介绍组合设计的一些核心领域特别是已有了一些历史演化的领域如各类完全图及其几乎完全图的圈分解等领域：

图的完美因子分解以及圈分解问题是图论和组合设计理论研究中的重要课题，自1847年被公认为组合设计之父的英国人Kirkmarn(科克曼)确定了K_v的3圈分解的存在性问题（发表于Rev. T. P. Kirkmarn，On a problem of combinatations，Cambr. And Dublin Math. J.2，1847，191-204，首次提出后来被称为Steiner三元系的存在的充要条件vº1，3 (mod 6)，从而率先开创“组合设计”研究的先河。在此对这领域做点历史简概：这英国很快也有A. Cayley、J. J. Sylvester、W. H. Spottiswoode、R. R. Anstice、W.S.B. Woolhouse等也投入并做出一些相关研究，不仅岛国英国，欧洲大陆最先是J. Steiner、其后有T. Clausen、M. Reiss等也发表这相关课题文章--而也许欧洲大陆和英国当时不相通这方面的信息而将这Kirkmarn(科克曼)最先提出的问题称为“Steiner三元系”而增加数学历史上一个冤假错案--当然Steiner在当时的数学界如日中天如此数学界这些人就将错就错也势利乐得傍大佬多点吹料--不过后来的发展感到这领域有失公允后才把可分解的Steiner三元系称为Kirkmarn三元系也算有些修补），这问题就是v阶Steiner三元系是v点集S的三元子集的集合T满足S的任一点都出现在T的唯一一个元素中。显然v阶Steiner三元系存在的条件是|T|=v(v-1)/6。自然地拓展Steiner三元系就可得v阶m圈分解的概念（并如现代计算机科学的鼻祖Donald Knuth的导师Marshall Hall, Jr.的《组合数学理论》一书的组合设计内容有3章并第一章开头就直接定义这个在组合设计中最为基本重要的由统计学家F. Yates于1936年首先提出的平衡不完全区组设计-简称BIBD-其有5个变量（b是区组数，v是集合的元数，r是每个元都出现于不同区组并恰同次的次数，k是各区组的元数，l是每对不同元出现于同区组并都恰同次的次数，并直接说又2个涉及这5个参数的很容易证明的关系式bk=vr和l (v-1)=r(k-1)；若区组族还能划分成l(v-1)/º0(k-1)个平行类则BIBD称为可分解平衡不完全区组设计-简称RBIBD，记作RB[k,l; v]（我参考了几本书而许多书籍的记号不统一有些差别）；这BIBD也就是更广泛的t-设计S_l(t,k,v)中的2-设计；并l=1、k=3时BIBD就是Steiner三元系，当b=v时BIBD称为对称平衡不完全区组设计-记为（v,k,l）-SBIBD，并(4t-1,2t-1,t-1)-SBIBD就是著名的Hadamard设计）；自Kirkmarn(科克曼)在1847年开创Steiner三元系之后又于1850年提出闻名世界的“科克曼女生问题”-也就是平衡不完全区组设计BIBD的（b=35，v=5，r=7，k=3，l=1）的Steiner三元系，这个罗见今教授1990年出版《科克曼女生问题》入选为"世界数学名题欣赏"丛书之一可参考之，至少上面这些可参考罗见今教授1985年提交给母校华南师大的第二届全国组合数学大会的论文“Steiner系若干课题研究的历史回顾——陆家羲学术工作背景概述”-此文1984年已投给华罗庚大师主编的《数学进展》并发表于1986年02期175-184）。这些课题虽有深刻的联系，但在此主要介绍圈分解的存在性问题--这方面自1892年Lucas确认Walecki解决了K_v的v圈即哈密顿圈分解以来，国内外许多学者对完全图的圈分解问题作了大量的研究，并取得了许多深刻的结果。到了本世纪中叶以后，又不断扩大至各类完全图的更为深刻的完美的因子设计的研究。

其中这里简介陆家羲先生的工作：中文论文唯一的结果是：定理 给定正整数k和r，除了有限个正整数v之外，RB[k,l; v]存在的充分必要条件是vº0 (mod k)，l (v-1)º0 (mod (k-1))（陆家羲先生一共发表7篇论文即下面6篇英文论文和这篇主要解决这个定理的中文论文即陆家羲的“可分解平衡不完全区组设计的存在性理论”,数学学报1984年(04):458-468）

