré,
Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, Vol. 1 (Gauthier-Villars,
Paris, 1892).），然后由亚历山大·安德罗诺夫（Aleksandr Andronov，1901-1952）及其合作者在1930年进行了完善和细化（Aleksandr A. Andronov，A.
A. Vitt，S. E. Khaikin, Theory of Oscillators,
translated from the Russian by F. Immirzi, edited and abridged by W. Fishwick
(Pergamon Press, Oxford, 1966).），最后由霍普夫在1942年扩展到一般高维系统（Eberhard Hopf, Abzweigung einer periodischen Lösung von einer stationären Lösung
eines Differentialsystems, Berichte der Mathematisch-Physikalischen Klasse der
Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Band XCIV, Sitzung vom 19,
Januar 1942, pp. 3-22.）。粗略地说，霍普夫分岔是非线性常微分方程自治系统的一种动力学现象，指随着某个关键参数的连续变化，系统在其平衡点附近相应的雅可比矩阵的一对共轭复数特征值从左半平面垂直横跨虚轴而转移到右半平面，在跨越的瞬间改变了平衡点的稳定性，导致系统产生出一个新的周期解。
注：1902年生这创造奠基霍普夫分岔的霍普夫Eberhard Hopf和1891年生1955年当选第二届国际数学联盟主席的霍普夫Heinz
Hopf竟都是Erhard Schmidt的博士并分别于1925年和1926年的仅相隔1年博士毕业，也查不出他俩有什么族内关系？