陆家羲先生在此前年的1983年在J. Combin. Theory Ser. A上连续发表的三篇标题为“On large sets of disjoint Steiner triple systems”文章（它们是在美国数学评论的这第I篇或说第I部分的评论因每部分是一篇论文--杂志网上可见第I篇的全文、美国数学评论见第II部分评论--杂志网上第II篇的全文、美国数学评论见第III部分评论--杂志网上第III篇的全文）--这3篇都在1983年发表而且是连着发P.140-146、P.147-155、P.156-182（关于陆家羲先生的这些工作，有一个专门的介绍可参考-就是1959年毕业于南京大学数学系的吴利生教授的文章“关于S(2,3,υ)的大集和RBIB的存在性问题——我国组合数学工作者陆家羲同志的贡献”,数学研究与评论1984年(01):151-154--就如其说“加拿大邦迪教授、门德尔逊教授都说欢迎他去加拿大一起工作。下面仅以陆家羲同志已经在J. Combin. Theory Ser. A上连续发表的三篇文章‘On large sets of disjoint Steiner triple systems’以及投寄数学学报并且已经审查通过的一篇文章‘可分解平衡不完全区组设计的存在性理论’为主，介绍一下他对‘Kirkmarn问题’的贡献。…”）。

其后，陆家羲先生在1984年再连着发表后3篇同标题“On large sets of disjoint Steiner triple systems”的论文-在美国数学评论见第IV篇, 第V篇, 第VI篇（P. 136–163, 164–188, 189–192）的评论（杂志网上第IV篇全文）、杂志网上第V篇全文、杂志网上第VI篇分全文）

在中国知网见陆家羲先生只有1984年一篇论文和在美国数学评论见陆家羲先生只有1983、1984年发表论文，但这些工作应是他长久以来就一直研究的成果。

就如陆家羲先生的上面6篇国外论文都是解决不相交Steiner三元系的大集存在问题（即“3-圈系统或说3-圈分解”大集存在问题）而更一般的国外更早也已有很多数学家研究λK_v的k-圈系统/分解大集存在性问题即其点集上所有k-圈的一个分拆ℱ, ℱ,…ℱ使得每个ℱ都是该点集上的一个k-圈分解（当k是图的顶点数时上述的k-圈及其分解被统称为哈密顿圈的；当然可进一步考虑λK_m,n、λK_m,n去一个因子、有向完全图等等）．

这方面就如上面1892年Lucas确认Walecki解决了K_v的v圈即哈密顿圈分解的存在性以来，国内外许多学者对各类完全图的圈分解问题作了大量的研究，并取得了许多深刻的结果。在此简介这方面取得的重要进展工作和引人关注的问题-其中1965年Kotzig解决 m=0 (mod 4)的m圈分解的存在性问题（Anton Kotzig，Decomposition of a complete graph into 4k-gons. (Russian) Mat.-Fyz. Časopis. Sloven. Akad. Vied. 15(1965),229--233；同年Anton Kotzig还解决著名的格图的哈密顿图问题“Hamiltonian circuits in lattice graphs.” Časopis Pěst. Mat. 90(1965),1—11）；1966年Rosa解决m=2 (mod 4)的m圈分解等的存在性问题（A. Rosa, On cyclic decompositions of the complete graph into (4m+2)-gons. Mat.-Fyz. Časopis. Sloven. Akad. Vied. 16 (1966), 349—352）；1980年Alspach和Varma解决m为一个质数幂的2倍时的m圈分解存在的充分必要条件（Brian Alspach，Badri N. Varma，Decomposing complete graphs into cycles of length 2p^e. Ann. Discrete Math. 9 (1980), 155--162.），等等。其中Rosa是下面至今悬而未决的Kotzig–Ringel–Rosa猜想提出者之一。下面主要是介绍上面2人Anton Kotzig和Brian Alspach因此而提出的2个世界闻名的相关问题及介绍其主要进展情况：

如在完美1-因子分解方面，1963年Anton Kotzig猜想:“v≥2时,K_2v有完美1-因子分解”,该猜想已成为图论和组合设计中最难的未解决的问题之一，可参考下面论文（他等提出的Kotzig–Ringel–Rosa猜想即优美标号猜想（graceful labeling conjecture）至今也是仍悬而未决。

1、Edwin C. Ihrig，Symmetry groups related to the construction of perfect one-factorizations of K_2n. J. Combin. Theory Ser. B 40 (1986), no. 2, 121--151.

2、Midori Kobayashi，Kiyasu-Zen'iti，Perfect one-factorizations of K₁₃₃₂ and K₆₈₆₀. J. Combin. Theory Ser. A 51 (1989), no. 2, 314--315.

3、Edwin C. Ihrig，The structure of the symmetry groups of perfect 1-factorizations of K_2n. J. Combin. Theory Ser. B 47 (1989), no. 3, 307--329.

4、K_2n完美1-因子分解的一些结果，张建州，电子科技大学学报1992-08-28；

5、n个图笛积的Hamilton分解---Anton Kotzig猜测的证明，连广昌，应用数学学报1988-04-01；

又如Hamilton圈分解方面，因Hamilton圈的计数问题一直是图论中一个活跃的研究课题，也是网络工程中经常遇到的问题之一．许多学者对各类完全图的Hamilton圈分解做了讨论如N. S. Mendelsohn（门德尔森）独撰在1966年已发表“Hamiltonian decomposition of the complete directed n-graph”. Theory of Graphs (Proc. Colloq., Tihany, 1966), pp. 237--241, Academic Press, New York-London, 1968.（Mendelsohn是世界著名的组合设计权威专家如他不仅提出Mendelsohn三元系-见最先出自N. S. Mendelsohn, A natural generalization of Steiner triple systems. Proc. Sci. Res. Council Atlas Sympos. No. 2, Oxford, 1969), pp. 323--338），还有“完全门德尔森组合设计”等都是以他命名的；还有他的儿子Eric Mendelsohn也是组合设计权威专家并极力推荐陆家羲同志的工作）。

到了80年代对这领域的研究跟更甚如A. J. W. Hilton，Hamiltonian decompositions of complete graphs. J. Combin. Theory Ser. B 36(1984),no.2,125--134.。

1985年哈密顿图世界大师Brian Alspach又提出如下世界著名猜想：如果 Abel 群上F上连通的Cayley图G(F, S)的度为2K，那么G(F, S)是K个边互不相交的Hamilton圈的并；如果G(F, S)的度为2K＋1，那么G(F, S)是K个边互不相交的Hamilton圈和一个1-因子的并（这猜想出自Brian Alspach，Unsolved problem 4，5．Ann Discrete Math，1985(27)：464-468），一般情形该猜想仍悬而未决，附这相关问题的部分国内外论文的其中一些如下：．

1、一类3-设计（λ_m;3,2m,2ⁿ）的构作，朱烈;冯克勤，科学通报

2、完全图圈分解的一种新方法，王殿军，高校应用数学学报A辑(中文版)

3、Mendelsohn三元系大集的谱的完成，康庆德,雷建国，中国科学(A辑 数学)

4、关于Abel群上Cayley图的Hamilton圈分解，王殿军, 王建中，数学进展；（这论文说本文是作者在西南师范大学访问期间完成，作者感谢陈重穆和施武杰教授的指导和帮助）

5、严格单纯Mendelsohn三元系的嵌入，沈灏，科学通报

6、互不相交的transitive三元系大集，常彦勋,康庆德，科学通报

7、单纯三元系的嵌入，沈灏，中国科学(A辑 数学)

8、4度Cayley图的Hamilton圈分解的新方法与理论证明，王艳芳，纯粹数学与应用数学；

9、完全对称有向图D_n的偶长圈分解，单秀玲，高校应用数学学报A辑(中文版)

10、偶图Kn,n\I的（m₁,m₂,…,m_r）-圈分解，蒲利群;沈灏，上海交通大学学报

11、3-GDD大集存在的谱，雷建国，科学通报

12、用“字”研究Cayley图的Hamilton圈分解的新方法，王艳芳，数学杂志；

13、强连通竞赛图的圈分解，束金龙,李皓，运筹学学报

14、自反DTS(υ,λ)的存在谱，田子红，应用数学学报

15、迂的圈分解，董进全,刘彦佩，数学研究与评论

16、含偶长圈的7点7边图的图设计，高印芝,左会娟,康庆德，应用数学学报

17、有向三元系超大集的存在谱，田子红;季利均，中国科学(A辑:数学)

18、完全图分拆为带两条弦的6-长圈，康庆德;刘书霞;袁兰党，数学研究与评论，等等等

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